Chapter 29 first version
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
parent
1f0c8e66af
commit
5121718338
594
luku29.tex
594
luku29.tex
|
|
@ -1,17 +1,17 @@
|
|||
\chapter{Geometry}
|
||||
|
||||
\index{geometria@geometria}
|
||||
\index{geometry}
|
||||
|
||||
Geometrian tehtävissä on usein haasteena keksiä,
|
||||
mistä suunnasta ongelmaa kannattaa lähestyä,
|
||||
jotta ratkaisun saa koodattua mukavasti ja
|
||||
erikoistapauksia tulee mahdollisimman vähän.
|
||||
In geometric problems, a usual challenge is
|
||||
to realize how to approach the problem so that
|
||||
the solution can be conveniently implemented
|
||||
and the number of special cases is small.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää,
|
||||
jossa annettuna on nelikulmion kulmapisteet
|
||||
ja tehtävänä on laskea sen pinta-ala.
|
||||
Esimerkiksi syötteenä voi olla
|
||||
seuraavanlainen nelikulmio:
|
||||
As an example, consider a problem where
|
||||
we are given the vertices of a quadrilateral
|
||||
(a polygon that has four vertices),
|
||||
and our task is to calculate its area.
|
||||
For example, a possible input for the problem is as follows:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
|
|
@ -23,9 +23,9 @@ seuraavanlainen nelikulmio:
|
|||
\draw[thick] (6,2) -- (5,6) -- (2,5) -- (1,1) -- (6,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Yksi tapa lähestyä tehtävää on jakaa nelikulmio
|
||||
kahdeksi kolmioksi vetämällä jakoviiva kahden
|
||||
vastakkaisen kulmapisteen välille:
|
||||
One way to approach the problem is to divide
|
||||
the quadrilateral into two triangles by a straight
|
||||
line between two opposite vertices:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
|
||||
|
|
@ -38,21 +38,23 @@ vastakkaisen kulmapisteen välille:
|
|||
\draw[dashed,thick] (2,5) -- (6,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Tämän jälkeen riittää laskea yhteen kolmioiden
|
||||
pinta-alat. Kolmion pinta-alan voi laskea
|
||||
esimerkiksi \key{Heronin kaavalla}
|
||||
After this, it suffices to sum the areas
|
||||
of the triangles.
|
||||
The area of a triangle can be calculated,
|
||||
for example, using \key{Heron's formula}
|
||||
\[ \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)},\]
|
||||
kun kolmion sivujen pituudet ovat
|
||||
$a$, $b$ ja $c$ ja $s=(a+b+c)/2$.
|
||||
\index{Heronin kaava@Heronin kaava}
|
||||
where $a$, $b$ and $c$ are the lengths
|
||||
of the triangle's sides and
|
||||
$s=(a+b+c)/2$.
|
||||
\index{Heron's formula}
|
||||
|
||||
Tämä on mahdollinen tapa ratkaista tehtävä,
|
||||
mutta siinä on ongelma:
|
||||
miten löytää kelvollinen tapa vetää jakoviiva?
|
||||
Osoittautuu, että
|
||||
mitkä tahansa vastakkaiset pisteet eivät kelpaa.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa nelikulmiossa
|
||||
jakoviiva menee nelikulmion ulkopuolelle:
|
||||
This is a possible way to solve the problem,
|
||||
but there is one pitfall:
|
||||
how to divide the quadrilateral into triangles?
|
||||
It turns out that sometimes we can't pick
|
||||
arbitrary opposite vertices.
|
||||
For example, in the following quadrilateral,
|
||||
the division line is outside the quadrilateral:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
|
||||
|
|
@ -65,7 +67,7 @@ jakoviiva menee nelikulmion ulkopuolelle:
|
|||
\draw[dashed,thick] (2,5) -- (6,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Toinen tapa vetää jakoviiva on kuitenkin toimiva:
|
||||
However, another way to draw the line works:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
|
||||
|
|
@ -78,39 +80,38 @@ Toinen tapa vetää jakoviiva on kuitenkin toimiva:
|
|||
\draw[dashed,thick] (3,2) -- (1,1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Ihmiselle on selvää, kumpi jakoviiva jakaa nelikulmion
|
||||
kahdeksi kolmioksi, mutta tietokoneen kannalta
|
||||
tilanne on hankala.
|
||||
For a human, it is clear which of the lines is the correct
|
||||
choice, but for a computer the situation is difficult.
|
||||
|
||||
Osoittautuu, että tehtävän ratkaisuun on olemassa
|
||||
paljon helpommin toteutettava tapa,
|
||||
jossa ei tarvitse miettiä erikoistapauksia.
|
||||
Nelikulmion pinta-alan laskemiseen
|
||||
on nimittäin yleinen kaava
|
||||
However, it turns out that we can solve the problem using
|
||||
another method which is much easier to implement
|
||||
and doesn't contain any special cases.
|
||||
There is a general formula
|
||||
\[x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_1-x_1y_4,\]
|
||||
kun kulmapisteet ovat
|
||||
that calculates the area of a quadrilateral
|
||||
whose vertices are
|
||||
$(x_1,y_1)$,
|
||||
$(x_2,y_2)$,
|
||||
$(x_3,y_3)$ ja
|
||||
$(x_3,y_3)$ and
|
||||
$(x_4,y_4)$.
|
||||
Tämä kaava on helppo laskea, siinä ei ole erikoistapauksia
|
||||
ja osoittautuu, että kaava on mahdollista yleistää
|
||||
\textit{kaikille} monikulmioille.
|
||||
This formula is easy to calculate, there are no special
|
||||
cases, and it turns out that we can generalize the formula
|
||||
for \emph{all} polygons.
|
||||
|
||||
\section{Kompleksiluvut}
|
||||
\section{Complex numbers}
|
||||
|
||||
\index{kompleksiluku@kompleksiluku}
|
||||
\index{piste@piste}
|
||||
\index{vektori@vektori}
|
||||
\index{complex number}
|
||||
\index{point}
|
||||
\index{vector}
|
||||
|
||||
\key{Kompleksiluku} on luku muotoa $x+y i$, missä $i = \sqrt{-1}$
|
||||
on \key{imaginääriyksikkö}.
|
||||
Kompleksiluvun luonteva geometrinen tulkinta on,
|
||||
että se esittää kaksiulotteisen tason pistettä $(x,y)$
|
||||
tai vektoria origosta pisteeseen $(x,y)$.
|
||||
A \key{complex number} is a number of the form $x+y i$,
|
||||
where $i = \sqrt{-1}$ is the \key{imaginary unit}.
|
||||
A geometric interpretation for a complex number is
|
||||
that it represents a two-dimensional point $(x,y)$
|
||||
or a vector from the origin to point $(x,y)$.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi luku $4+2i$ tarkoittaa seuraavaa
|
||||
pistettä ja vektoria:
|
||||
For example, $4+2i$ corresponds to the
|
||||
following point and vector:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
|
|
@ -127,17 +128,16 @@ pistettä ja vektoria:
|
|||
|
||||
\index{complex@\texttt{complex}}
|
||||
|
||||
C++:ssa on kompleksilukujen käsittelyyn luokka \texttt{complex},
|
||||
josta on hyötyä geometriassa.
|
||||
Luokan avulla voi esittää pisteen tai vektorin
|
||||
kompleksilukuna, ja luokassa on valmiita
|
||||
geometriaan soveltuvia työkaluja.
|
||||
The complex number class \texttt{complex} in C++ is
|
||||
useful when solving geometry problems.
|
||||
Using the class, we can store points and vectors
|
||||
as complex numbers, and the class also contains tools
|
||||
that are useful in geometry.
|
||||
|
||||
Seuraavassa koodissa \texttt{C} on koordinaatin tyyppi
|
||||
ja \texttt{P} on pisteen tai vektorin tyyppi.
|
||||
Lisäksi koodi määrittelee
|
||||
lyhennysmerkinnät \texttt{X} ja \texttt{Y},
|
||||
joiden avulla pystyy viittaamaan x- ja y-koordinaatteihin.
|
||||
In the following code, \texttt{C} is the type of
|
||||
a coordinate, and \texttt{P} is the type of a point or vector.
|
||||
In addition, the code defines shortcuts \texttt{X} and \texttt{Y}
|
||||
that can be used to refer to x and y coordinates.
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
typedef long long C;
|
||||
|
|
@ -146,16 +146,16 @@ typedef complex<C> P;
|
|||
#define Y imag()
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Esimerkiksi seuraava koodi määrittelee pisteen $p=(4,2)$
|
||||
ja ilmoittaa sen x- ja y-koordinaatin:
|
||||
For example, the following code defines a point $p=(4,2)$
|
||||
and prints its x and y coordinates:
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
P p = {4,2};
|
||||
cout << p.X << " " << p.Y << "\n"; // 4 2
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Seuraava koodi määrittelee vektorit $v=(3,1)$
|
||||
ja $u=(2,2)$ ja laskee sitten niiden summan $s=v+u$:
|
||||
The following code defines vectors $v=(3,1)$ and $u=(2,2)$,
|
||||
and after that calculates the sum $s=v+u$.
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
P v = {3,1};
|
||||
|
|
@ -164,59 +164,57 @@ P s = v+u;
|
|||
cout << s.X << " " << s.Y << "\n"; // 5 3
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Sopiva koordinaatin tyyppi \texttt{C} on tilanteesta
|
||||
riippuen \texttt{long long} (kokonaisluku)
|
||||
tai \texttt{long double} (liukuluku).
|
||||
Kokonaislukuja kannattaa käyttää aina kun mahdollista,
|
||||
koska silloin laskenta on tarkkaa.
|
||||
The appropriate type for \texttt{C} is
|
||||
\texttt{long long} (integer) or \texttt{long double}
|
||||
(real number), depending on the situation.
|
||||
It is a good idea to use integers whenever possible,
|
||||
because the integer calculations are exact.
|
||||
|
||||
Jos koordinaatit ovat liukulukuja,
|
||||
niiden vertailussa täytyy ottaa huomioon epätarkkuus.
|
||||
Turvallinen tapa tarkistaa,
|
||||
ovatko liukuluvut $a$ ja $b$ samat
|
||||
on käyttää vertailua $|a-b|<\epsilon$, jossa $\epsilon$
|
||||
on pieni luku (esimerkiksi $\epsilon=10^{-9}$).
|
||||
If coordinates are real numbers,
|
||||
precision error should be taken into account
|
||||
when comparing them.
|
||||
A safe way to check if numbers $a$ and $b$ are equal
|
||||
is the comparison $|a-b|<\epsilon$,
|
||||
where $\epsilon$ is a small number (for example, $\epsilon=10^{-9}$).
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Funktioita}
|
||||
\subsubsection*{Functions}
|
||||
|
||||
Seuraavissa esimerkeissä koordinaatin tyyppinä on
|
||||
In the following examples, the coordinate type is
|
||||
\texttt{long double}.
|
||||
|
||||
Funktio \texttt{abs(v)} laskee vektorin $v=(x,y)$
|
||||
pituuden $|v|$ kaavalla $\sqrt{x^2+y^2}$.
|
||||
Sillä voi laskea myös pisteiden $(x_1,y_1)$
|
||||
ja $(x_2,y_2)$ etäisyyden,
|
||||
koska pisteiden etäisyys
|
||||
on sama kuin vektorin $(x_2-x_1,y_2-y_1)$ pituus.
|
||||
Joskus hyödyllinen on myös funktio \texttt{norm(v)},
|
||||
joka laskee vektorin $v=(x,y)$ pituuden neliön $|v|^2$.
|
||||
The function \texttt{abs(v)} calculates the length
|
||||
$|v|$ of a vector $v=(x,y)$
|
||||
using the formula $\sqrt{x^2+y^2}$.
|
||||
The function can also be used for
|
||||
calculating the distance between points
|
||||
$(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$,
|
||||
because that distance equals the length
|
||||
of the vector $(x_2-x_1,y_2-y_1)$.
|
||||
|
||||
Seuraava koodi laskee
|
||||
pisteiden $(4,2)$ ja $(3,-1)$ etäisyyden:
|
||||
The following code calculates the distance
|
||||
of points $(4,2)$ and $(3,-1)$:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
P a = {4,2};
|
||||
P b = {3,-1};
|
||||
cout << abs(b-a) << "\n"; // 3.60555
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Funktio \texttt{arg(v)} laskee vektorin $v=(x,y)$
|
||||
kulman radiaaneina suhteessa x-akseliin.
|
||||
Radiaaneina ilmoitettu kulma $r$ vastaa asteina
|
||||
kulmaa $180 r/\pi$ astetta.
|
||||
Jos vektori osoittaa suoraan oikealle,
|
||||
sen kulma on 0.
|
||||
Kulma kasvaa vastapäivään ja vähenee myötäpäivään
|
||||
liikuttaessa.
|
||||
The function \texttt{arg(v)} calculates the
|
||||
angle of a vector $v=(x,y)$ with respect to the x axel.
|
||||
The function gives the angle in radians,
|
||||
where $r$ radians equals $180 r/\pi$ degrees.
|
||||
The angle of a vector that points to the right is 0,
|
||||
and the angle decreases clockwise and increases
|
||||
counterclockwise.
|
||||
|
||||
Funktio \texttt{polar(s,a)} muodostaa vektorin,
|
||||
jonka pituus on $s$ ja joka osoittaa kulmaan $a$.
|
||||
Lisäksi vektoria pystyy kääntämään kulman $a$
|
||||
verran kertomalla se vektorilla,
|
||||
jonka pituus on 1 ja kulma on $a$.
|
||||
The function \texttt{polar(s,a)} constructs a vector
|
||||
whose length is $s$ and that points to angle $a$.
|
||||
In addition, a vector can be rotated by angle $a$
|
||||
by multiplying it by a vector with length 1 and angle $a$.
|
||||
|
||||
Seuraava koodi laskee vektorin $(4,2)$ kulman,
|
||||
kääntää sitä sitten $1/2$ radiaania vastapäivään
|
||||
ja laskee uuden kulman:
|
||||
The following code calculates the angle of
|
||||
the vector $(4,2)$, rotates it $1/2$ radians
|
||||
counterclockwise, and then calculates the angle again:
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
P v = {4,2};
|
||||
|
|
@ -225,19 +223,17 @@ v *= polar(1.0,0.5);
|
|||
cout << arg(v) << "\n"; // 0.963648
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
\section{Pisteet ja suorat}
|
||||
\section{Points and lines}
|
||||
|
||||
\index{ristitulo@ristitulo}
|
||||
Vektorien
|
||||
$a=(x_1,y_1)$ ja $b=(x_2,y_2)$ \key{ristitulo} $a \times b$
|
||||
lasketaan kaavalla $x_1 y_2 - x_2 y_1$.
|
||||
Ristitulo ilmaisee, mihin suuntaan vektori $b$
|
||||
kääntyy, jos se laitetaan vektorin $a$ perään.
|
||||
Positiivinen ristitulo tarkoittaa käännöstä vasemmalle,
|
||||
negatiivinen käännöstä oikealle, ja nolla tarkoittaa,
|
||||
että vektorit ovat samalla suoralla.
|
||||
\index{cross product}
|
||||
|
||||
Seuraava kuva näyttää kolme esimerkkiä ristitulosta:
|
||||
The \key{cross product} $a \times b$ of vectors
|
||||
$a=(x_1,y_1)$ and $b=(x_2,y_2)$ equals $x_1 y_2 - x_2 y_1$.
|
||||
The cross product indicates whether the vector $b$
|
||||
turns to the left (positive value) or to the right (negative value)
|
||||
when it is placed directly after the vector $a$.
|
||||
|
||||
The following picture shows three examples:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
|
||||
|
|
@ -268,10 +264,10 @@ Seuraava kuva näyttää kolme esimerkkiä ristitulosta:
|
|||
\end{center}
|
||||
|
||||
\noindent
|
||||
Esimerkiksi vasemmassa kuvassa
|
||||
$a=(4,2)$ ja $b=(1,2)$.
|
||||
Seuraava koodi laskee vastaavan ristitulon
|
||||
luokkaa \texttt{complex} käyttäen:
|
||||
For example, in the left picture
|
||||
$a=(4,2)$ and $b=(1,2)$.
|
||||
The following code calculates the cross product
|
||||
using the class \texttt{complex}:
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
P a = {4,2};
|
||||
|
|
@ -279,23 +275,23 @@ P b = {1,2};
|
|||
C r = (conj(a)*b).Y; // 6
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Tämä perustuu siihen, että funktio \texttt{conj}
|
||||
muuttaa vektorin y-koordinaatin käänteiseksi
|
||||
ja kompleksilukujen kertolaskun seurauksena
|
||||
vektorien $(x_1,-y_1)$ ja $(x_2,y_2)$
|
||||
kertolaskun y-koordinaatti on $x_1 y_2 - x_2 y_1$.
|
||||
The function \texttt{conj} negates the y coordinate
|
||||
of a vector,
|
||||
and when the vectors $(x_1,-y_1)$ and $(x_2,y_2)$
|
||||
are multiplied together, the y coordinate
|
||||
of the result is $x_1 y_2 - x_2 y_1$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Pisteen sijainti suoraan nähden}
|
||||
\subsubsection{Point location}
|
||||
|
||||
Ristitulon avulla voi selvittää,
|
||||
kummalla puolella suoraa tutkittava piste sijaitsee.
|
||||
Oletetaan, että suora kulkee pisteiden
|
||||
$s_1$ ja $s_2$ kautta, katsontasuunta on
|
||||
pisteestä $s_1$ pisteeseen $s_2$ ja
|
||||
tutkittava piste on $p$.
|
||||
The cross product can be used for testing
|
||||
whether a point is located on the left or right
|
||||
side of a line.
|
||||
Assume that the line goes through points
|
||||
$s_1$ and $s_2$, we are looking from $s_1$
|
||||
to $s_2$ and the point is $p$.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa piste $p$
|
||||
on suoran vasemmalla puolella:
|
||||
For example, in the following picture,
|
||||
$p$ is on the left side of the line:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
|
||||
\draw[dashed,thick,->] (0,-3)--(12,6);
|
||||
|
|
@ -308,29 +304,31 @@ on suoran vasemmalla puolella:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Nyt ristitulo $(p-s_1) \times (p-s_2)$
|
||||
kertoo, kummalla puolella suoraa piste $p$ sijaitsee.
|
||||
Jos ristitulo on positiivinen,
|
||||
piste $p$ on suoran vasemmalla puolella,
|
||||
ja jos ristitulo on negatiivinen,
|
||||
piste $p$ on suoran oikealla puolella.
|
||||
Jos taas ristitulo on nolla,
|
||||
piste $p$ on pisteiden $s_1$ ja $s_2$
|
||||
kanssa suoralla.
|
||||
Now the cross product $(p-s_1) \times (p-s_2)$
|
||||
indicates the location of the point $p$.
|
||||
If the cross product is positive,
|
||||
$p$ is located on the left side,
|
||||
and if the cross product is negative,
|
||||
$p$ is located on the right side.
|
||||
Finally, if the cross product is zero,
|
||||
points $s_1$, $s_2$ and $p$ are on the same line.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Janojen leikkaaminen}
|
||||
\subsubsection{Line segment intersection}
|
||||
|
||||
\index{leikkauspiste@leikkauspiste}
|
||||
\index{line segment intersection}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan tilannetta, jossa tasossa on kaksi
|
||||
janaa $ab$ ja $cd$ ja tehtävänä on selvittää,
|
||||
leikkaavatko janat. Mahdolliset tapaukset ovat seuraavat:
|
||||
Consider a problem where we are given two line segments
|
||||
$ab$ and $cd$ and our task is to check whether they
|
||||
intersect. The possible cases are:
|
||||
|
||||
\textit{Tapaus 1:}
|
||||
Janat ovat samalla suoralla ja ne sivuavat toisiaan.
|
||||
Tällöin janoilla on ääretön määrä leikkauspisteitä.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa janat leikkaavat
|
||||
pisteestä $c$ pisteeseen $b$:
|
||||
\textit{Case 1:}
|
||||
The line segments are on the same line
|
||||
and they overlap each other.
|
||||
In this case, there is an infinite number of
|
||||
intersection points.
|
||||
For example, in the following picture,
|
||||
all points between $c$ and $b$ are
|
||||
intersection points:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\draw (1.5,1.5)--(6,3);
|
||||
|
|
@ -346,16 +344,16 @@ pisteestä $c$ pisteeseen $b$:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tässä tapauksessa ristitulon avulla voi tarkastaa,
|
||||
ovatko kaikki pisteet samalla suoralla.
|
||||
Tämän jälkeen riittää järjestää pisteet ja
|
||||
tarkastaa, menevätkö janat toistensa päälle.
|
||||
In this case, we can use cross products to
|
||||
check if all points are on the same line.
|
||||
After this, we can sort the points and check
|
||||
whether the line segments overlap each other.
|
||||
|
||||
\textit{Tapaus 2:}
|
||||
Janoilla on yhteinen päätepiste, joka on
|
||||
ainoa leikkauspiste.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa
|
||||
janat leikkaavat pisteessä $b=c$:
|
||||
\textit{Case 2:}
|
||||
The line segments have a common vertex
|
||||
that is the only intersection point.
|
||||
For example, in the following picture the
|
||||
intersection point is $b=c$:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
|
|
@ -371,15 +369,15 @@ janat leikkaavat pisteessä $b=c$:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämä tapaus on helppoa tarkastaa,
|
||||
koska mahdolliset vaihtoehdot
|
||||
yhteiselle päätepisteelle ovat
|
||||
$a=c$, $a=d$, $b=c$ ja $b=d$.
|
||||
This case is easy to test because the
|
||||
possibilities for the common intersection point
|
||||
are $a=c$, $a=d$, $b=c$ and $b=d$.
|
||||
|
||||
\textit{Tapaus 3:}
|
||||
Janoilla on yksi leikkauspiste,
|
||||
joka ei ole mikään janojen päätepisteistä.
|
||||
Seuraavassa kuvassa leikkauspiste on $p$:
|
||||
\textit{Case 3:}
|
||||
There is exactly one intersection point
|
||||
that is not a vertex of any line segment.
|
||||
In the following picture, the point $p$
|
||||
is the intersection point:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\draw (0,1)--(6,3);
|
||||
|
|
@ -397,34 +395,25 @@ Seuraavassa kuvassa leikkauspiste on $p$:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tässä tapauksessa janat leikkaavat
|
||||
tarkalleen silloin, kun samaan aikaan
|
||||
pisteet $c$ ja $d$ ovat eri puolilla
|
||||
$a$:sta $b$:hen kulkevaa suoraa
|
||||
ja pisteet $a$ ja $b$
|
||||
ovat eri puolilla
|
||||
$c$:stä $d$:hen kulkevaa suoraa.
|
||||
Niinpä janojen leikkaamisen voi tarkastaa
|
||||
ristitulon avulla.
|
||||
In this case, the line segments intersect
|
||||
exactly when both points $c$ and $d$ are
|
||||
on different sides of a line through $a$ and $b$,
|
||||
and points $a$ and $b$ are on different
|
||||
sides of a line through $c$ and $d$.
|
||||
Hence, we can use cross products to check this.
|
||||
|
||||
% Janojen leikkauspiste $p$ selviää etsimällä
|
||||
% parametrit $t$ ja $u$ niin, että
|
||||
%
|
||||
% \[ p = a+t(b-a) = c+u(d-c). \]
|
||||
\subsubsection{Point distance from a line}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{Pisteen etäisyys suorasta}
|
||||
|
||||
Kolmion pinta-ala voidaan lausua
|
||||
ristitulon avulla
|
||||
The area of a triangle can be calculated
|
||||
using the formula
|
||||
\[\frac{| (a-c) \times (b-c) |}{2},\]
|
||||
missä $a$, $b$ ja $c$ ovat kolmion kärkipisteet.
|
||||
where $a$, $b$ and $c$ are the vertices of the triangle.
|
||||
|
||||
Tämän kaavan avulla on mahdollista laskea,
|
||||
kuinka kaukana annettu piste on suorasta.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa $d$
|
||||
on lyhin etäisyys pisteestä $p$ suoralle,
|
||||
jonka määrittävät pisteet $s_1$ ja $s_2$:
|
||||
Using this formula, it is possible to calculate the
|
||||
shortest distance of a point from a line.
|
||||
For example, in the following picture $d$ is the
|
||||
shortest distance between point $p$ and the line
|
||||
that is defined by points $s_1$ and $s_2$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
|
||||
\draw (-2,-1)--(6,3);
|
||||
|
|
@ -439,22 +428,23 @@ jonka määrittävät pisteet $s_1$ ja $s_2$:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Pisteiden $s_1$, $s_2$ ja $p$ muodostaman kolmion
|
||||
pinta-ala on toisaalta $\frac{1}{2} |s_2-s_1| d$ ja toisaalta
|
||||
The area of the triangle whose vertices are
|
||||
$s_1$, $s_2$ and $p$ can be calculated in two ways:
|
||||
it is both
|
||||
$\frac{1}{2} |s_2-s_1| d$ and
|
||||
$\frac{1}{2} ((s_1-p) \times (s_2-p))$.
|
||||
Niinpä haluttu etäisyys on
|
||||
Thus, the shortest distance is
|
||||
|
||||
\[ d = \frac{(s_1-p) \times (s_2-p)}{|s_2-s_1|} .\]
|
||||
|
||||
\subsubsection{Point inside a polygon}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Piste monikulmiossa}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan sitten tehtävää, jossa
|
||||
tulee selvittää, onko annettu piste
|
||||
monikulmion sisäpuolella vai ulkopuolella.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa piste $a$ on
|
||||
sisäpuolella ja piste $b$ on
|
||||
ulkopuolella.
|
||||
Let us now consider a problem where our task is to
|
||||
find out whether a point is located inside or outside
|
||||
a polygon.
|
||||
For example, in the following picture point $a$
|
||||
is inside the polygon and point $b$ is outside
|
||||
the polygon.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
|
||||
|
|
@ -468,18 +458,17 @@ ulkopuolella.
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Kätevä ratkaisu tehtävään
|
||||
on lähettää pisteestä säde
|
||||
satunnaiseen suuntaan ja laskea,
|
||||
montako kertaa se osuu monikulmion reunaan.
|
||||
Jos kertoja on pariton määrä,
|
||||
niin piste on sisäpuolella,
|
||||
ja jos taas kertoja on parillinen määrä,
|
||||
niin piste on ulkopuolella.
|
||||
A convenient way to solve the problem is to
|
||||
send a ray from the point to an arbitrary direction
|
||||
and calculate the number of times it touches
|
||||
the border of the polygon.
|
||||
If the number is odd,
|
||||
the point is inside the polygon,
|
||||
and if the number is even,
|
||||
the point is outside the polygon.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Äskeisessä tilanteessa säteitä
|
||||
voisi lähteä seuraavasti:
|
||||
For example, we could send the following rays:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
|
||||
\draw (0,0)--(2,2)--(5,1)--(2,3)--(1,2)--(-1,2)--(1,4)--(-2,4)--(-2,1)--(-3,3)--(-4,0)--(0,0);
|
||||
|
|
@ -498,26 +487,27 @@ voisi lähteä seuraavasti:
|
|||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Pisteestä $a$ lähtevät säteet osuvat 1 ja 3
|
||||
kertaa monikulmion reunaan,
|
||||
joten piste on sisäpuolella.
|
||||
Vastaavasti pisteestä $b$ lähtevät
|
||||
säteet osuvat 0 ja 2 kertaa monikulmion reunaan,
|
||||
joten piste on ulkopuolella.
|
||||
The rays from $a$ touch 1 and 3 times
|
||||
the border of the polygon,
|
||||
so $a$ is inside the polygon.
|
||||
Correspondingly, the rays from $b$
|
||||
touch 0 and 2 times the border of the polygon,
|
||||
so $b$ is outside the polygon.
|
||||
|
||||
\section{Monikulmion pinta-ala}
|
||||
\section{Polygon are}
|
||||
|
||||
Yleinen kaava monikulmion pinta-alan laskemiseen on
|
||||
A general formula for calculating the area
|
||||
of a polygon is
|
||||
\[\frac{1}{2} |\sum_{i=1}^{n-1} (p_i \times p_{i+1})| =
|
||||
\frac{1}{2} |\sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)|, \]
|
||||
kun kärkipisteet ovat
|
||||
when the vertices are
|
||||
$p_1=(x_1,y_1)$, $p_2=(x_2,y_2)$, $\ldots$, $p_n=(x_n,y_n)$
|
||||
järjestettynä niin,
|
||||
että $p_i$ ja $p_{i+1}$ ovat vierekkäiset kärkipisteet
|
||||
monikulmion reunalla
|
||||
ja ensimmäinen ja viimeinen kärkipiste ovat samat eli $p_1=p_n$.
|
||||
sorted so that
|
||||
$p_i$ and $p_{i+1}$ are adjacent vertices on the border
|
||||
of the polygon,
|
||||
and the first and last vertex is the same, i.e., $p_1=p_n$.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi monikulmion
|
||||
For example, the area of the polygon
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\filldraw (4,1.4) circle (2pt);
|
||||
|
|
@ -533,11 +523,13 @@ Esimerkiksi monikulmion
|
|||
\path[draw] (4,1.4) -- (7,3.4) -- (5,5.4) -- (2,4.4) -- (4,3.4) -- (4,1.4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
pinta-ala on
|
||||
is
|
||||
\[\frac{|(2\cdot5-4\cdot5)+(5\cdot3-5\cdot7)+(7\cdot1-3\cdot4)+(4\cdot3-1\cdot4)+(4\cdot4-3\cdot2)|}{2} = 17/2.\]
|
||||
Kaavassa on ideana käydä läpi puolisuunnikkaita,
|
||||
joiden yläreuna on yksi monikulmion sivuista ja
|
||||
alareuna on vaakataso. Esimerkiksi:
|
||||
|
||||
The idea in the formula is to go through trapezoids
|
||||
where one side is a side of the polygon,
|
||||
and another side is on the horizontal line $y=0$.
|
||||
For example:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\path[draw,fill=lightgray] (5,5.4) -- (7,3.4) -- (7,0) -- (5,0) -- (5,5.4);
|
||||
|
|
@ -555,37 +547,35 @@ alareuna on vaakataso. Esimerkiksi:
|
|||
\draw (0,0) -- (10,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Tällaisen puolisuunnikkaan pinta-ala on
|
||||
The are of such a trapezoid is
|
||||
\[(x_{i+1}-x_{i}) \frac{y_i+y_{i+1}}{2},\]
|
||||
kun kärkipisteet ovat $p_i$ ja $p_{i+1}$.
|
||||
Jos $x_{i+1}>x_{i}$, niin pinta-ala on positiivinen,
|
||||
ja jos $x_{i+1}<x_{i}$, niin pinta-ala on negatiivinen.
|
||||
when the vertices of the polygon are $p_i$ and $p_{i+1}$.
|
||||
If $x_{i+1}>x_{i}$, the area is positive,
|
||||
and if $x_{i+1}<x_{i}$, the area is negative.
|
||||
|
||||
Monikulmion pinta-ala saadaan laskemalla yhteen kaikkien
|
||||
tällaisten puolisuunnikkaiden pinta-alat, mistä tulee:
|
||||
The area of the polygon is the sum of areas of
|
||||
all such trapezoids, which yields the formula
|
||||
|
||||
\[|\sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1}-x_{i}) \frac{y_i+y_{i+1}}{2}| =
|
||||
\frac{1}{2} |\sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)|.\]
|
||||
|
||||
Huomaa, että pinta-alan kaavassa on itseisarvo,
|
||||
koska monikulmion kiertosuunnasta (myötä- tai vastapäivään)
|
||||
riippuen tuloksena oleva pinta-ala on joko
|
||||
positiivinen tai negatiivinen.
|
||||
Note that the absolute value of the sum is calculated,
|
||||
because the value of the sum may be positive or negative
|
||||
depending on whether we walk clockwise or counterclockwise
|
||||
along the sides of the the polygon.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Pickin lause}
|
||||
\subsubsection{Pick's theorem}
|
||||
|
||||
\index{Pickin lause@Pickin lause}
|
||||
\index{Pick's theorem}
|
||||
|
||||
\key{Pickin lause} on vaihtoehtoinen tapa laskea
|
||||
monikulmion pinta-ala,
|
||||
kun kaikki monikulmion kärkipisteet
|
||||
ovat kokonaislukupisteissä.
|
||||
Pickin lauseen mukaan monikulmion pinta-ala on
|
||||
\key{Pick's theorem} provides another way to calculate
|
||||
the area of a polygon where are vertices have integer coordinates.
|
||||
According to Pick's theorem, the area of the polygon is
|
||||
\[ a + b/2 -1,\]
|
||||
missä $a$ on kokonaislukupisteiden määrä monikulmion sisällä
|
||||
ja $b$ on kokonaislukupisteiden määrä monikulmion reunalla.
|
||||
where $a$ is the number of integer points inside the polygon
|
||||
and $b$ is the number of integer points on the border of the polygon.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi monikulmion
|
||||
For example, the area of the polygon
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\filldraw (4,1.4) circle (2pt);
|
||||
|
|
@ -615,25 +605,27 @@ Esimerkiksi monikulmion
|
|||
\filldraw (5,2.4) circle (2pt);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
pinta-ala on $6+7/2-1=17/2$.
|
||||
is $6+7/2-1=17/2$.
|
||||
|
||||
\section{Etäisyysmitat}
|
||||
\section{Distance functions}
|
||||
|
||||
\index{etxisyysmitta@etäisyysmitta}
|
||||
\index{Euklidinen etxisyys@Euklidinen etäisyys}
|
||||
\index{Manhattan-etäisyys}
|
||||
\index{distance function}
|
||||
\index{Euklidean distance}
|
||||
\index{Manhattan distance}
|
||||
|
||||
\key{Etäisyysmitta} määrittää tavan laskea kahden pisteen etäisyys.
|
||||
Tavallisimmin geometriassa käytetty etäisyysmitta on
|
||||
\key{euklidinen etäisyys}, jolloin pisteiden
|
||||
$(x_1,y_1)$ ja $(x_2,y_2)$ etäisyys on
|
||||
A \key{distance function} defines the distance between
|
||||
two points.
|
||||
The usual distance function in geometry is the
|
||||
\key{Euclidean distance} where the distance between
|
||||
points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ is
|
||||
\[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\]
|
||||
Vaihtoehtoinen etäisyysmitta on \key{Manhattan-etäisyys},
|
||||
jota käyttäen pisteiden
|
||||
$(x_1,y_1)$ ja $(x_2,y_2)$ etäisyys on
|
||||
An alternative distance function is the
|
||||
\key{Manhattan distance}
|
||||
where the distance between points
|
||||
$(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ is
|
||||
\[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.\]
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Esimerkiksi kuvaparissa
|
||||
For example, consider the following picture:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
|
@ -654,75 +646,75 @@ Esimerkiksi kuvaparissa
|
|||
\draw[dashed] (5+2,1) -- (5+2,2);
|
||||
\draw[dashed] (5+2,2) -- (5+5,2);
|
||||
|
||||
\node at (3.5,-0.5) {euklidinen etäisyys};
|
||||
\node at (5+3.5,-0.5) {Manhattan-etäisyys};
|
||||
\node at (3.5,-0.5) {Euclidean distance};
|
||||
\node at (5+3.5,-0.5) {Manhattan distance};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
pisteiden euklidinen etäisyys on
|
||||
The Euclidean distance between the points is
|
||||
\[\sqrt{(5-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}\]
|
||||
ja pisteiden Manhattan-etäisyys on
|
||||
and the Manhattan distance is
|
||||
\[|5-2|+|2-1|=4.\]
|
||||
Seuraava kuvapari näyttää alueen, joka on pisteestä etäisyyden 1
|
||||
sisällä käyttäen euklidista ja Manhattan-etäisyyttä:
|
||||
The following picture shows regions that are within a distance of 1
|
||||
from the center point, using Euclidean and Manhattan distances:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\draw[fill=gray!20] (0,0) circle [radius=1];
|
||||
\draw[fill] (0,0) circle [radius=0.05];
|
||||
|
||||
\node at (0,-1.5) {euklidinen etäisyys};
|
||||
\node at (0,-1.5) {Euclidean distance};
|
||||
|
||||
\draw[fill=gray!20] (5+0,1) -- (5-1,0) -- (5+0,-1) -- (5+1,0) -- (5+0,1);
|
||||
\draw[fill] (5,0) circle [radius=0.05];
|
||||
\node at (5,-1.5) {Manhattan-etäisyys};
|
||||
\node at (5,-1.5) {Manhattan distance};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Kaukaisimmat pisteet}
|
||||
\subsubsection{Furthest points}
|
||||
|
||||
Joidenkin ongelmien ratkaiseminen on helpompaa, jos käytössä on
|
||||
Manhattan-etäisyys euklidisen etäisyyden sijasta.
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää, jossa annettuna
|
||||
on $n$ pistettä $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$
|
||||
ja tehtävänä on laskea, mikä on suurin mahdollinen etäisyys
|
||||
kahden pisteen välillä.
|
||||
Some problems are easier to solve if we use the
|
||||
Manhattan distance instead of the Euclidean distance.
|
||||
For example, consider a problem where we are given
|
||||
$n$ points $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$
|
||||
and our task is to calculate the maximum distance
|
||||
between any two points.
|
||||
|
||||
Tämän tehtävän ratkaiseminen tehokkaasti on vaikeaa,
|
||||
jos laskettavana on euklidinen etäisyys.
|
||||
Sen sijaan suurin Manhattan-etäisyys on helppoa selvittää,
|
||||
koska se on suurempi etäisyyksistä
|
||||
\[\max A - \min A \hspace{20px} \textrm{ja} \hspace{20px} \max B - \min B,\]
|
||||
missä
|
||||
This is a difficult problem if we should maximize
|
||||
the Euclidean distance,
|
||||
but calculating
|
||||
the maximum Manhattan distance is easy
|
||||
because it either
|
||||
\[\max A - \min A \hspace{20px} \textrm{or} \hspace{20px} \max B - \min B,\]
|
||||
where
|
||||
\[A = \{x_i+y_i : i = 1,2,\ldots,n\}\]
|
||||
ja
|
||||
and
|
||||
\[B = \{x_i-y_i : i = 1,2,\ldots,n\}.\]
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Tämä johtuu siitä, että Manhattan-etäisyys
|
||||
The reason for this is that the Manhattan distance
|
||||
\[|x_a-x_b|+|y_a-y_b]\]
|
||||
voidaan ilmaista muodossa
|
||||
can be written
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{cl}
|
||||
& $\max(x_a-x_b+y_a-y_b,\,x_a-x_b-y_a+y_b)$ \\
|
||||
$=$ & $\max(x_a+y_a-(x_b+y_b),\,x_a-y_a-(x_b-y_b))$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
olettaen, että $x_a \ge x_b$.
|
||||
assuming that $x_a \ge x_b$.
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
\subsubsection{Koordinaatiston kääntäminen}
|
||||
\subsubsection{Rotating coordinates}
|
||||
|
||||
Kätevä tekniikka Manhattan-etäisyyden yhteydessä on myös
|
||||
kääntää koordinaatistoa 45 astetta
|
||||
niin, että pisteestä $(x,y)$ tulee piste $(a(x+y),a(y-x))$,
|
||||
missä $a=1/\sqrt{2}$.
|
||||
Kerroin $a$ on valittu niin, että
|
||||
pisteiden etäisyydet säilyvät samana käännöksen jälkeen.
|
||||
A useful technique related to the Manhattan distance
|
||||
is to rotate all coordinates 45 degrees so that
|
||||
a point $(x,y)$ becomes $(a(x+y),a(y-x))$,
|
||||
where $a=1/\sqrt{2}$.
|
||||
The multiplier $a$ is so chosen that
|
||||
the distances of the points remain the same.
|
||||
|
||||
Tämän seurauksena pisteestä etäisyydellä $d$ oleva alue
|
||||
on neliö, jonka sivut ovat vaaka- ja pystysuuntaisia,
|
||||
mikä helpottaa alueen käsittelyä.
|
||||
After the rotation, the region within a distance of $d$
|
||||
from a point is a square with horizontal and vertical sides:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[fill=gray!20] (0,1) -- (-1,0) -- (0,-1) -- (1,0) -- (0,1);
|
||||
|
|
@ -736,3 +728,5 @@ mikä helpottaa alueen käsittelyä.
|
|||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Implementing many algorithms is easier when we may assume that all
|
||||
objects are squares with horizontal and vertical sides.
|
||||
Loading…
Reference in New Issue