840 lines
23 KiB
TeX
840 lines
23 KiB
TeX
|
\chapter{Amortized analysis}
|
||
|
|
|
||
|
|
\index{tasoitettu analyysi@tasoitettu analyysi}
|
||
|
|
|
||
|
|
Monen algoritmin aikavaativuuden pystyy laskemaan
|
||
|
|
suoraan katsomalla algoritmin rakennetta:
|
||
|
|
mitä silmukoita algoritmissa on ja miten monta
|
||
|
|
kertaa niitä suoritetaan.
|
||
|
|
Joskus kuitenkaan näin suoraviivainen analyysi ei
|
||
|
|
riitä antamaan todellista kuvaa algoritmin tehokkuudesta.
|
||
|
|
|
||
|
|
\key{Tasoitettu analyysi} soveltuu sellaisten
|
||
|
|
algoritmien analyysiin, joiden osana on jokin operaatio,
|
||
|
|
jonka ajankäyttö vaihtelee.
|
||
|
|
Ideana on tarkastella yksittäisen operaation
|
||
|
|
sijasta kaikkia operaatioita algoritmin
|
||
|
|
aikana ja laskea niiden ajankäytölle yhteinen raja.
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Kahden osoittimen tekniikka}
|
||
|
|
|
||
|
|
\index{kahden osoittimen tekniikka}
|
||
|
|
|
||
|
|
\key{Kahden osoittimen tekniikka} on taulukon käsittelyssä
|
||
|
|
käytettävä menetelmä, jossa taulukkoa käydään läpi
|
||
|
|
kahden osoittimen avulla.
|
||
|
|
Molemmat osoittimet liikkuvat algoritmin aikana,
|
||
|
|
mutta rajoituksena on, että ne voivat liikkua vain
|
||
|
|
yhteen suuntaan, mikä takaa, että algoritmi toimii tehokkaasti.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tutustumme seuraavaksi kahden osoittimen tekniikkaan
|
||
|
|
kahden esimerkkitehtävän kautta.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsubsection{Alitaulukon summa}
|
||
|
|
|
||
|
|
Annettuna on taulukko, jossa on $n$ positiivista kokonaislukua.
|
||
|
|
Tehtävänä on selvittää, onko taulukossa alitaulukkoa,
|
||
|
|
jossa lukujen summa on $x$.
|
||
|
|
Esimerkiksi taulukossa
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
on alitaulukko, jossa lukujen summa on 8:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (5,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Osoittautuu, että tämän tehtävän voi ratkaista
|
||
|
|
ajassa $O(n)$ kahden osoittimen tekniikalla.
|
||
|
|
Ideana on käydä taulukkoa läpi kahden osoittimen
|
||
|
|
avulla, jotka rajaavat välin taulukosta.
|
||
|
|
Joka vuorolla vasen osoitin liikkuu
|
||
|
|
yhden askeleen eteenpäin ja oikea osoitin
|
||
|
|
liikkuu niin kauan eteenpäin kuin summa on enintään $x$.
|
||
|
|
Jos välin summaksi tulee tarkalleen $x$, ratkaisu on löytynyt.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä algoritmin toimintaa
|
||
|
|
seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa summa $x=8$:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Aluksi osoittimet rajaavat taulukosta välin,
|
||
|
|
jonka summa on $1+3+2=6$.
|
||
|
|
Väli ei voi olla tätä suurempi,
|
||
|
|
koska seuraava luku 5 veisi summan yli $x$:n.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (3,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (0.5,-0.7) -- (0.5,-0.1);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Seuraavaksi vasen osoitin siirtyy askeleen eteenpäin.
|
||
|
|
Oikea osoitin säilyy paikallaan, koska muuten
|
||
|
|
summa kasvaisi liian suureksi.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (3,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (1.5,-0.7) -- (1.5,-0.1);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Vasen osoitin siirtyy taas askeleen eteenpäin
|
||
|
|
ja tällä kertaa oikea osoitin siirtyy kolme askelta
|
||
|
|
eteenpäin. Muodostuu summa $2+5+1=8$ eli taulukosta
|
||
|
|
on löytynyt väli, jonka lukujen summa on $x$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (5,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (4.5,-0.7) -- (4.5,-0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
% Algoritmin toteutus näyttää seuraavalta:
|
||
|
|
%
|
||
|
|
% \begin{lstlisting}
|
||
|
|
% int s = 0, b = 0;
|
||
|
|
% for (int a = 1; a <= n; a++) {
|
||
|
|
% while (b<n && s+t[b+1] <= x) {
|
||
|
|
% b++;
|
||
|
|
% s += t[b];
|
||
|
|
% }
|
||
|
|
% if (s == x) {
|
||
|
|
% // ratkaisu löytyi
|
||
|
|
% }
|
||
|
|
% s -= t[a];
|
||
|
|
% }
|
||
|
|
% \end{lstlisting}
|
||
|
|
%
|
||
|
|
% Muuttujat $a$ ja $b$ sisältävät vasemman ja oikean
|
||
|
|
% osoittimen kohdan.
|
||
|
|
% Muuttuja $s$ taas laskee lukujen summan välillä.
|
||
|
|
% Joka askeleella $a$ liikkuu askeleen eteenpäin
|
||
|
|
% ja $b$ liikkuu niin kauan kuin summa on enintään $x$.
|
||
|
|
|
||
|
|
Algoritmin aikavaativuus riippuu siitä,
|
||
|
|
kauanko oikean osoittimen liikkuminen vie aikaa.
|
||
|
|
Tämä vaihtelee, koska oikea osoitin voi liikkua
|
||
|
|
minkä tahansa matkan eteenpäin taulukossa.
|
||
|
|
Kuitenkin oikea osoitin liikkuu \textit{yhteensä}
|
||
|
|
$O(n)$ askelta algoritmin aikana, koska se voi
|
||
|
|
liikkua vain eteenpäin.
|
||
|
|
|
||
|
|
Koska sekä vasen että oikea osoitin liikkuvat
|
||
|
|
$O(n)$ askelta algoritmin aikana,
|
||
|
|
algoritmin aikavaativuus on $O(n)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsubsection{Kahden luvun summa}
|
||
|
|
|
||
|
|
\index{2SUM-ongelma}
|
||
|
|
|
||
|
|
Annettuna on taulukko, jossa on $n$ kokonaislukua,
|
||
|
|
sekä kokonaisluku $x$.
|
||
|
|
Tehtävänä on etsiä taulukosta kaksi lukua,
|
||
|
|
joiden summa on $x$, tai todeta,
|
||
|
|
että tämä ei ole mahdollista.
|
||
|
|
Tämä ongelma tunnetaan tunnetaan nimellä
|
||
|
|
\key{2SUM} ja se ratkeaa tehokkaasti
|
||
|
|
kahden osoittimen tekniikalla.
|
||
|
|
|
||
|
|
Taulukon luvut järjestetään ensin
|
||
|
|
pienimmästä suurimpaan, minkä jälkeen
|
||
|
|
taulukkoa aletaan käydä läpi kahdella osoittimella,
|
||
|
|
jotka lähtevät liikkelle taulukon molemmista päistä.
|
||
|
|
Vasen osoitin aloittaa taulukon alusta ja
|
||
|
|
liikkuu joka vaiheessa askeleen eteenpäin.
|
||
|
|
Oikea osoitin taas aloittaa taulukon lopusta
|
||
|
|
ja peruuttaa vuorollaan taaksepäin, kunnes osoitinten
|
||
|
|
määrittämän välin lukujen summa on enintään $x$.
|
||
|
|
Jos summa on tarkalleen $x$, ratkaisu on löytynyt.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tarkastellaan algoritmin toimintaa
|
||
|
|
seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa
|
||
|
|
summa $x=12$:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Seuraavassa on algoritmin aloitustilanne.
|
||
|
|
Lukujen summa on $1+10=11$, joka on pienempi
|
||
|
|
kuin $x$:n arvo.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (1,1);
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (7,0) rectangle (8,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (0.5,-0.7) -- (0.5,-0.1);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (7.5,-0.7) -- (7.5,-0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Seuraavaksi vasen osoitin liikkuu askeleen eteenpäin.
|
||
|
|
Oikea osoitin peruuttaa kolme askelta, minkä jälkeen
|
||
|
|
summana on $4+7=11$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (2,1);
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (5,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (1.5,-0.7) -- (1.5,-0.1);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (4.5,-0.7) -- (4.5,-0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Sitten vasen osoitin siirtyy jälleen askeleen eteenpäin.
|
||
|
|
Oikea osoitin pysyy paikallaan ja ratkaisu $5+7=12$ on löytynyt.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (3,1);
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (5,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (4.5,-0.7) -- (4.5,-0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Algoritmin alussa taulukon järjestäminen vie
|
||
|
|
aikaa $O(n \log n)$.
|
||
|
|
Tämän jälkeen vasen osoitin liikkuu $O(n)$ askelta
|
||
|
|
eteenpäin ja oikea osoitin liikkuu $O(n)$ askelta
|
||
|
|
taaksepäin, mihin kuluu aikaa $O(n)$.
|
||
|
|
Algoritmin kokonaisaikavaativuus on siis $O(n \log n)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
Huomaa, että tehtävän voi ratkaista myös
|
||
|
|
toisella tavalla ajassa
|
||
|
|
$O(n \log n)$ binäärihaun avulla.
|
||
|
|
Tässä ratkaisussa jokaiselle taulukon luvulle
|
||
|
|
etsitään binäärihaulla toista lukua niin,
|
||
|
|
että lukujen summa olisi yhteensä $x$.
|
||
|
|
Binäärihaku suoritetaan $n$ kertaa ja
|
||
|
|
jokainen binäärihaku vie aikaa $O(\log n)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\index{3SUM-ongelma}
|
||
|
|
Hieman vaikeampi ongelma on \key{3SUM},
|
||
|
|
jossa taulukosta tuleekin etsiä kolme lukua,
|
||
|
|
joiden summa on $x$.
|
||
|
|
Tämä ongelma on mahdollista ratkaista ajassa $O(n^2)$.
|
||
|
|
Keksitkö, miten se tapahtuu?
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Lähin pienempi edeltäjä}
|
||
|
|
|
||
|
|
\index{lzhin pienempi edeltxjx@lähin pienempi edeltäjä}
|
||
|
|
|
||
|
|
Tasoitetun analyysin avulla arvioidaan usein
|
||
|
|
tietorakenteeseen kohdistuvien operaatioiden määrää.
|
||
|
|
Algoritmin operaatiot voivat jakautua epätasaisesti
|
||
|
|
niin, että useimmat operaatiot tehdään tietyssä
|
||
|
|
algoritmin vaiheessa, mutta operaatioiden
|
||
|
|
yhteismäärä on kuitenkin rajoitettu.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä ongelmaa,
|
||
|
|
jossa tehtävänä on etsiä kullekin taulukon
|
||
|
|
alkiolle
|
||
|
|
\key{lähin pienempi edeltäjä} eli
|
||
|
|
lähinnä oleva pienempi alkio taulukon alkuosassa.
|
||
|
|
On mahdollista, ettei tällaista alkiota ole olemassa,
|
||
|
|
jolloin algoritmin tulee huomata asia.
|
||
|
|
Osoittautuu, että tehtävä on mahdollista ratkaista
|
||
|
|
tehokkaasti ajassa $O(n)$ sopivan tietorakenteen avulla.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tehokas ratkaisu tehtävään on käydä
|
||
|
|
taulukko läpi alusta loppuun ja pitää samalla yllä ketjua,
|
||
|
|
jonka ensimmäinen luku on käsiteltävä taulukon luku
|
||
|
|
ja jokainen seuraava luku on luvun lähin
|
||
|
|
pienempi edeltäjä.
|
||
|
|
Jos ketjussa on vain yksi luku,
|
||
|
|
käsiteltävällä luvulla ei ole pienempää edeltäjää.
|
||
|
|
Joka askeleella ketjun alusta poistetaan lukuja
|
||
|
|
niin kauan, kunnes ketjun ensimmäinen luku on
|
||
|
|
pienempi kuin käsiteltävä taulukon luku tai ketju on tyhjä.
|
||
|
|
Tämän jälkeen käsiteltävä luku lisätään ketjun alkuun.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä algoritmin toimintaa
|
||
|
|
seuraavassa taulukossa:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Aluksi luvut 1, 3 ja 4 liittyvät ketjuun, koska jokainen luku on
|
||
|
|
edellistä suurempi. Siis luvun 4 lähin pienempi edeltäjä on luku 3,
|
||
|
|
jonka lähin pienempi edeltäjä on puolestaan luku 1. Tilanne näyttää tältä:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (3,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (2.5,-0.25) .. controls (2.25,-1.00) and (1.75,-1.00) .. (1.6,-0.25);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (1.4,-0.25) .. controls (1.25,-1.00) and (0.75,-1.00) .. (0.5,-0.25);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Taulukon seuraava luku 2 on pienempi kuin ketjun kaksi ensimmäistä lukua 4 ja 3.
|
||
|
|
Niinpä luvut 4 ja 3 poistetaan ketjusta, minkä jälkeen luku 2
|
||
|
|
lisätään ketjun alkuun. Sen lähin pienempi edeltäjä on luku 1:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (3,0) rectangle (4,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (3.5,-0.25) .. controls (3.00,-1.00) and (1.00,-1.00) .. (0.5,-0.25);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Seuraava luku 5 on suurempi kuin luku 2,
|
||
|
|
joten se lisätään suoraan ketjun alkuun ja
|
||
|
|
sen lähin pienempi edeltäjä on luku 2:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (5,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (3.4,-0.25) .. controls (3.00,-1.00) and (1.00,-1.00) .. (0.5,-0.25);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (4.5,-0.25) .. controls (4.25,-1.00) and (3.75,-1.00) .. (3.6,-0.25);
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Algoritmi jatkaa samalla tavalla taulukon loppuun
|
||
|
|
ja selvittää jokaisen luvun lähimmän
|
||
|
|
pienemmän edeltäjän.
|
||
|
|
Mutta kuinka tehokas algoritmi on?
|
||
|
|
|
||
|
|
Algoritmin tehokkuus riippuu siitä,
|
||
|
|
kauanko ketjun käsittelyyn kuluu aikaa yhteensä.
|
||
|
|
Jos uusi luku on suurempi kuin ketjun ensimmäinen
|
||
|
|
luku, se vain lisätään ketjun alkuun,
|
||
|
|
mikä on tehokasta.
|
||
|
|
Joskus taas ketjussa voi olla useita
|
||
|
|
suurempia lukuja, joiden poistaminen vie aikaa.
|
||
|
|
Oleellista on kuitenkin, että jokainen
|
||
|
|
taulukossa oleva luku liittyy
|
||
|
|
tarkalleen kerran ketjuun ja poistuu
|
||
|
|
korkeintaan kerran ketjusta.
|
||
|
|
Niinpä jokainen luku aiheuttaa $O(1)$
|
||
|
|
ketjuun liittyvää operaatiota
|
||
|
|
ja algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Liukuvan ikkunan minimi}
|
||
|
|
|
||
|
|
\index{liukuva ikkuna}
|
||
|
|
\index{liukuvan ikkunan minimi@liukuvan ikkunan minimi}
|
||
|
|
|
||
|
|
\key{Liukuva ikkuna} on taulukon halki kulkeva
|
||
|
|
aktiivinen alitaulukko, jonka pituus on vakio.
|
||
|
|
Jokaisessa liukuvan ikkunan sijainnissa
|
||
|
|
halutaan tyypillisesti laskea jotain tietoa
|
||
|
|
ikkunan alueelle osuvista alkioista.
|
||
|
|
Kiinnostava tehtävä on pitää yllä
|
||
|
|
\key{liukuvan ikkunan minimiä}.
|
||
|
|
Tämä tarkoittaa, että jokaisessa liukuvan ikkunan
|
||
|
|
sijainnissa tulee ilmoittaa pienin alkio
|
||
|
|
ikkunan alueella.
|
||
|
|
|
||
|
|
Liukuvan ikkunan minimit voi laskea
|
||
|
|
lähes samalla tavalla kuin lähimmät
|
||
|
|
pienimmät edeltäjät.
|
||
|
|
Ideana on pitää yllä ketjua, jonka alussa
|
||
|
|
on ikkunan viimeinen luku ja jossa jokainen
|
||
|
|
luku on edellistä pienempi. Joka vaiheessa
|
||
|
|
ketjun viimeinen luku on ikkunan pienin luku.
|
||
|
|
Kun liukuva ikkuna liikkuu eteenpäin ja välille
|
||
|
|
tulee uusi luku, ketjusta poistetaan kaikki luvut,
|
||
|
|
jotka ovat uutta lukua suurempia.
|
||
|
|
Tämän jälkeen uusi luku lisätään ketjun alkuun.
|
||
|
|
Lisäksi jos ketjun viimeinen luku ei enää kuulu
|
||
|
|
välille, se poistetaan ketjusta.
|
||
|
|
|
||
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä, kuinka algoritmi selvittää
|
||
|
|
minimit seuraavassa taulukossa,
|
||
|
|
kun ikkunan koko $k=4$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Liukuva ikkuna aloittaa matkansa taulukon vasemmasta reunasta.
|
||
|
|
Ensimmäisessä ikkunan sijainnissa pienin luku on 1:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (4,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (3.5,-0.25) .. controls (3.25,-1.00) and (2.75,-1.00) .. (2.6,-0.25);
|
||
|
|
\draw[thick,->] (2.4,-0.25) .. controls (2.25,-1.00) and (1.75,-1.00) .. (1.5,-0.25);
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Kun ikkuna siirtyy eteenpäin, mukaan tulee luku 3,
|
||
|
|
joka on pienempi kuin luvut 5 ja 4 ketjun alussa.
|
||
|
|
Niinpä luvut 5 ja 4 poistuvat ketjusta ja luku 3
|
||
|
|
siirtyy sen alkuun. Pienin luku on edelleen 1.
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (5,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (4.5,-0.25) .. controls (4.25,-1.00) and (1.75,-1.00) .. (1.5,-0.25);
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Ikkuna siirtyy taas eteenpäin, minkä seurauksena pienin luku 1
|
||
|
|
putoaa pois ikkunasta. Niinpä se poistetaan ketjun lopusta
|
||
|
|
ja uusi pienin luku on 3. Lisäksi uusi ikkunaan tuleva luku 4
|
||
|
|
lisätään ketjun alkuun.
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (6,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (5.5,-0.25) .. controls (5.25,-1.00) and (4.75,-1.00) .. (4.5,-0.25);
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Seuraavaksi ikkunaan tuleva luku 1 on pienempi
|
||
|
|
kuin kaikki ketjussa olevat luvut.
|
||
|
|
Tämän seurauksena koko ketju tyhjentyy ja
|
||
|
|
siihen jää vain luku 1:
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (3,0) rectangle (7,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\fill[color=black] (6.5,-0.25) circle (0.1);
|
||
|
|
|
||
|
|
%\draw[thick,->] (5.5,-0.25) .. controls (5.25,-1.00) and (4.75,-1.00) .. (4.5,-0.25);
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Lopuksi ikkuna saapuu viimeiseen sijaintiinsa.
|
||
|
|
Luku 2 lisätään ketjun alkuun,
|
||
|
|
mutta ikkunan pienin luku on edelleen 1.
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
|
|
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (8,1);
|
||
|
|
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||
|
|
|
||
|
|
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||
|
|
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||
|
|
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||
|
|
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||
|
|
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\footnotesize
|
||
|
|
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||
|
|
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||
|
|
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||
|
|
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||
|
|
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||
|
|
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||
|
|
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||
|
|
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[thick,->] (7.5,-0.25) .. controls (7.25,-1.00) and (6.75,-1.00) .. (6.5,-0.25);
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Tässäkin algoritmissa jokainen taulukon luku lisätään
|
||
|
|
ketjuun tarkalleen kerran ja poistetaan ketjusta korkeintaan kerran,
|
||
|
|
joko ketjun alusta tai ketjun lopusta.
|
||
|
|
Niinpä algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|