From 0995acf5b919c0ed22344d5a479268ae2a78a064 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antti H S Laaksonen Date: Fri, 13 Jan 2017 20:02:46 +0200 Subject: [PATCH] Chapter 22 first version --- luku22.tex | 141 +++++++++++++++++++++++++++-------------------------- 1 file changed, 72 insertions(+), 69 deletions(-) diff --git a/luku22.tex b/luku22.tex index f8d2815..1fd247f 100644 --- a/luku22.tex +++ b/luku22.tex @@ -675,28 +675,28 @@ for $n-1$ numbers, because we can't replace the number $x$ with number $1$, and all other numbers should be changed. -\section{Burnsiden lemma} +\section{Burnside's lemma} -\index{Burnsiden lemma@Burnsiden lemma} +\index{Burnside's lemma} -\key{Burnsiden lemma} laskee yhdistelmien määrän niin, -että symmetrisistä yhdistelmistä lasketaan -mukaan vain yksi edustaja. -Burnsiden lemman mukaan yhdistelmien määrä on +\key{Burnside's lemma} counts the number of +combinations so that for each group of +symmetric combinations, only one representative is counted. +Burnside's lemma states that the number of +combinations is \[\sum_{k=1}^n \frac{c(k)}{n},\] -missä yhdistelmän asentoa voi muuttaa $n$ tavalla -ja $c(k)$ on niiden yhdistelmien määrä, -jotka pysyvät ennallaan, kun asentoa -muutetaan tavalla $k$. +where there are $n$ ways to change the +position of a combination, +and there are $c(k)$ combinations that +remain unchanged when the $k$th way is applied. -Lasketaan esimerkkinä, montako -erilaista tapaa on -muodostaa $n$ helmen helminauha, -kun kunkin helmen värin tulee olla -väliltä $1,2,\ldots,m$. -Kaksi helminauhaa ovat symmetriset, -jos ne voi saada näyttämään samalta pyörittämällä. -Esimerkiksi helminauhan +As an example, let's calculate the number of +necklaces of $n$ pearls, +where the color of each pearl is +one of $1,2,\ldots,m$. +Two necklaces are symmetric if they are +similar after rotating them. +For example, the necklace \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[fill=white] (0,0) circle (1); @@ -706,7 +706,7 @@ Esimerkiksi helminauhan \draw[fill=green] (-1,0) circle (0.3); \end{tikzpicture} \end{center} -kanssa symmetriset helminauhat ovat seuraavat: +has the following symmetric necklaces: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[fill=white] (0,0) circle (1); @@ -734,43 +734,47 @@ kanssa symmetriset helminauhat ovat seuraavat: \draw[fill=red] (12+-1,0) circle (0.3); \end{tikzpicture} \end{center} -Tapoja muuttaa asentoa on $n$, -koska helminauhaa voi pyörittää $0,1,\ldots,n-1$ -askelta myötäpäivään. -Jos helminauhaa pyörittää 0 askelta, -kaikki $m^n$ väritystä säilyvät ennallaan. -Jos taas helminauhaa pyörittää 1 askeleen, -vain $m$ yksiväristä helminauhaa säilyy ennallaan. +There are $n$ ways to change the position +of a necklace, +because we can rotate it +$0,1,\ldots,n-1$ steps clockwise. +If the number of steps is 0, +all $m^n$ necklaces remain the same, +and if the number of steps is 1, +only the $m$ necklaces where each +pearl has the same color remain the same. -Yleisemmin kun helminauhaa pyörittää $k$ askelta, -ennallaan säilyvien yhdistelmien määrä on -\[m^{\textrm{syt}(k,n)},\] -missä $\textrm{syt}(k,n)$ on lukujen $k$ ja $n$ -suurin yhteinen tekijä. -Tämä johtuu siitä, että $\textrm{syt}(k,n)$-kokoiset -pätkät helmiä siirtyvät toistensa paikoille -$k$ askelta eteenpäin. -Niinpä helminauhojen määrä on -Burnsiden lemman mukaan +More generally, when the number of steps is $k$, +a total of +\[m^{\textrm{gcd}(k,n)},\] +necklaces remain the same, +where $\textrm{gcd}(k,n)$ is the greatest common +divisor of $k$ and $n$. +The reason for this is that sequences +of pearls of size $\textrm{syt}(k,n)$ +will replace each other. +Thus, according to Burnside's lemma, +the number of necklaces is \[\sum_{i=0}^{n-1} \frac{m^{\textrm{syt}(i,n)}}{n}. \] -Esimerkiksi kun helminauhan pituus on 4 -ja värejä on 3, helminauhoja on +For example, the number of necklaces of length 4 +with 3 colors is \[\frac{3^4+3+3^2+3}{4} = 24. \] -\section{Cayleyn kaava} +\section{Cayley's formula} -\index{Cayleyn kaava@Cayleyn kaava} +\index{Cayley's formula} -\key{Cayleyn kaavan} mukaan $n$ solmusta voi -muodostaa $n^{n-2}$ numeroitua puuta. -Puun solmut on numeroitu $1,2,\ldots,n$, -ja kaksi puuta ovat erilaiset, -jos niiden rakenne on erilainen -tai niissä on eri numerointi. +\key{Cayley's formula} states that +there are $n^{n-2}$ labeled trees +that contain $n$ nodes. +The nodes are labeled $1,2,\ldots,n$, +and two trees are different +if either their structure or their +labeling is different. \begin{samepage} -\noindent -Esimerkiksi kun $n=4$, numeroitujen puiden määrä on $4^{4-2}=16$: +For example, when $n=4$, the number of labeled +trees is $4^{4-2}=16$: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.8] @@ -816,22 +820,22 @@ Esimerkiksi kun $n=4$, numeroitujen puiden määrä on $4^{4-2}=16$: \end{center} \end{samepage} -Seuraavaksi näemme, miten Cayleyn kaavan -voi perustella samastamalla numeroidut puut -Prüfer-koodeihin. +Next we will see how Cayley's formula can +be derived using Prüfer codes. -\subsubsection{Prüfer-koodi} +\subsubsection{Prüfer code} -\index{Prüfer-koodi} +\index{Prüfer code} -\key{Prüfer-koodi} on $n-2$ luvun jono, -joka kuvaa numeroidun puun rakenteen. -Koodi muodostuu poistamalla puusta -joka askeleella lehden, jonka numero on pienin, -ja lisäämällä lehden vieressä olevan solmun -numeron koodiin. +A \key{Prüfer code} is a sequence of +$n-2$ numbers that describes a labeled tree. +The code is calculated by removing $n-2$ +leaves from the tree. +At each step, we remove the leaf whose number +is the smallest, and simultaneously +add the number of its only neighbor to the code. -Esimerkiksi puun +For example, the Prüfer code for \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.9] \node[draw, circle] (1) at (2,3) {$1$}; @@ -849,14 +853,13 @@ Esimerkiksi puun %\path[draw,thick,-] (4) -- (5); \end{tikzpicture} \end{center} -Prüfer-koodi on $[4,4,2]$, -koska puusta poistetaan ensin solmu 1, -sitten solmu 3 ja lopuksi solmu 5. +is $[4,4,2]$, because we first remove +node 1, then node 3 and finally node 5. -Jokaiselle puulle voidaan laskea -Prüfer-koodi, minkä lisäksi -Prüfer-koodista pystyy palauttamaan -yksikäsitteisesti alkuperäisen puun. -Niinpä numeroituja puita on yhtä monta -kuin Prüfer-koodeja eli $n^{n-2}$. +We can calculate a Prüfer code for any tree, +and more importantly, +the original tree can be constructed +from the Prüfer code. +Hence, the number of labeled trees equals +the number of Prüfer codes that is $n^{n-2}$.