Path in a grid

luku07.tex

@@ -514,17 +514,19 @@ problem in $O(n \log n)$ time, but this is more difficult.
 
 \section{Path in a grid}
 
-Seuraava tehtävämme on etsiä reitti
+Our next problem is to find a path
-$n \times n$ -ruudukon vasemmasta yläkulmasta
+in an $n \times n$ grid
-oikeaan alakulmaan.
+from the upper-left corner to
-Jokaisessa ruudussa on luku, ja reitti
+the lower-right corner.
-tulee muodostaa niin, että reittiin kuuluvien
+Each square contains a number,
-lukujen summa on mahdollisimman suuri.
+and the path should be constructed so
-Rajoituksena ruudukossa on mahdollista
+that the sum of numbers along
-liikkua vain oikealla ja alaspäin.
+the path is as large as possible.
+In addition, it is only allowed to move
+downwards and to the right.
 
-Seuraavassa ruudukossa paras reitti
+In the followig grid, the best path is
-on merkitty harmaalla taustalla:
+marked with gray background:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=.65]
   \begin{scope}
@@ -566,21 +568,25 @@ on merkitty harmaalla taustalla:
   \end{scope}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Tällä reitillä lukujen summa on $3+9+8+7+9+8+5+10+8=67$,
+The sum of numbers is
-joka on suurin mahdollinen summa vasemmasta yläkulmasta
+$3+9+8+7+9+8+5+10+8=67$
-oikeaan alakulmaan.
+that is the largest possible sum in a path
+from the
+upper-left corner to the lower-right corner.
 
-Hyvä lähestymistapa tehtävään on laskea
+A good approach for the problem is to
-kuhunkin ruutuun $(y,x)$ suurin summa
+calculate for each square $(y,x)$
-reitillä vasemmasta yläkulmasta kyseiseen ruutuun.
+the largest possible sum in a path
-Merkitään tätä suurinta summaa $f(y,x)$,
+from the upper-left corner to the square $(y,x)$.
-jolloin $f(n,n)$ on suurin summa
+We denote this sum $f(y,x)$,
-reitillä vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.
+so $f(n,n)$ is the largest sum in a path
+from the upper-left corner to
+the lower-right corner.
 
-Rekursio syntyy havainnosta,
+The recursive formula is based on the observation
-että ruutuun $(y,x)$ saapuvan reitin
+that a path that ends to square$(y,x)$
-täytyy tulla joko vasemmalta ruudusta $(y,x-1)$
+can either come from square $(y,x-1)$
-tai ylhäältä ruudusta $(y-1,x)$:
+or from square $(y-1,x)$:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=.65]
   \begin{scope}
@@ -594,9 +600,9 @@ tai ylhäältä ruudusta $(y-1,x)$:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Kun $r(y,x)$
+Let $r(y,x)$ denote the number in square $(y,x)$.
-on ruudukon luku kohdassa $(y,x)$,
+The base cases for the recursive function
-rekursion pohjatapaukset ovat seuraavat:
+are as follows:
 
 \[
 \begin{array}{lcl}
@@ -606,15 +612,15 @@ f(y,1) & = & f(y-1,1)+r(y,1)\\
 \end{array}
 \]
 
-Yleisessä tapauksessa valittavana on
+In the general case there are two
-kaksi reittiä,
+possible paths, and we should select the path
-joista kannattaa valita se,
+that produces the larger sum:
-joka tuottaa suuremman summan:
 \[ f(y,x) = \max(f(y,x-1),f(y-1,x))+r(y,x)\]
 
-Ratkaisun aikavaativuus on $O(n^2)$, koska jokaisessa
+The time complexity of the solution is $O(n^2)$,
-ruudussa $f(y,x)$ saadaan laskettua vakioajassa
+because each value $f(y,x)$ can be calculated
-viereisten ruutujen arvoista.
+in constant time using the values of the
+adjacent squares.
 
 \section{Repunpakkaus}