From 612e412dda390fcd73e725870a2262b7c9cfd564 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antti H S Laaksonen Date: Tue, 3 Jan 2017 02:20:01 +0200 Subject: [PATCH] Chapter 8 first version --- luku08.tex | 102 +++++++++++++++++++++++++++-------------------------- 1 file changed, 52 insertions(+), 50 deletions(-) diff --git a/luku08.tex b/luku08.tex index bfba92f..499b406 100644 --- a/luku08.tex +++ b/luku08.tex @@ -592,39 +592,38 @@ Thus, each element causes $O(1)$ operations to the chain, and the total time complexity of the algorithm is $O(n)$. -\section{Liukuvan ikkunan minimi} +\section{Sliding window minimum} -\index{liukuva ikkuna} -\index{liukuvan ikkunan minimi@liukuvan ikkunan minimi} +\index{sliding window} +\index{sliding window minimum} -\key{Liukuva ikkuna} on taulukon halki kulkeva -aktiivinen alitaulukko, jonka pituus on vakio. -Jokaisessa liukuvan ikkunan sijainnissa -halutaan tyypillisesti laskea jotain tietoa -ikkunan alueelle osuvista alkioista. -Kiinnostava tehtävä on pitää yllä -\key{liukuvan ikkunan minimiä}. -Tämä tarkoittaa, että jokaisessa liukuvan ikkunan -sijainnissa tulee ilmoittaa pienin alkio -ikkunan alueella. +A \key{sliding window} is an active subarray +that moves through the array whose size is constant. +At each position of the window, +we typically want to calculate some information +about the elements inside the window. +An interesting problem is to maintain +the \key{sliding window minimum}. +This means that at each position of the window, +we should report the smallest element inside the window. -Liukuvan ikkunan minimit voi laskea -lähes samalla tavalla kuin lähimmät -pienimmät edeltäjät. -Ideana on pitää yllä ketjua, jonka alussa -on ikkunan viimeinen luku ja jossa jokainen -luku on edellistä pienempi. Joka vaiheessa -ketjun viimeinen luku on ikkunan pienin luku. -Kun liukuva ikkuna liikkuu eteenpäin ja välille -tulee uusi luku, ketjusta poistetaan kaikki luvut, -jotka ovat uutta lukua suurempia. -Tämän jälkeen uusi luku lisätään ketjun alkuun. -Lisäksi jos ketjun viimeinen luku ei enää kuulu -välille, se poistetaan ketjusta. +The sliding window minima can be calculated +using the same idea that we used for calculating +the nearest smaller elements. +The idea is to maintain a chain whose +first element is the last element in the window, +and each element is smaller than the previous element. +The last element in the chain is always the +smallest element inside the window. +When the sliding window moves forward and +a new element appears, we remove all elements +from the chain that are larger than the new element. +After this, we add the new number to the chain. +In addition, if the last element in the chain +doesn't belong to the window anymore, it is removed from the chain. -Tarkastellaan esimerkkinä, kuinka algoritmi selvittää -minimit seuraavassa taulukossa, -kun ikkunan koko $k=4$. +As an example, consider the following array +when the window size is $k=4$: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] @@ -651,8 +650,8 @@ kun ikkunan koko $k=4$. \end{tikzpicture} \end{center} -Liukuva ikkuna aloittaa matkansa taulukon vasemmasta reunasta. -Ensimmäisessä ikkunan sijainnissa pienin luku on 1: +The sliding window begins from the left border of the array. +At the first window position, the smallest element is 1: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (4,1); @@ -683,10 +682,11 @@ Ensimmäisessä ikkunan sijainnissa pienin luku on 1: \end{tikzpicture} \end{center} -Kun ikkuna siirtyy eteenpäin, mukaan tulee luku 3, -joka on pienempi kuin luvut 5 ja 4 ketjun alussa. -Niinpä luvut 5 ja 4 poistuvat ketjusta ja luku 3 -siirtyy sen alkuun. Pienin luku on edelleen 1. +Then the window moves one step forward. +The new number 3 is smaller than the numbers +5 and 4 in the chain, so the numbers 5 and 4 +are removed and the number 3 is added to the chain. +The smallest element is 1 as before. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (5,1); @@ -716,10 +716,11 @@ siirtyy sen alkuun. Pienin luku on edelleen 1. \end{tikzpicture} \end{center} -Ikkuna siirtyy taas eteenpäin, minkä seurauksena pienin luku 1 -putoaa pois ikkunasta. Niinpä se poistetaan ketjun lopusta -ja uusi pienin luku on 3. Lisäksi uusi ikkunaan tuleva luku 4 -lisätään ketjun alkuun. +After this, the window moves again and the smallest element 1 +doesn't belong to the window anymore. +Thus, it is removed from the chain and the smallest +element is now 3. In addition, the new number 4 +is added to the chain. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (6,1); @@ -748,10 +749,10 @@ lisätään ketjun alkuun. \end{tikzpicture} \end{center} -Seuraavaksi ikkunaan tuleva luku 1 on pienempi -kuin kaikki ketjussa olevat luvut. -Tämän seurauksena koko ketju tyhjentyy ja -siihen jää vain luku 1: +The next new element 1 is smaller than all elements +in the chain. +Thus, all elements are removed from the chain +and it will only contain the element 1: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (3,0) rectangle (7,1); @@ -782,9 +783,10 @@ siihen jää vain luku 1: \end{tikzpicture} \end{center} -Lopuksi ikkuna saapuu viimeiseen sijaintiinsa. -Luku 2 lisätään ketjun alkuun, -mutta ikkunan pienin luku on edelleen 1. +Finally the window reaches its last position. +The number 2 is added to the chain, +but the smallest element inside the window +is still 1. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (8,1); @@ -813,10 +815,10 @@ mutta ikkunan pienin luku on edelleen 1. \end{tikzpicture} \end{center} -Tässäkin algoritmissa jokainen taulukon luku lisätään -ketjuun tarkalleen kerran ja poistetaan ketjusta korkeintaan kerran, -joko ketjun alusta tai ketjun lopusta. -Niinpä algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n)$. +Also in this algorithm, each element in the array +is added to the chain exactly once and +removed from the chain at most once. +Thus, the total time complexity of the algorithm is $O(n)$.