Random variables

luku24.tex

@@ -205,57 +205,61 @@ are independent. Hence the event
 happens with probability
 \[P(A \cap B)=P(A)P(B)=1/4 \cdot 1/13 = 1/52.\]
 
-\section{Satunnaismuuttuja}
+\section{Random variable}
 
-\index{satunnaismuuttuja@satunnaismuuttuja}
+\index{random variable}
 
-\key{Satunnaismuuttuja} on arvo, joka syntyy satunnaisen
-prosessin tuloksena.
-Satunnaismuuttujaa merkitään yleensä
-suurella kirjaimella.
-Esimerkiksi kahden nopan heitossa yksi mahdollinen
-satunnaismuuttuja on
-\[X=\textrm{''silmälukujen summa''}.\]
-Esimerkiksi jos heitot ovat $(4,6)$,
-niin $X$ saa arvon 10.
+A \key{random variable} is a value that is generated
+by a random process.
+For example, when throwing two dice,
+a possible random variable is
+\[X=\textrm{''the sum of the results''}.\]
+For example, if the results are $(4,6)$,
+then the value of $X$ is 10.
 
-Merkintä $P(X=x)$ tarkoittaa todennäköisyyttä,
-että satunnaismuuttujan $X$ arvo on $x$.
-Edellisessä esimerkissä $P(X=10)=3/36$,
-koska erilaisia heittotapoja on 36
-ja niistä summan 10 tuottavat heitot
-$(4,6)$, $(5,5)$ ja $(6,4)$.
+We denote $P(X=x)$ the probability that
+the value of a random variable $X$ is $x$.
+In the previous example, $P(X=10)=3/36$,
+because the total number of results is 36,
+and the possible ways to obtain the sum 10 are
+$(4,6)$, $(5,5)$ and $(6,4)$.
 
-\subsubsection{Odotusarvo}
+\subsubsection{Expected value}
 
-\index{odotusarvo@odotusarvo}
+\index{expected value}
 
-\key{Odotusarvo} $E[X]$ kertoo, mikä satunnaismuuttujan $X$
-arvo on keskimääräisessä tilanteessa.
-Odotusarvo lasketaan summana
+The \key{expected value} $E[X]$ indicates the
+average value of a random variable $X$.
+The expected value can be calculated as the sum
 \[\sum_x P(X=x)x,\]
-missä $x$ saa kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot.
+where $x$ goes through all possible results
+for $X$.
 
-Esimerkiksi nopan heitossa silmäluvun odotusarvo on
+For example, when throwing a dice,
+the expected value is
 
 \[1/6 \cdot 1 + 1/6 \cdot 2 + 1/6 \cdot 3 + 1/6 \cdot 4 + 1/6 \cdot 5 + 1/6 \cdot 6 = 7/2.\]
 
-Usein hyödyllinen odotusarvon ominaisuus on \key{lineaarisuus}.
-Sen ansiosta summa $E[X_1+X_2+\cdots+X_n]$ voidaan laskea $E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$.
-Kaava pätee myös silloin, kun satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan.
+A useful property of expected values is \key{linearity}.
+It means that the sum
+$E[X_1+X_2+\cdots+X_n]$
+always equals the sum
+$E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_n]$.
+This formula holds even if random variables
+depend on each other.
 
-Esimerkiksi kahden nopan heitossa silmälukujen summan odotusarvo on
+For example, when throwing two dice,
+the expected value of their sum is
 \[E[X_1+X_2]=E[X_1]+E[X_2]=7/2+7/2=7.\]
 
-Tarkastellaan sitten tehtävää,
-jossa $n$ laatikkoon sijoitetaan
-satunnaisesti $n$ palloa
-ja laskettavana on odotusarvo,
-montako laatikkoa jää tyhjäksi.
-Kullakin pallolla on yhtä suuri todennäköisyys
-päätyä mihin tahansa laatikkoon.
-Esimerkiksi jos $n=2$, niin
-vaihtoehdot ovat seuraavat:
+Let's now consider a problem where
+$n$ balls are randomly placed in $n$ boxes,
+and our task is to calculate the expected
+number of empty boxes.
+Each ball has an equal probability to
+be placed in any of the boxes.
+For example, if $n=2$, the possibilities
+are as follows:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \draw (0,0) rectangle (1,1);
@@ -277,28 +281,27 @@ vaihtoehdot ovat seuraavat:
 \draw[fill=red] (10.95,0.2) circle (0.1);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Tässä tapauksessa odotusarvo
-tyhjien laatikoiden määrälle on
+In this case, the expected number of
+empty boxes is
 \[\frac{0+0+1+1}{4} = \frac{1}{2}.\]
-Yleisessä tapauksessa
-todennäköisyys, että yksittäinen hattu on tyhjä,
-on
+In the general case, the probability that a
+single box is empty is
 \[\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n,\]
-koska mikään pallo ei saa mennä sinne.
-Niinpä odotusarvon lineaarisuuden ansiosta tyhjien hattujen
-määrän odotusarvo on
+because no ball should be placed in it.
+Hence, using linearity, the expected number of
+empty boxes is
 \[n \cdot \Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n.\]
 
-\subsubsection{Jakaumat}
+\subsubsection{Distributions}
 
-\index{jakauma@jakauma}
+\index{distribution}
 
-Satunnaismuuttujan \key{jakauma} kertoo,
-millä todennäköisyydellä satunnaismuuttuja
-saa minkäkin arvon.
-Jakauma muodostuu arvoista $P(X=x)$.
-Esimerkiksi kahden nopan heitossa
-silmälukujen summan jakauma on:
+The \key{distribution} of a random variable $X$
+shows the probability for each value that
+the random variable may have.
+The distribution consists of values $P(X=x)$.
+For example, when throwing two dice,
+the distribution for their sum is:
 \begin{center}
 \small {
 \begin{tabular}{r|rrrrrrrrrrrrr}
@@ -307,53 +310,60 @@ $P(X=x)$ & $1/36$ & $2/36$ & $3/36$ & $4/36$ & $5/36$ & $6/36$ & $5/36$ & $4/36$
 \end{tabular}
 }
 \end{center}
-Tutustumme seuraavaksi muutamaan usein esiintyvään jakaumaan.
-\index{tasajakauma@tasajakauma}
+
+Next, we will discuss three distributions that
+often arise in applications.
+
+\index{uniform distribution}
 ~\\\\
-\key{Tasajakauman} satunnaismuuttuja
-saa arvoja väliltä $a \ldots b$
-ja jokaisen arvon todennäköisyys on sama.
-Esimerkiksi yhden nopan heitto tuottaa tasajakauman,
-jossa $P(X=x)=1/6$, kun $x=1,2,\ldots,6$.
+In a \key{uniform distribution},
+the value of a random variable is
+between $a \ldots b$, and the probability
+for each value is the same.
+For example, throwing a dice generates
+a uniform distribution where
+$P(X=x)=1/6$ when $x=1,2,\ldots,6$.
 
-Tasajakaumassa $X$:n odotusarvo on
+The expected value for $X$ in a uniform distribution is
 \[E[X] = \frac{a+b}{2}.\]
-\index{binomijakauma@binomijakauma}
+\index{binomial distribution}
 ~\\
-\key{Binomijakauma} kuvaa tilannetta, jossa tehdään $n$
-yritystä ja joka yrityksessä onnistumisen
-todennäköisyys on $p$. Satunnaismuuttuja $X$
-on onnistuneiden yritysten määrä,
-ja arvon $x$ todennäköisyys on
+In a \key{binomial distribution}, $n$ attempts
+are done
+and the probability that a single attempt succeeds
+is $p$.
+The random variable $X$ counts the number of
+successful attempts,
+and the probability for a value $x$ is
 \[P(X=x)=p^x (1-p)^{n-x} {n \choose x},\]
-missä $p^x$ kuvaa onnistuneita yrityksiä,
-$(1-p)^{n-x}$ kuvaa epäonnistuneita yrityksiä
-ja ${n \choose x}$ antaa erilaiset tavat,
-miten yritykset sijoittuvat toisiinsa nähden.
+where $p^x$ and $(1-p)^{n-x}$ correspond to
+successful and unsuccessful attemps,
+and ${n \choose x}$ is the number of ways
+we can choose the order of the attempts.
 
-Esimerkiksi jos heitetään 10 kertaa noppaa,
-todennäköisyys saada tarkalleen 3 kertaa silmäluku 6
-on $(1/6)^3 (5/6)^7 {10 \choose 3}$.
+For example, when throwing a dice ten times,
+the probability of throwing a six exactly
+three times is $(1/6)^3 (5/6)^7 {10 \choose 3}$.
 
-Binomijakaumassa $X$:n odotusarvo on
+The expected value for $X$ in a binomial distribution is
 \[E[X] = pn.\]
-\index{geometrinen jakauma@geometrinen jakauma}
+\index{geometric distribution}
 ~\\
-\key{Geometrinen jakauma} kuvaa tilannetta,
-jossa onnistumisen todennäköisyys on $p$
-ja yrityksiä tehdään, kunnes tulee ensimmäinen
-onnistuminen. Satunnaismuuttuja $X$ on
-tarvittavien heittojen määrä,
-ja arvon $x$ todennäköisyys on
+In a \key{geometric distribution},
+the probability that an attempt succeeds is $p$,
+and we do attempts until the first success happens.
+The random variable $X$ counts the number
+of attempts needed, and the probability for
+a value $x$ is
 \[P(X=x)=(1-p)^{x-1} p,\]
-missä $(1-p)^{x-1}$ kuvaa epäonnistuneita yrityksiä ja
-$p$ on ensimmäinen onnistunut yritys.
+where $(1-p)^{x-1}$ corresponds to unsuccessful attemps
+and $p$ corresponds to the first successful attempt.
 
-Esimerkiksi jos heitetään noppaa,
-kunnes tulee silmäluku 6, todennäköisyys
-heittää tarkalleen 4 kertaa on $(5/6)^3 1/6$.
+For example, if we throw a dice until we throw a six,
+the probability that the number of throws
+is exactly 4 is $(5/6)^3 1/6$.
 
-Geometrisessa jakaumassa $X$:n odotusarvo on
+The expected value for $X$ in a geometric distribution is
 \[E[X]=\frac{1}{p}.\]
 
 \section{Markovin ketju}