Random variables
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
parent
b0a8f2d92e
commit
63edb1e75b
186
luku24.tex
186
luku24.tex
|
|
@ -205,57 +205,61 @@ are independent. Hence the event
|
||||||
happens with probability
|
happens with probability
|
||||||
\[P(A \cap B)=P(A)P(B)=1/4 \cdot 1/13 = 1/52.\]
|
\[P(A \cap B)=P(A)P(B)=1/4 \cdot 1/13 = 1/52.\]
|
||||||
|
|
||||||
\section{Satunnaismuuttuja}
|
\section{Random variable}
|
||||||
|
|
||||||
\index{satunnaismuuttuja@satunnaismuuttuja}
|
\index{random variable}
|
||||||
|
|
||||||
\key{Satunnaismuuttuja} on arvo, joka syntyy satunnaisen
|
A \key{random variable} is a value that is generated
|
||||||
prosessin tuloksena.
|
by a random process.
|
||||||
Satunnaismuuttujaa merkitään yleensä
|
For example, when throwing two dice,
|
||||||
suurella kirjaimella.
|
a possible random variable is
|
||||||
Esimerkiksi kahden nopan heitossa yksi mahdollinen
|
\[X=\textrm{''the sum of the results''}.\]
|
||||||
satunnaismuuttuja on
|
For example, if the results are $(4,6)$,
|
||||||
\[X=\textrm{''silmälukujen summa''}.\]
|
then the value of $X$ is 10.
|
||||||
Esimerkiksi jos heitot ovat $(4,6)$,
|
|
||||||
niin $X$ saa arvon 10.
|
|
||||||
|
|
||||||
Merkintä $P(X=x)$ tarkoittaa todennäköisyyttä,
|
We denote $P(X=x)$ the probability that
|
||||||
että satunnaismuuttujan $X$ arvo on $x$.
|
the value of a random variable $X$ is $x$.
|
||||||
Edellisessä esimerkissä $P(X=10)=3/36$,
|
In the previous example, $P(X=10)=3/36$,
|
||||||
koska erilaisia heittotapoja on 36
|
because the total number of results is 36,
|
||||||
ja niistä summan 10 tuottavat heitot
|
and the possible ways to obtain the sum 10 are
|
||||||
$(4,6)$, $(5,5)$ ja $(6,4)$.
|
$(4,6)$, $(5,5)$ and $(6,4)$.
|
||||||
|
|
||||||
\subsubsection{Odotusarvo}
|
\subsubsection{Expected value}
|
||||||
|
|
||||||
\index{odotusarvo@odotusarvo}
|
\index{expected value}
|
||||||
|
|
||||||
\key{Odotusarvo} $E[X]$ kertoo, mikä satunnaismuuttujan $X$
|
The \key{expected value} $E[X]$ indicates the
|
||||||
arvo on keskimääräisessä tilanteessa.
|
average value of a random variable $X$.
|
||||||
Odotusarvo lasketaan summana
|
The expected value can be calculated as the sum
|
||||||
\[\sum_x P(X=x)x,\]
|
\[\sum_x P(X=x)x,\]
|
||||||
missä $x$ saa kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot.
|
where $x$ goes through all possible results
|
||||||
|
for $X$.
|
||||||
|
|
||||||
Esimerkiksi nopan heitossa silmäluvun odotusarvo on
|
For example, when throwing a dice,
|
||||||
|
the expected value is
|
||||||
|
|
||||||
\[1/6 \cdot 1 + 1/6 \cdot 2 + 1/6 \cdot 3 + 1/6 \cdot 4 + 1/6 \cdot 5 + 1/6 \cdot 6 = 7/2.\]
|
\[1/6 \cdot 1 + 1/6 \cdot 2 + 1/6 \cdot 3 + 1/6 \cdot 4 + 1/6 \cdot 5 + 1/6 \cdot 6 = 7/2.\]
|
||||||
|
|
||||||
Usein hyödyllinen odotusarvon ominaisuus on \key{lineaarisuus}.
|
A useful property of expected values is \key{linearity}.
|
||||||
Sen ansiosta summa $E[X_1+X_2+\cdots+X_n]$ voidaan laskea $E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$.
|
It means that the sum
|
||||||
Kaava pätee myös silloin, kun satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan.
|
$E[X_1+X_2+\cdots+X_n]$
|
||||||
|
always equals the sum
|
||||||
|
$E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$.
|
||||||
|
This formula holds even if random variables
|
||||||
|
depend on each other.
|
||||||
|
|
||||||
Esimerkiksi kahden nopan heitossa silmälukujen summan odotusarvo on
|
For example, when throwing two dice,
|
||||||
|
the expected value of their sum is
|
||||||
\[E[X_1+X_2]=E[X_1]+E[X_2]=7/2+7/2=7.\]
|
\[E[X_1+X_2]=E[X_1]+E[X_2]=7/2+7/2=7.\]
|
||||||
|
|
||||||
Tarkastellaan sitten tehtävää,
|
Let's now consider a problem where
|
||||||
jossa $n$ laatikkoon sijoitetaan
|
$n$ balls are randomly placed in $n$ boxes,
|
||||||
satunnaisesti $n$ palloa
|
and our task is to calculate the expected
|
||||||
ja laskettavana on odotusarvo,
|
number of empty boxes.
|
||||||
montako laatikkoa jää tyhjäksi.
|
Each ball has an equal probability to
|
||||||
Kullakin pallolla on yhtä suuri todennäköisyys
|
be placed in any of the boxes.
|
||||||
päätyä mihin tahansa laatikkoon.
|
For example, if $n=2$, the possibilities
|
||||||
Esimerkiksi jos $n=2$, niin
|
are as follows:
|
||||||
vaihtoehdot ovat seuraavat:
|
|
||||||
\begin{center}
|
\begin{center}
|
||||||
\begin{tikzpicture}
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
\draw (0,0) rectangle (1,1);
|
\draw (0,0) rectangle (1,1);
|
||||||
|
|
@ -277,28 +281,27 @@ vaihtoehdot ovat seuraavat:
|
||||||
\draw[fill=red] (10.95,0.2) circle (0.1);
|
\draw[fill=red] (10.95,0.2) circle (0.1);
|
||||||
\end{tikzpicture}
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
\end{center}
|
\end{center}
|
||||||
Tässä tapauksessa odotusarvo
|
In this case, the expected number of
|
||||||
tyhjien laatikoiden määrälle on
|
empty boxes is
|
||||||
\[\frac{0+0+1+1}{4} = \frac{1}{2}.\]
|
\[\frac{0+0+1+1}{4} = \frac{1}{2}.\]
|
||||||
Yleisessä tapauksessa
|
In the general case, the probability that a
|
||||||
todennäköisyys, että yksittäinen hattu on tyhjä,
|
single box is empty is
|
||||||
on
|
|
||||||
\[\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n,\]
|
\[\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n,\]
|
||||||
koska mikään pallo ei saa mennä sinne.
|
because no ball should be placed in it.
|
||||||
Niinpä odotusarvon lineaarisuuden ansiosta tyhjien hattujen
|
Hence, using linearity, the expected number of
|
||||||
määrän odotusarvo on
|
empty boxes is
|
||||||
\[n \cdot \Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n.\]
|
\[n \cdot \Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n.\]
|
||||||
|
|
||||||
\subsubsection{Jakaumat}
|
\subsubsection{Distributions}
|
||||||
|
|
||||||
\index{jakauma@jakauma}
|
\index{distribution}
|
||||||
|
|
||||||
Satunnaismuuttujan \key{jakauma} kertoo,
|
The \key{distribution} of a random variable $X$
|
||||||
millä todennäköisyydellä satunnaismuuttuja
|
shows the probability for each value that
|
||||||
saa minkäkin arvon.
|
the random variable may have.
|
||||||
Jakauma muodostuu arvoista $P(X=x)$.
|
The distribution consists of values $P(X=x)$.
|
||||||
Esimerkiksi kahden nopan heitossa
|
For example, when throwing two dice,
|
||||||
silmälukujen summan jakauma on:
|
the distribution for their sum is:
|
||||||
\begin{center}
|
\begin{center}
|
||||||
\small {
|
\small {
|
||||||
\begin{tabular}{r|rrrrrrrrrrrrr}
|
\begin{tabular}{r|rrrrrrrrrrrrr}
|
||||||
|
|
@ -307,53 +310,60 @@ $P(X=x)$ & $1/36$ & $2/36$ & $3/36$ & $4/36$ & $5/36$ & $6/36$ & $5/36$ & $4/36$
|
||||||
\end{tabular}
|
\end{tabular}
|
||||||
}
|
}
|
||||||
\end{center}
|
\end{center}
|
||||||
Tutustumme seuraavaksi muutamaan usein esiintyvään jakaumaan.
|
|
||||||
\index{tasajakauma@tasajakauma}
|
Next, we will discuss three distributions that
|
||||||
|
often arise in applications.
|
||||||
|
|
||||||
|
\index{uniform distribution}
|
||||||
~\\\\
|
~\\\\
|
||||||
\key{Tasajakauman} satunnaismuuttuja
|
In a \key{uniform distribution},
|
||||||
saa arvoja väliltä $a \ldots b$
|
the value of a random variable is
|
||||||
ja jokaisen arvon todennäköisyys on sama.
|
between $a \ldots b$, and the probability
|
||||||
Esimerkiksi yhden nopan heitto tuottaa tasajakauman,
|
for each value is the same.
|
||||||
jossa $P(X=x)=1/6$, kun $x=1,2,\ldots,6$.
|
For example, throwing a dice generates
|
||||||
|
a uniform distribution where
|
||||||
|
$P(X=x)=1/6$ when $x=1,2,\ldots,6$.
|
||||||
|
|
||||||
Tasajakaumassa $X$:n odotusarvo on
|
The expected value for $X$ in a uniform distribution is
|
||||||
\[E[X] = \frac{a+b}{2}.\]
|
\[E[X] = \frac{a+b}{2}.\]
|
||||||
\index{binomijakauma@binomijakauma}
|
\index{binomial distribution}
|
||||||
~\\
|
~\\
|
||||||
\key{Binomijakauma} kuvaa tilannetta, jossa tehdään $n$
|
In a \key{binomial distribution}, $n$ attempts
|
||||||
yritystä ja joka yrityksessä onnistumisen
|
are done
|
||||||
todennäköisyys on $p$. Satunnaismuuttuja $X$
|
and the probability that a single attempt succeeds
|
||||||
on onnistuneiden yritysten määrä,
|
is $p$.
|
||||||
ja arvon $x$ todennäköisyys on
|
The random variable $X$ counts the number of
|
||||||
|
successful attempts,
|
||||||
|
and the probability for a value $x$ is
|
||||||
\[P(X=x)=p^x (1-p)^{n-x} {n \choose x},\]
|
\[P(X=x)=p^x (1-p)^{n-x} {n \choose x},\]
|
||||||
missä $p^x$ kuvaa onnistuneita yrityksiä,
|
where $p^x$ and $(1-p)^{n-x}$ correspond to
|
||||||
$(1-p)^{n-x}$ kuvaa epäonnistuneita yrityksiä
|
successful and unsuccessful attemps,
|
||||||
ja ${n \choose x}$ antaa erilaiset tavat,
|
and ${n \choose x}$ is the number of ways
|
||||||
miten yritykset sijoittuvat toisiinsa nähden.
|
we can choose the order of the attempts.
|
||||||
|
|
||||||
Esimerkiksi jos heitetään 10 kertaa noppaa,
|
For example, when throwing a dice ten times,
|
||||||
todennäköisyys saada tarkalleen 3 kertaa silmäluku 6
|
the probability of throwing a six exactly
|
||||||
on $(1/6)^3 (5/6)^7 {10 \choose 3}$.
|
three times is $(1/6)^3 (5/6)^7 {10 \choose 3}$.
|
||||||
|
|
||||||
Binomijakaumassa $X$:n odotusarvo on
|
The expected value for $X$ in a binomial distribution is
|
||||||
\[E[X] = pn.\]
|
\[E[X] = pn.\]
|
||||||
\index{geometrinen jakauma@geometrinen jakauma}
|
\index{geometric distribution}
|
||||||
~\\
|
~\\
|
||||||
\key{Geometrinen jakauma} kuvaa tilannetta,
|
In a \key{geometric distribution},
|
||||||
jossa onnistumisen todennäköisyys on $p$
|
the probability that an attempt succeeds is $p$,
|
||||||
ja yrityksiä tehdään, kunnes tulee ensimmäinen
|
and we do attempts until the first success happens.
|
||||||
onnistuminen. Satunnaismuuttuja $X$ on
|
The random variable $X$ counts the number
|
||||||
tarvittavien heittojen määrä,
|
of attempts needed, and the probability for
|
||||||
ja arvon $x$ todennäköisyys on
|
a value $x$ is
|
||||||
\[P(X=x)=(1-p)^{x-1} p,\]
|
\[P(X=x)=(1-p)^{x-1} p,\]
|
||||||
missä $(1-p)^{x-1}$ kuvaa epäonnistuneita yrityksiä ja
|
where $(1-p)^{x-1}$ corresponds to unsuccessful attemps
|
||||||
$p$ on ensimmäinen onnistunut yritys.
|
and $p$ corresponds to the first successful attempt.
|
||||||
|
|
||||||
Esimerkiksi jos heitetään noppaa,
|
For example, if we throw a dice until we throw a six,
|
||||||
kunnes tulee silmäluku 6, todennäköisyys
|
the probability that the number of throws
|
||||||
heittää tarkalleen 4 kertaa on $(5/6)^3 1/6$.
|
is exactly 4 is $(5/6)^3 1/6$.
|
||||||
|
|
||||||
Geometrisessa jakaumassa $X$:n odotusarvo on
|
The expected value for $X$ in a geometric distribution is
|
||||||
\[E[X]=\frac{1}{p}.\]
|
\[E[X]=\frac{1}{p}.\]
|
||||||
|
|
||||||
\section{Markovin ketju}
|
\section{Markovin ketju}
|
||||||
|
|
|
||||||
Loading…
Reference in New Issue