From 499f9dda68c556c88a60d489d1fca3094208d4b9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antti H S Laaksonen Date: Tue, 3 Jan 2017 01:07:43 +0200 Subject: [PATCH] Chapter 7 first version --- luku07.tex | 142 ++++++++++++++++++++++++++++------------------------- 1 file changed, 74 insertions(+), 68 deletions(-) diff --git a/luku07.tex b/luku07.tex index 958cfbc..e40412f 100644 --- a/luku07.tex +++ b/luku07.tex @@ -888,24 +888,25 @@ In this case the path is as follows: \end{tikzpicture} \end{center} -Merkkijonojen \texttt{PALLO} ja \texttt{TALO} viimeinen merkki on sama, -joten niiden editointietäisyys on sama kuin -merkkijonojen \texttt{PALL} ja \texttt{TAL}. -Nyt voidaan poistaa viimeinen \texttt{L} merkkijonosta \texttt{PAL}, -mistä tulee yksi operaatio. -Editointietäisyys on siis yhden suurempi -kuin merkkijonoilla \texttt{PAL} ja \texttt{TAL}, jne. +The last characters of \texttt{LOVE} and \texttt{MOVIE} +are equal, so the edit distance between them +equals the edit distance between \texttt{LOV} and \texttt{MOVI}. +We can use one editing operation to remove the +character \texttt{I} from \texttt{MOVI}. +Thus, the edit distance is one larger than +the edit distance between \texttt{LOV} and \texttt{MOV}, etc. -\section{Laatoitukset} +\section{Tilings} -Joskus dynaamisen ohjelmoinnin tila on monimutkaisempi kuin -kiinteä yhdistelmä lukuja. -Tarkastelemme lopuksi tehtävää, jossa -laskettavana on, monellako tavalla -kokoa $1 \times 2$ ja $2 \times 1$ olevilla laatoilla -voi täyttää $n \times m$ -kokoisen ruudukon. -Esimerkiksi ruudukolle kokoa $4 \times 7$ -yksi mahdollinen ratkaisu on +Sometimes the dynamic programming state +is more complex than a fixed combination of numbers. +As an example, +we consider a problem where our task +is to calculate the number of different ways to +fill an $n \times m$ grid using +$1 \times 2$ and $2 \times 1$ size tiles. +For example, one valid solution +for the $4 \times 7$ grid is \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=.65] \draw (0,0) grid (7,4); @@ -927,72 +928,77 @@ yksi mahdollinen ratkaisu on \end{tikzpicture} \end{center} -ja ratkaisujen yhteismäärä on 781. +and the total number of solutions is 781. -Tehtävän voi ratkaista dynaamisella ohjelmoinnilla -käymällä ruudukkoa läpi rivi riviltä. -Jokainen ratkaisun rivi pelkistyy merkkijonoksi, -jossa on $m$ merkkiä joukosta $\{\sqcap, \sqcup, \sqsubset, \sqsupset \}$. -Esimerkiksi yllä olevassa ratkaisussa on 4 riviä, -jotka vastaavat merkkijonoja +The problem can be solved using dynamic programming +by going through the grid row by row. +Each row in a solution can be represented as a +string that contains $m$ characters from the set +$\{\sqcap, \sqcup, \sqsubset, \sqsupset \}$. +For example, the above solution consists of four rows +that correspond to the following strings: \begin{itemize} \item -$\sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap$, +$\sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap$ \item -$\sqcup \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcap \sqcap \sqcup$, +$\sqcup \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcap \sqcap \sqcup$ \item -$\sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcup \sqcap$ ja +$\sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcup \sqcap$ \item -$\sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqcup$. +$\sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqcup$ \end{itemize} -Tehtävään sopiva rekursiivinen funktio on $f(k,x)$, -joka laskee, montako tapaa on muodostaa ratkaisu -ruudukon riveille $1 \ldots k$ niin, -että riviä $k$ vastaa merkkijono $x$. -Dynaaminen ohjelmointi on mahdollista, -koska jokaisen rivin sisältöä -rajoittaa vain edellisen rivin sisältö. +Let $f(k,x)$ denote the number of ways to +construct a solution for the rows $1 \ldots k$ +in the grid so that string $x$ corresponds to row $k$. +It is possible to use dynamic programing here +because the state of a row is constrained +only be the state of the previous row. -Riveistä muodostuva ratkaisu on kelvollinen, -jos rivillä 1 ei ole merkkiä $\sqcup$, -rivillä $n$ ei ole merkkiä $\sqcap$ -ja kaikki peräkkäiset rivit ovat \emph{yhteensopivat}. -Esimerkiksi rivit -$\sqcup \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcap \sqcap \sqcup$ ja +A solution is valid if row $1$ doesn't contain +the character $\sqcup$, +row $n$ doesn't contain the character $\sqcap$, +and all successive rows are \emph{compatible}. +For example, the rows +$\sqcup \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcap \sqcap \sqcup$ and $\sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqcup \sqcup \sqcap$ -ovat yhteensopivat, -kun taas rivit -$\sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap$ ja +are compatible, while the rows +$\sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap \sqsubset \sqsupset \sqcap$ and $\sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqsubset \sqsupset \sqcup$ -eivät ole yhteensopivat. +are not compatible. -Koska rivillä on $m$ merkkiä ja jokaiselle merkille on 4 -vaihtoehtoa, erilaisia rivejä on korkeintaan $4^m$. -Niinpä ratkaisun aikavaativuus on $O(n 4^{2m})$, -koska joka rivillä käydään läpi $O(4^m)$ -vaihtoehtoa rivin sisällölle -ja jokaista vaihtoehtoa kohden on $O(4^m)$ -vaihtoehtoa edellisen rivin sisällölle. -Käytännössä ruudukko kannattaa kääntää niin -päin, että pienempi sivun pituus on $m$:n roolissa, -koska $m$:n suuruus on ratkaiseva ajankäytön kannalta. +Since a row consists of $m$ characters and there are +four choices for each character, the number of different +rows is at most $4^m$. +Thus, the time complexity of the solution is +$O(n 4^{2m})$ because we can check the +$O(4^m)$ possible states for each row, +and for each state, there are $O(4^m)$ +possible states for the previous row. +In practice, it's a good idea to rotate the grid +so that the shorter side has length $m$ +because the factor $4^{2m}$ dominates the time complexity. -Ratkaisua on mahdollista tehostaa parantamalla rivien esitystapaa merkkijonoina. -Osoittautuu, että ainoa seuraavalla rivillä tarvittava tieto on, -missä kohdissa riviltä lähtee laattoja alaspäin. -Niinpä rivin voikin tallentaa käyttäen vain merkkejä -$\sqcap$ ja $\Box$, missä $\Box$ kokoaa yhteen vanhat merkit -$\sqcup$, $\sqsubset$ ja $\sqsupset$. -Tällöin erilaisia rivejä on vain $2^m$ -ja aikavaativuudeksi tulee $O(n 2^{2m})$. +It is possible to make the solution more efficient +by using a better representation for the rows as strings. +It turns out that it is sufficient to know the +columns of the previous row that contain the first square +of a vertical tile. +Thus, we can represent a row using only characters +$\sqcap$ and $\Box$ where $\Box$ is a combination +of characters +$\sqcup$, $\sqsubset$ and $\sqsupset$. +In this case, there are only +$2^m$ distinct rows and the time complexity becomes +$O(n 2^{2m})$. -Mainittakoon lopuksi, että laatoitusten määrän laskemiseen -on myös yllättävä suora kaava +As a final note, there is also a surprising direct formula +for calculating the number of tilings: \[ \prod_{a=1}^{\lceil n/2 \rceil} \prod_{b=1}^{\lceil m/2 \rceil} 4 \cdot (\cos^2 \frac{\pi a}{n + 1} + \cos^2 \frac{\pi b}{m+1}).\] -Tämä kaava on sinänsä hyvin tehokas, -koska se laskee laatoitusten määrän ajassa $O(nm)$, -mutta käytännön ongelma kaavan käyttämisessä -on, kuinka tallentaa välitulokset riittävän tarkkoina lukuina. +This formula is very efficient because it calculates +the number of tilings on $O(nm)$ time, +but since the answer is a product of real numbers, +a practical problem in using the formula is +how to store the intermediate results accurately.