Dynamic programming

luku16.tex

@@ -250,27 +250,28 @@ The search reaches node 2 whose state is 1
 which means the graph contains a cycle.
 In this case, the cycle is $2 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 2$.
 
-\section{Dynaaminen ohjelmointi}
+\section{Dynamic programming}
+
+If a directed graph is acyclic,
+dynamic programming can be applied to it.
+For example, we can solve the following
+problems concerning paths from a starting node
+to an ending node efficiently in $O(n+m)$ time:
 
-Jos suunnattu verkko on syklitön,
-siihen voi soveltaa dynaamista ohjelmointia.
-Tämän avulla voi ratkaista tehokkaasti
-ajassa $O(n+m)$ esimerkiksi seuraavat
-ongelmat koskien verkossa olevia polkuja
-alkusolmusta loppusolmuun:
 \begin{itemize}
-\item montako erilaista polkua on olemassa?
+\item how many different paths are there?
-\item mikä on lyhin/pisin polku?
+\item what is the shortest/longest path?
-\item mikä on pienin/suurin määrä kaaria polulla?
+\item what is the minimum/maximum number of edges in a path?
-\item mitkä solmut esiintyvät varmasti polulla?
+\item which nodes certainly appear in the path?
 \end{itemize}
 
-\subsubsection{Polkujen määrän laskeminen}
+\subsubsection{Counting the number of paths}
+
+As an example, let's calculate the number of paths
+from a starting node to an ending node
+in a directed, acyclic graph.
+For example, in the graph
 
-Lasketaan esimerkkinä polkujen määrä
-alkusolmusta loppusolmuun suunnatussa,
-syklittömässä verkossa.
-Esimerkiksi verkossa
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
 \node[draw, circle] (1) at (1,5) {$1$};
@@ -289,16 +290,16 @@ Esimerkiksi verkossa
 \path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (6);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-on 3 polkua solmusta 4 solmuun 6:
+there are 3 paths from node 4 to node 6:
 \begin{itemize}
 \item $4 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6$
 \item $4 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6$
 \item $4 \rightarrow 5 \rightarrow 3 \rightarrow 6$
 \end{itemize}
-Ideana on käydä läpi verkon solmut topologisessa järjestyksessä
+The idea is to go through the nodes in a topological sort,
-ja laskea kunkin solmun kohdalla yhteen eri suunnista
+and calculate for each node the total number of paths
-tulevien polkujen määrät.
+that reach the node from different directions.
-Verkon topologinen järjestys on seuraava:
+In this case, the topological sort is as follows:
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
@@ -318,7 +319,7 @@ Verkon topologinen järjestys on seuraava:
 \path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (6);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Tuloksena ovat seuraavat lukumäärät:
+The numbers of paths are as follows:
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
@@ -346,22 +347,22 @@ Tuloksena ovat seuraavat lukumäärät:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Esimerkiksi solmuun 2 pääsee solmuista 1 ja 5.
+For example, there is an edge to node 2 from nodes 1 and 5.
-Kumpaankin solmuun päättyy yksi polku solmusta 4 alkaen,
+There is one path from node 4 to both node 1 and 5,
-joten solmuun 2 päättyy kaksi polkua solmusta 4 alkaen.
+so there are two paths from node 4 to node 2.
-Vastaavasti solmuun 3 pääsee solmuista 2 ja 5,
+Correspondingly, there is an edge to node 3 from nodes 2 and 5
-joiden kautta tulee kaksi ja yksi polkua solmusta 4 alkaen.
+that correspond to two and one paths from node 4.
 
-\subsubsection{Dijkstran algoritmin sovellukset}
+\subsubsection{Extending Dijkstra's algorithm}
 
-\index{Dijkstran algoritmi@Dijkstran algoritmi}
+\index{Dijkstra's algorithm}
 
-Dijkstran algoritmin sivutuotteena syntyy suunnattu, syklitön verkko,
+A by-product of Dijkstra's algorithm is a directed, acyclic
-joka kertoo jokaiselle alkuperäisen verkon solmulle,
+graph that shows for each node in the original graph
-mitä tapoja alkusolmusta on päästä kyseiseen solmuun lyhintä
+the possible ways to reach the node using a shortest path
-polkua käyttäen.
+from the starting node.
-Tähän verkkoon voi soveltaa edelleen dynaamista ohjelmointia.
+Dynamic programming can be applied also to this graph.
-Esimerkiksi verkossa
+For example, in the graph
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \node[draw, circle] (1) at (0,0) {$1$};
@@ -379,8 +380,8 @@ Esimerkiksi verkossa
 \path[draw,thick,-] (2) -- node[font=\small,label=above:2] {} (3);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-solmusta 1 lähteviin lyhimpiin polkuihin kuuluvat
+the following edges can belong to the shortest paths
-seuraavat kaaret:
+from node 1:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \node[draw, circle] (1) at (0,0) {$1$};
@@ -398,10 +399,9 @@ seuraavat kaaret:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Koska kyseessä on suunnaton, syklitön verkko,
+Now we can, for example, calculate the number of
-siihen voi soveltaa dynaamista ohjelmointia.
+shortest paths from node 1 to node 5
-Niinpä voi esimerkiksi laskea, montako lyhintä polkua
+using dynamic programming:
-on olemassa solmusta 1 solmuun 5:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \node[draw, circle] (1) at (0,0) {$1$};
@@ -425,23 +425,22 @@ on olemassa solmusta 1 solmuun 5:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-\subsubsection{Ongelman esitys verkkona}
+\subsubsection{Representing problems as graphs}
 
-Itse asiassa mikä tahansa dynaamisen ohjelmoinnin
+Actually, any dynamic programming problem
-ongelma voidaan esittää suunnattuna, syklittömänä verkkona.
+can be represented as a directed, acyclic graph.
-Tällaisessa verkossa solmuja ovat dynaamisen
+In such a graph, each node is a dynamic programming state,
-ohjelmoinnin tilat ja kaaret kuvaavat,
+and the edges indicate how the states depend on each other.
-miten tilat riippuvat toisistaan.
 
-Tarkastellaan esimerkkinä tuttua tehtävää,
+As an example, consider the problem
-jossa annettuna on rahamäärä $x$
+where our task is to form a sum of money $x$
-ja tehtävänä on muodostaa se kolikoista
+using coins
 $\{c_1,c_2,\ldots,c_k\}$.
-Tässä tapauksessa voimme muodostaa verkon, jonka solmut
+In this case, we can construct a graph where
-vastaavat rahamääriä ja kaaret kuvaavat
+each node corresponds to a sum of money,
-kolikkojen valintoja.
+and the edges show how we can choose coins.
-Esimerkiksi jos kolikot ovat $\{1,3,4\}$
+For example, for coins $\{1,3,4\}$ and $x=6$,
-ja $x=6$, niin verkosta tulee seuraava:
+the graph is as follows:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
 \node[draw, circle] (0) at (0,0) {$0$};
@@ -470,12 +469,11 @@ ja $x=6$, niin verkosta tulee seuraava:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Tätä verkkoesitystä käyttäen
+Using this representation,
-lyhin polku solmusta 0 solmuun $x$
+the shortest path from node 0 to node $x$
-vastaa ratkaisua, jossa kolikoita on
+corresponds to a solution with minimum number of coins,
-mahdollisimman vähän, ja polkujen yhteismäärä
+and the total number of paths from node 0 to node $x$
-solmusta 0 solmuun $x$
+equals the total number of solutions.
-on sama kuin ratkaisujen yhteismäärä.
 
 \section{Tehokas eteneminen}