bibin
/
cphb
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

Chapter 21 first version

This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen 2017-01-11 21:02:34 +02:00
parent 6b3dd3d57f
commit 37ab44c308
1 changed files with 116 additions and 118 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

234
luku21.tex
View File

@ -452,14 +452,14 @@ because if $m$ is a prime, then $\varphi(m)=m-1$.
\index{modular inverse} \index{modular inverse}
The modular inverse of $x$ modulo $m$ The inverse of $x$ modulo $m$
is a number $x^{-1}$ such that is a number $x^{-1}$ such that
\[ x x^{-1} \bmod m = 1. \] \[ x x^{-1} \bmod m = 1. \]
For example, if $x=6$ and $m=17$, For example, if $x=6$ and $m=17$,
then $x^{-1}=3$, because $6\cdot3 \bmod 17=1$. then $x^{-1}=3$, because $6\cdot3 \bmod 17=1$.
Using modular inverses, we can do divisions Using modular inverses, we can divide numbers
for remainders, because division by $x$ modulo $m$, because division by $x$
corresponds to multiplication by $x^{-1}$. corresponds to multiplication by $x^{-1}$.
For example, to evaluate the value of $36/6 \bmod 17$, For example, to evaluate the value of $36/6 \bmod 17$,
we can use the formula $2 \cdot 3 \bmod 17$, we can use the formula $2 \cdot 3 \bmod 17$,
@ -469,7 +469,7 @@ However, a modular inverse doesn't always exist.
For example, if $x=2$ and $m=4$, the equation For example, if $x=2$ and $m=4$, the equation
\[ x x^{-1} \bmod m = 1. \] \[ x x^{-1} \bmod m = 1. \]
can't be solved, because all multiples of the number 2 can't be solved, because all multiples of the number 2
are even, and the remainder can never be 1. are even, and the remainder can never be 1 when $m=4$.
It turns out that the number $x^{-1} \bmod m$ exists It turns out that the number $x^{-1} \bmod m$ exists
exactly when $x$ and $m$ are coprime. exactly when $x$ and $m$ are coprime.
@ -518,54 +518,53 @@ unsigned int x = 123456789;
cout << x*x << "\n"; // 2537071545 cout << x*x << "\n"; // 2537071545
\end{lstlisting} \end{lstlisting}
\section{Yhtälönratkaisu} \section{Solving equations}
\index{Diofantoksen yhtxlz@Diofantoksen yhtälö} \index{Diophantine equation}
\key{Diofantoksen yhtälö} on muotoa A \key{Diophantine equation} is of the form
\[ ax + by = c, \] \[ ax + by = c, \]
missä $a$, $b$ ja $c$ ovat vakioita where $a$, $b$ and $c$ are constants,
ja tehtävänä on ratkaista muuttujat $x$ ja $y$. and our tasks is to solve variables $x$ and $y$.
Jokaisen yhtälössä esiintyvän luvun tulee Each number in the equation has to be an integer.
olla kokonaisluku. For example, one solution for the equation
Esimerkiksi jos yhtälö on $5x+2y=11$, yksi ratkaisu $5x+2y=11$ is $x=3$ and $y=-2$.
on valita $x=3$ ja $y=-2$.
\index{Eukleideen algoritmi@Eukleideen algoritmi} \index{Euclid's algorithm}
Diofantoksen yhtälön voi ratkaista We can efficiently solve a Diophantine equation
tehokkaasti Eukleideen algoritmin avulla, by using Euclid's algorithm.
koska Eukleideen algoritmia laajentamalla It turns out that we can extend Euclid's algorithm
pystyy löytämään luvun $\textrm{syt}(a,b)$ so that it will find numbers $x$ and $y$
lisäksi luvut $x$ ja $y$, that satisfy the following equation:
jotka toteuttavat yhtälön
\[ \[
ax + by = \textrm{syt}(a,b). ax + by = \textrm{syt}(a,b)
\] \]
Diofantoksen yhtälön ratkaisu on olemassa, jos $c$ on A Diophantine equation can be solved if
jaollinen $\textrm{syt}(a,b)$:llä, $c$ is divisible by
ja muussa tapauksessa yhtälöllä ei ole ratkaisua. $\textrm{gcd}(a,b)$,
and otherwise it can't be solved.
\index{laajennettu Eukleideen algoritmi@laajennettu Eukleideen algoritmi} \index{extended Euclid's algorithm}
\subsubsection*{Laajennettu Eukleideen algoritmi} \subsubsection*{Extended Euclid's algorithm}
Etsitään esimerkkinä luvut $x$ ja $y$, As an example, let's find numbers $x$ and $y$
jotka toteuttavat yhtälön that satisfy the following equation:
\[ \[
39x + 15y = 12. 39x + 15y = 12
\] \]
Yhtälöllä on ratkaisu, koska $\textrm{syt}(39,15)=3$ The equation can be solved, because
ja $3 \mid 12$. $\textrm{syt}(39,15)=3$ and $3 \mid 12$.
Kun Eukleideen algoritmi laskee lukujen When Euclid's algorithm calculates the
39 ja 15 suurimman greatest common divisor of 39 and 15,
yhteisen tekijän, syntyy ketju it produces the following sequence of function calls:
\[ \[
\textrm{syt}(39,15) = \textrm{syt}(15,9) \textrm{gcd}(39,15) = \textrm{gcd}(15,9)
= \textrm{syt}(9,6) = \textrm{syt}(6,3) = \textrm{gcd}(9,6) = \textrm{gcd}(6,3)
= \textrm{syt}(3,0) = 3. \] = \textrm{gcd}(3,0) = 3 \]
Algoritmin aikana muodostuvat jakoyhtälöt ovat: This corresponds to the following equations:
\[ \[
\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl}
39 - 2 \cdot 15 & = & 9 \\ 39 - 2 \cdot 15 & = & 9 \\
@ -573,29 +572,30 @@ Algoritmin aikana muodostuvat jakoyhtälöt ovat:
9 - 1 \cdot 6 & = & 3 \\ 9 - 1 \cdot 6 & = & 3 \\
\end{array} \end{array}
\] \]
Näiden yhtälöiden avulla saadaan Using these equations, we can derive
\[ \[
39 \cdot 2 + 15 \cdot (-5) = 3 39 \cdot 2 + 15 \cdot (-5) = 3
\] \]
ja kertomalla yhtälö 4:lla tuloksena on and by multiplying this by 4, the result is
\[ \[
39 \cdot 8 + 15 \cdot (-20) = 12, 39 \cdot 8 + 15 \cdot (-20) = 12,
\] \]
joten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on $x=8$ ja $y=-20$. so a solution for the original equation is
$x=8$ and $y=-20$.
Diofantoksen yhtälön ratkaisu ei ole yksikäsitteinen, A solution for a Diophantine equation is not unique,
vaan yhdestä ratkaisusta on mahdollista muodostaa but we can form an infinite number of solutions
äärettömästi muita ratkaisuja. if we know one solution.
Kun yhtälön ratkaisu on $(x,y)$, If the pair $(x,y)$ is a solution, then also the pair
niin myös \[(x+\frac{kb}{\textrm{gcd}(a,b)},y-\frac{ka}{\textrm{gcd}(a,b)})\]
\[(x+\frac{kb}{\textrm{syt}(a,b)},y-\frac{ka}{\textrm{syt}(a,b)})\] is a solution where $k$ is any integer.
on ratkaisu, missä $k$ on mikä tahansa kokonaisluku.
\subsubsection{Kiinalainen jäännöslause} \subsubsection{Chinese remainder theorem}
\index{kiinalainen jxxnnzslause@kiinalainen jäännöslause} \index{Chinese remainder theorem}
\key{Kiinalainen jäännöslause} ratkaisee yhtälöryhmän muotoa The \key{Chinese remainder theorem} solves
a group of equations of the form
\[ \[
\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl}
x & = & a_1 \bmod m_1 \\ x & = & a_1 \bmod m_1 \\
@ -604,24 +604,22 @@ x & = & a_2 \bmod m_2 \\
x & = & a_n \bmod m_n \\ x & = & a_n \bmod m_n \\
\end{array} \end{array}
\] \]
missä kaikki parit luvuista $m_1,m_2,\ldots,m_n$ where all pairs of $m_1,m_2,\ldots,m_n$ are coprime.
ovat suhteellisia alkulukuja.
Olkoon $x^{-1}_m$ luvun $x$ käänteisluku Let $x^{-1}_m$ be the inverse of $x$ modulo $m$, and
modulo $m$ ja
\[ X_k = \frac{m_1 m_2 \cdots m_n}{m_k}.\] \[ X_k = \frac{m_1 m_2 \cdots m_n}{m_k}.\]
Näitä merkintöjä käyttäen yhtälöryhmän ratkaisu on Using this notation, a solution for the equations is
\[x = a_1 X_1 {X_1}^{-1}_{m_1} + a_2 X_2 {X_2}^{-1}_{m_2} + \cdots + a_n X_n {X_n}^{-1}_{m_n}.\] \[x = a_1 X_1 {X_1}^{-1}_{m_1} + a_2 X_2 {X_2}^{-1}_{m_2} + \cdots + a_n X_n {X_n}^{-1}_{m_n}.\]
Tässä ratkaisussa jokaiselle luvulle $k=1,2,\ldots,n$ In this solution, it holds for each number
pätee, että $k=1,2,\ldots,n$ that
\[a_k X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = a_k,\] \[a_k X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = a_k,\]
sillä because
\[X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = 1.\] \[X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = 1.\]
Koska kaikki muut summan osat ovat jaollisia luvulla Since all other terms in the sum are divisible by $m_k$,
$m_k$, ne eivät vaikuta jakojäännökseen ja they have no effect on the remainder,
koko summan jakojäännös $m_k$:lla on $a_k$. and the remainder by $m_k$ for the whole sum is $a_k$.
Esimerkiksi yhtälöryhmän For example, a solution for
\[ \[
\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl}
x & = & 3 \bmod 5 \\ x & = & 3 \bmod 5 \\
@ -629,84 +627,84 @@ x & = & 4 \bmod 7 \\
x & = & 2 \bmod 3 \\ x & = & 2 \bmod 3 \\
\end{array} \end{array}
\] \]
ratkaisu on is
\[ 3 \cdot 21 \cdot 1 + 4 \cdot 15 \cdot 1 + 2 \cdot 35 \cdot 2 = 263.\] \[ 3 \cdot 21 \cdot 1 + 4 \cdot 15 \cdot 1 + 2 \cdot 35 \cdot 2 = 263.\]
Kun yksi ratkaisu $x$ on löytynyt, Once we have found a solution $x$,
sen avulla voi muodostaa äärettömästi we can create an infinite number of other solutions,
erilaisia ratkaisuja, koska kaikki luvut muotoa because all numbers of the form
\[x+m_1 m_2 \cdots m_n\] \[x+m_1 m_2 \cdots m_n\]
ovat ratkaisuja. are solutions.
\section{Other results}
\section{Muita tuloksia} \subsubsection{Lagrange's theorem}
\subsubsection{Lagrangen lause} \index{Lagrange's theorem}
\index{Lagrangen lause@Lagrangen lause} \key{Lagrange's theorem} states that every positive integer
can be represented as a sum of four squares, i.e.,
$a^2+b^2+c^2+d^2$.
For example, the number 123 can be represented
as the sum $8^2+5^2+5^2+3^2$.
\key{Lagrangen lauseen} mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan \subsubsection{Zeckendorf's theorem}
esittää neljän neliöluvun summana eli muodossa $a^2+b^2+c^2+d^2$.
Esimerkiksi luku 123 voidaan esittää muodossa $8^2+5^2+5^2+3^2$.
\subsubsection{Zeckendorfin lause} \index{Zeckendorf's theorem}
\index{Fibonacci number}
\index{Zeckendorfin lause@Zeckendorfin lause} \key{Zeckendorf's theorem} states that every
\index{Fibonaccin luku@Fibonaccin luku} positive integer has a unique representation
as a sum of Fibonacci numbers such that
no two numbers are the same of successive
Fibonacci numbers.
For example, the number 74 can be represented
as the sum $55+13+5+1$.
\key{Zeckendorfin lauseen} mukaan \subsubsection{Pythagorean triples}
jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle
on olemassa yksikäsitteinen esitys
Fibonaccin lukujen summana niin, että
mitkään kaksi lukua eivät ole samat eivätkä peräkkäiset
Fibonaccin luvut.
Esimerkiksi luku 74 voidaan esittää muodossa
$55+13+5+1$.
\subsubsection{Pythagoraan kolmikot} \index{Pythagorean triple}
\index{Euclid's formula}
\index{Pythagoraan kolmikko@Pythagoraan kolmikko} A \key{Pythagorean triple} is a triple $(a,b,c)$
\index{Eukleideen kaava@Eukleideen kaava} that satisfies the Pythagorean theorem
$a^2+b^2=c^2$, which means that there is a right triangle
with side lengths $a$, $b$ and $c$.
For example, $(3,4,5)$ is a Pythagorean triple.
\key{Pythagoraan kolmikko} on lukukolmikko $(a,b,c)$, If $(a,b,c)$ is a Pythagorean triple,
joka toteuttaa Pythagoraan lauseen $a^2+b^2=c^2$ all triples of the form $(ka,kb,kc)$
eli $a$, $b$ ja $c$ voivat olla suorakulmaisen are also Pythagorean triples where $k>1$.
kolmion sivujen pituudet. A Pythagorean triple is \key{primitive} if
Esimerkiksi $(3,4,5)$ on Pythagoraan kolmikko. $a$, $b$ and $c$ are coprime,
and all Pythagorean triples can be constructed
from primitive triples using a multiplier $k$.
Jos $(a,b,c)$ on Pythagoraan kolmikko, \key{Euclid's formula} can be used to produce
niin myös kaikki kolmikot muotoa $(ka,kb,kc)$ all primitive Pythagorean triples.
ovat Pythagoraan kolmikoita, Each such triple is of the form
missä $k>1$.
Pythagoraan kolmikko on \key{primitiivinen},
jos $a$, $b$ ja $c$ ovat suhteellisia alkulukuja,
ja primitiivisistä kolmikoista voi muodostaa
kaikki muut kolmikot kertoimen $k$ avulla.
\key{Eukleideen kaavan} mukaan jokainen primitiivinen
Pythagoraan kolmikko on muotoa
\[(n^2-m^2,2nm,n^2+m^2),\] \[(n^2-m^2,2nm,n^2+m^2),\]
missä $0<m<n$, $n$ ja $m$ ovat suhteelliset where $0<m<n$, $n$ and $m$ are coprime
alkuluvut ja ainakin toinen luvuista $n$ ja $m$ on parillinen. and at least one of the numbers $n$ and $m$ is even.
Esimerkiksi valitsemalla $m=1$ ja $n=2$ syntyy For example, when $m=1$ and $n=2$, the formula
pienin mahdollinen Pythagoraan kolmikko produces the smallest Pythagorean triple
\[(2^2-1^2,2\cdot2\cdot1,2^2+1^2)=(3,4,5).\] \[(2^2-1^2,2\cdot2\cdot1,2^2+1^2)=(3,4,5).\]
\subsubsection{Wilsonin lause} \subsubsection{Wilson's theorem}
\index{Wilsonin lause@Wilsonin lause} \index{Wilson's theorem}
\key{Wilsonin lauseen} mukaan luku $n$ on alkuluku \key{Wilson's theorem} states that a number $n$
tarkalleen silloin, kun is prime exactly when
\[(n-1)! \bmod n = n-1.\] \[(n-1)! \bmod n = n-1.\]
Esimerkiksi luku 11 on alkuluku, koska For example, the number 11 is prime, because
\[10! \bmod 11 = 10,\] \[10! \bmod 11 = 10,\]
ja luku 12 ei ole alkuluku, koska and the number 12 is not prime, because
\[11! \bmod 12 = 0 \neq 11.\] \[11! \bmod 12 = 0 \neq 11.\]
Wilsonin lauseen avulla voi siis tutkia, onko luku alkuluku. Hence, Wilson's theorem tells us whether a number
Tämä ei ole kuitenkaan käytännössä hyvä tapa, is prime. However, in practice, the formula can't be
koska luvun $(n-1)!$ laskeminen on työlästä, used for large values of $n$, because it's difficult
jos $n$ on suuri luku. to calculate the number $(n-1)!$ if $n$ is large.