From 226fd406bc56405543ae09fa957f1cab2098a531 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antti H S Laaksonen Date: Sun, 1 Jan 2017 21:08:51 +0200 Subject: [PATCH] Chapter 5 first version --- luku05.tex | 131 ++++++++++++++++++++++++++--------------------------- 1 file changed, 63 insertions(+), 68 deletions(-) diff --git a/luku05.tex b/luku05.tex index 5c6c876..d751fe8 100644 --- a/luku05.tex +++ b/luku05.tex @@ -680,79 +680,74 @@ Especially useful are optimizations that occur at the top of the search tree because they can prune the search very efficiently. -\section{Puolivälihaku} +\section{Meet in the middle} -\index{puolivxlihaku@puolivälihaku} +\index{meet in the middle} -\key{Puolivälihaku} (''meet in the middle'') on tekniikka, -jossa hakutehtävä jaetaan kahteen yhtä suureen osaan. -Kumpaankin osaan tehdään erillinen haku, -ja lopuksi hakujen tulokset yhdistetään. +\key{Meet in the middle} is a technique +where the search space is divided into +two equally large parts. +A separate search is performed +for each of the parts, +and finally the results of the searches are combined. -Puolivälihaun käyttäminen edellyttää, -että erillisten hakujen tulokset pystyy -yhdistämään tehokkaasti. -Tällöin puolivälihaku on tehokkaampi -kuin yksi haku, joka käy läpi koko hakualueen. -Tyypillisesti puolivälihaku tehostaa algoritmia -niin, että aikavaativuuden kertoimesta $2^n$ -tulee kerroin $2^{n/2}$. +The meet in the middle technique can be used +if there is an efficient way to combine the +results of the searches. +In this case, the two searches may require less +time than one large search. +Typically, we can turn a factor of $2^n$ +into a factor of $2^{n/2}$ using the meet in the +middle technique. -Tarkastellaan ongelmaa, jossa annettuna -on $n$ lukua sisältävä lista sekä kokonaisluku $x$. -Tehtävänä on selvittää, voiko listalta valita -joukon lukuja niin, että niiden summa on $x$. -Esimerkiksi jos lista on $[2,4,5,9]$ ja $x=15$, -voimme valita listalta luvut $[2,4,9]$, -jolloin $2+4+9=15$. -Jos taas lista säilyy ennallaan ja $x=10$, -mikään valinta ei täytä vaatimusta. +As an example, consider a problem where +we are given a list of $n$ numbers and +an integer $x$. +Our task is to find out if it is possible +to choose some numbers from the list so that +the sum of the numbers is $x$. +For example, given the list $[2,4,5,9]$ and $x=15$, +we can choose the numbers $[2,4,9]$ to get $2+4+9=15$. +However, if the list remains the same but $x=10$, +it is not possible to form the sum. -Tavanomainen ratkaisu tehtävään on käydä kaikki -listan alkioiden osajoukot läpi ja tarkastaa, -onko jonkin osajoukon summa $x$. -Tällainen ratkaisu kuluttaa aikaa $O(2^n)$, -koska erilaisia osajoukkoja on $2^n$. -Seuraavaksi näemme, -miten puolivälihaun avulla on mahdollista luoda -tehokkaampi $O(2^{n/2})$-aikainen ratkaisu. -Huomaa, että aikavaativuuksissa $O(2^n)$ ja -$O(2^{n/2})$ on merkittävä ero, koska -$2^{n/2}$ tarkoittaa samaa kuin $\sqrt{2^n}$. +A standard solution for the problem is to +go trough all subsets of the elements and +check if the sum of any of the subsets is $x$. +The time complexity of this solution is $O(2^n)$ +because there are $2^n$ possible subsets. +However, using the meet in the middle technique, +we can create a more efficient $O(2^{n/2})$ time solution. +Note that $O(2^n)$ and $O(2^{n/2})$ are different +complexities because $2^{n/2}$ equals $\sqrt{2^n}$. -Ideana on jakaa syötteenä oleva lista -kahteen listaan $A$ ja $B$, -joista kumpikin sisältää noin puolet luvuista. -Ensimmäinen haku muodostaa kaikki osajoukot -listan $A$ luvuista ja laittaa muistiin niiden summat -listaan $S_A$. -Toinen haku muodostaa vastaavasti listan -$B$ perusteella listan $S_B$. -Tämän jälkeen riittää tarkastaa, -onko mahdollista valita yksi luku listasta $S_A$ -ja toinen luku listasta $S_B$ niin, -että lukujen summa on $x$. -Tämä on mahdollista tarkalleen silloin, -kun alkuperäisen listan luvuista saa summan $x$. +The idea is to divide the list given as input +to two lists $A$ and $B$ that each contain +about half of the numbers. +The first search generates all subsets +of the numbers in the list $A$ and stores their sums +to list $S_A$. +Correspondingly, the second search creates +the list $S_B$ from the list $B$. +After this, it suffices to check if it is possible +to choose one number from $S_A$ and another +number from $S_B$ so that their sum is $x$. +This is possible exactly when there is a way to +form the sum $x$ using the numbers in the original list. -Tarkastellaan esimerkkiä, -jossa lista on $[2,4,5,9]$ -ja $x=15$. -Puolivälihaku jakaa luvut kahteen -listaan niin, että $A=[2,4]$ -ja $B=[5,9]$. -Näistä saadaan edelleen summalistat -$S_A=[0,2,4,6]$ ja $S_B=[0,5,9,14]$. -Summa $x=15$ on mahdollista muodostaa, -koska voidaan valita $S_A$:sta luku $6$ -ja $S_B$:stä luku $9$. -Tämä valinta vastaa ratkaisua $[2,4,9]$. +For example, assume that the list is $[2,4,5,9]$ and $x=15$. +First, we divide the list into $A=[2,4]$ and $B=[5,9]$. +After this, we create the lists +$S_A=[0,2,4,6]$ and $S_B=[0,5,9,14]$. +The sum $x=15$ is possible to form +because we can choose the number $6$ from $S_A$ +and the number $9$ from $S_B$. +This choice corresponds to the solution $[2,4,9]$. -Ratkaisun aikavaativuus on $O(2^{n/2})$, -koska kummassakin listassa $A$ ja $B$ -on $n/2$ lukua ja niiden osajoukkojen -summien laskeminen listoihin $S_A$ ja $S_B$ -vie aikaa $O(2^{n/2})$. -Tämän jälkeen on mahdollista tarkastaa -ajassa $O(2^{n/2})$, voiko summaa $x$ muodostaa -listojen $S_A$ ja $S_B$ luvuista. \ No newline at end of file +The time complexity of the algorithm is $O(2^{n/2})$ +because both lists $A$ and $B$ contain $n/2$ numbers +and it takes $O(2^{n/2})$ time to calculate the sums of +their subsets to lists $S_A$ and $S_B$. +After this, it is possible to check in +$O(2^{n/2})$ time if the sum $x$ can be created +using the numbers in $S_A$ and $S_B$. \ No newline at end of file