From 66f167a6eb8b4277caee60a31233e86b05fa36c3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Antti H S Laaksonen <ahslaaks@cs.helsinki.fi>
Date: Mon, 2 Jan 2017 00:34:14 +0200
Subject: [PATCH] Chapter 6 ready

---
 luku06.tex | 345 +++++++++++++++++++++++++++--------------------------
 1 file changed, 176 insertions(+), 169 deletions(-)

diff --git a/luku06.tex b/luku06.tex
index a1c78df..9157887 100644
--- a/luku06.tex
+++ b/luku06.tex
@@ -264,22 +264,20 @@ possibilities to select for the next events,
 compared to the strategy that we select the
 event that ends as soon as possible.
 
-\section{Tehtävät ja deadlinet}
+\section{Tasks and deadlines}
 
-Annettuna on $n$ tehtävää,
-joista jokaisella on kesto ja deadline.
-Tehtäväsi on valita järjestys,
-jossa suoritat tehtävät.
-Saat kustakin tehtävästä $d-x$ pistettä,
-missä $d$ on tehtävän deadline ja $x$
-on tehtävän valmistumishetki.
-Mikä on suurin mahdollinen
-yhteispistemäärä, jonka voit saada tehtävistä?
+We are given $n$ tasks with duration and deadline.
+Our task is to choose an order to perform the tasks.
+For each task, we get $d-x$ points
+where $d$ is the deadline of the task
+and $x$ is the moment when we finished the task.
+What is the largest possible total score
+we can obtain?
 
-Esimerkiksi jos tehtävät ovat
+For example, if the tasks are
 \begin{center}
 \begin{tabular}{lll}
-tehtävä & kesto & deadline \\
+task & duration & deadline \\
 \hline
 $A$ & 4 & 2 \\
 $B$ & 3 & 5 \\
@@ -287,8 +285,8 @@ $C$ & 2 & 7 \\
 $D$ & 4 & 5 \\
 \end{tabular}
 \end{center}
-niin optimaalinen ratkaisu on suorittaa
-tehtävät seuraavasti:
+then the optimal solution is to perform
+the tasks as follows:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=.4]
   \begin{scope}
@@ -314,22 +312,21 @@ tehtävät seuraavasti:
   \end{scope}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Tässä ratkaisussa $C$ tuottaa 5 pistettä,
-$B$ tuottaa 0 pistettä, $A$ tuottaa $-7$ pistettä
-ja $D$ tuottaa $-8$ pistettä,
-joten yhteispistemäärä on $-10$.
+In this solution, $C$ yields 5 points,
+$B$ yields 0 points, $A$ yields $-7$ points
+and $D$ yields $-8$ points,
+so the total score is $-10$.
 
-Yllättävää kyllä, tehtävän optimaalinen ratkaisu
-ei riipu lainkaan deadlineista,
-vaan toimiva ahne strategia on
-yksinkertaisesti
-suorittaa tehtävät \emph{järjestyksessä keston mukaan}
-lyhimmästä pisimpään.
-Syynä tähän on, että jos missä tahansa vaiheessa
-suoritetaan peräkkäin kaksi tehtävää,
-joista ensimmäinen kestää toista kauemmin,
-tehtävien järjestyksen vaihtaminen parantaa ratkaisua.
-Esimerkiksi jos peräkkäin ovat tehtävät
+Surprisingly, the optimal solution for the problem
+doesn't depend on the dedalines at all,
+but a correct greedy strategy is to simply
+perform the tasks \emph{sorted by their durations}
+in increasing order.
+The reason for this is that if we ever perform
+two successive tasks such that the first task
+takes longer than the second task,
+we can obtain a better solution if we swap the tasks.
+For example, if the successive tasks are
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=.4]
   \begin{scope}
@@ -348,7 +345,7 @@ Esimerkiksi jos peräkkäin ovat tehtävät
   \end{scope}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-ja $a>b$, niin järjestyksen muuttaminen muotoon
+and $a>b$, the swapped order of the tasks
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=.4]
   \begin{scope}
@@ -367,97 +364,102 @@ ja $a>b$, niin järjestyksen muuttaminen muotoon
   \end{scope}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-antaa $X$:lle $b$ pistettä vähemmän ja $Y$:lle $a$ pistettä enemmän,
-joten kokonaismuutos pistemäärään on $a-b > 0$.
-Optimiratkaisussa
-kaikille peräkkäin suoritettaville tehtäville
-tulee päteä, että lyhyempi tulee ennen pidempää,
-mistä seuraa, että tehtävät tulee suorittaa
-järjestyksessä keston mukaan.
+gives $b$ points less to $X$ and $a$ points more to $Y$,
+so the total score increases by $a-b > 0$.
+In an optimal solution,
+for each two successive tasks,
+it must hold that the shorter task comes
+before the longer task.
+Thus, the tasks must be performed
+sorted by their durations.
 
-\section{Keskiluvut}
+\section{Minimizing sums}
 
-Tarkastelemme seuraavaksi ongelmaa, jossa
-annettuna on $n$ lukua $a_1,a_2,\ldots,a_n$
-ja tehtävänä on etsiä luku $x$ niin, että summa
+We will next consider a problem where
+we are given $n$ numbers $a_1,a_2,\ldots,a_n$
+and our task is to find a value $x$
+such that the sum
 \[|a_1-x|^c+|a_2-x|^c+\cdots+|a_n-x|^c\]
-on mahdollisimman pieni.
-Keskitymme tapauksiin, joissa $c=1$ tai $c=2$.
+becomes as small as possible.
+We will focus on the cases $c=1$ and $c=2$.
 
-\subsubsection{Tapaus $c=1$}
+\subsubsection{Case $c=1$}
 
-Tässä tapauksessa minimoitavana on summa
+In this case, we should minimize the sum
 \[|a_1-x|+|a_2-x|+\cdots+|a_n-x|.\]
-Esimerkiksi jos luvut ovat $[1,2,9,2,6]$,
-niin paras ratkaisu on valita $x=2$,
-jolloin summaksi tulee
+For example, if the numbers are $[1,2,9,2,6]$,
+the best solution is to select $x=2$
+which produces the sum
 \[
 |1-2|+|2-2|+|9-2|+|2-2|+|6-2|=12.
 \]
-Yleisessä tapauksessa paras valinta $x$:n arvoksi
-on lukujen \textit{mediaani}
-eli keskimmäinen luku järjestyksessä.
-Esimerkiksi luvut $[1,2,9,2,6]$
-ovat järjestyksessä $[1,2,2,6,9]$,
-joten mediaani on 2.
+In the general case, the best choice for $x$
+is the \textit{median} of the numbers,
+i.e., the middle number after sorting.
+For example, the list $[1,2,9,2,6]$
+becomes $[1,2,2,6,9]$ after sorting,
+so the median is 2.
 
-Mediaanin valinta on paras ratkaisu,
-koska jos $x$ on mediaania pienempi,
-$x$:n suurentaminen pienentää summaa,
-ja vastaavasti jos $x$ on mediaania suurempi,
-$x$:n pienentäminen pienentää summaa.
-Niinpä $x$ kannattaa siirtää mahdollisimman
-lähelle mediaania eli optimiratkaisu on
-valita $x$ mediaaniksi.
-Jos $n$ on parillinen ja mediaaneja on kaksi,
-kumpikin mediaani sekä kaikki niiden välillä
-olevat luvut tuottavat optimaalisen ratkaisun.
+The median is the optimal choice,
+because if $x$ is smaller than the median,
+the sum becomes smaller by increasing $x$,
+and if $x$ is larger then the median,
+the sum becomes smaller by decreasing $x$
+Thus, we should move $x$ as near the median
+as possible, so the optimal solution that $x$
+is the median.
+If $n$ is even and there are two medians,
+both medians and all values between them
+are optimal solutions.
 
-\subsubsection{Tapaus $c=2$}
+\subsubsection{Case $c=2$}
 
-Tässä tapauksessa minimoitavana on summa
+In this case, we should minimize the sum
 \[(a_1-x)^2+(a_2-x)^2+\cdots+(a_n-x)^2.\]
-Esimerkiksi jos luvut ovat $[1,2,9,2,6]$,
-niin paras ratkaisu on $x=4$,
-jolloin summaksi tulee
+For example, if the numbers are $[1,2,9,2,6]$,
+the best solution is to select $x=4$
+which produces the sum
 \[
 (1-4)^2+(2-4)^2+(9-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2=46.
 \]
-Yleisessä tapauksessa paras valinta $x$:n arvoksi on lukujen
-\textit{keskiarvo}.
-Esimerkissä lukujen keskiarvo on $(1+2+9+2+6)/5=4$.
-Tämän tuloksen voi johtaa järjestämällä summan
-uudestaan muotoon
+In the general case, the best choice for $x$
+is the \emph{average} of the numbers.
+In the example the average is $(1+2+9+2+6)/5=4$.
+This result can be derived by presenting
+the sum as follows:
 \[
 nx^2 - 2x(a_1+a_2+\cdots+a_n) + (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2).
 \]
-Viimeinen osa ei riipu $x$:stä, joten sen voi jättää huomiotta.
-Jäljelle jäävistä osista muodostuu funktio
-$nx^2-2xs$, kun $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$.
-Tämä on ylöspäin aukeava paraabeli,
-jonka nollakohdat ovat $x=0$ ja $x=2s/n$
-ja pienin arvo on näiden keskikohta
-$x=s/n$ eli taulukon lukujen keskiarvo.
+The last part doesn't depend on $x$,
+so we can ignore it.
+The remaining parts form a function
+$nx^2-2xs$ where $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$.
+This is a parabola opening upwards
+with roots $x=0$ and $x=2s/n$,
+and the minimum value is the average
+of the roots $x=s/n$, i.e.,
+the average of the numbers $a_1,a_2,\ldots,a_n$.
 
-\section{Tiedonpakkaus}
+\section{Data compression}
 
-\index{tiedonpakkaus}
-\index{binxxrikoodi@binäärikoodi}
-\index{koodisana@koodisana}
+\index{data compression}
+\index{binary code}
+\index{codeword}
 
-Annettuna on merkkijono ja tehtävänä on
-\emph{pakata} se niin,
-että tilaa kuluu vähemmän.
-Käytämme tähän \key{binäärikoodia},
-joka määrittää kullekin merkille
-biteistä muodostuvan \key{koodisanan}.
-Tällöin merkkijonon voi pakata
-korvaamalla jokaisen merkin vastaavalla koodisanalla.
-Esimerkiksi seuraava binäärikoodi määrittää
-koodisanat merkeille \texttt{A}–\texttt{D}:
+We are given a string, and our task is to
+\emph{compress} it so that it requires less space.
+We will do this using a \key{binary code}
+that determines for each character
+a \key{codeword} that consists of bits.
+After this, we can compress the string
+by replacing each character by the
+corresponding codeword.
+For example, the following binary code
+determines codewords for characters
+\texttt{A}–\texttt{D}:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{rr}
-merkki & koodisana \\
+character & codeword \\
 \hline
 \texttt{A} & 00 \\
 \texttt{B} & 01 \\
@@ -465,23 +467,25 @@ merkki & koodisana \\
 \texttt{D} & 11 \\
 \end{tabular}
 \end{center}
-Tämä koodi on \key{vakiopituinen}
-eli jokainen koodisana on yhtä pitkä.
-Esimerkiksi merkkijono
-\texttt{AABACDACA} on pakattuna
+This is a \key{constant-length} code
+which means that the length of each
+codeword is the same.
+For example, the compressed form of the string
+\texttt{AABACDACA} is
 \[000001001011001000,\]
-eli se vie tilaa 18 bittiä.
-Pakkausta on kuitenkin mahdollista parantaa
-ottamalla käyttöön \key{muuttuvan pituinen} koodi,
-jossa koodisanojen pituus voi vaihdella.
-Tällöin voimme antaa usein esiintyville merkeille
-lyhyen koodisanan ja harvoin esiintyville
-merkeille pitkän koodisanan.
-Osoittautuu, että yllä olevalle merkkijonolle
-\key{optimaalinen} koodi on seuraava:
+so 18 bits are needed.
+However, we can compress the string better
+by using a \key{variable-length} code
+where codewords may have different lengths.
+Then we can give short codewords for
+characters that appear often,
+and long codewords for characters
+that appear rarely.
+It turns out that the \key{optimal} code
+for the aforementioned string is as follows:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{rr}
-merkki & koodisana \\
+character & codeword \\
 \hline
 \texttt{A} & 0 \\
 \texttt{B} & 110 \\
@@ -489,27 +493,26 @@ merkki & koodisana \\
 \texttt{D} & 111 \\
 \end{tabular}
 \end{center}
-Optimaalinen koodi tuottaa
-mahdollisimman lyhyen pakatun merkkijonon.
-Tässä tapauksessa optimaalinen koodi
-pakkaa merkkijonon muotoon
+The optimal code produces a compressed string
+that is as short as possible.
+In this case, the compressed form using
+the optimal code is
 \[001100101110100,\]
-ja tilaa kuluu vain 15 bittiä.
-Paremman koodin ansiosta onnistuimme siis säästämään
-3 bittiä tilaa pakkauksessa.
+so only 15 bits are needed.
+Thus, thanks to a better code it was possible to
+save 3 bits in the compressed string.
 
-Huomaa, että koodin tulee olla aina sellainen,
-että mikään koodisana ei ole toisen koodisanan
-alkuosa.
-Esimerkiksi ei ole sallittua, että koodissa
-olisi molemmat koodisanat 10 ja 1011.
-Tämä rajoitus johtuu siitä,
-että haluamme myös pystyä palauttamaan
-alkuperäisen merkkijonon pakkauksen jälkeen.
-Jos koodisana voisi olla toisen alkuosa,
-tämä ei välttämättä olisi mahdollista.
-Esimerkiksi seuraava koodi
-\emph{ei} ole kelvollinen:
+Note that it is required that no codeword
+is a prefix of another codeword.
+For example, it is not allowed that a code
+would contain both codewords 10
+and 1011.
+The reason for this is that we also want
+to be able to generate the original string
+from the compressed string.
+If a codeword could be a prefix of another codeword,
+this would not always be possible.
+For example, the following code is \emph{not} valid:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{rr}
 merkki & koodisana \\
@@ -520,40 +523,41 @@ merkki & koodisana \\
 \texttt{D} & 111 \\
 \end{tabular}
 \end{center}
-Tätä koodia käyttäen ei olisi mahdollista tietää,
-tarkoittaako pakattu merkkijono 1011
-merkkijonoa \texttt{AB} vai merkkijonoa \texttt{C}.
+Using this code, it would not be possible to know
+if the compressed string 1011 means
+the string \texttt{AB} or the string \texttt{C}.
 
-\index{Huffmanin koodaus}
+\index{Huffman coding}
 
-\subsubsection{Huffmanin koodaus}
+\subsubsection{Huffman coding}
 
-\key{Huffmanin koodaus} on ahne algoritmi,
-joka muodostaa optimaalisen koodin
-merkkijonon pakkaamista varten.
-Se muodostaa merkkien esiintymiskertojen
-perustella binääripuun, josta voi lukea
-kunkin merkin koodisanan
-liikkumalla huipulta merkkiä vastaavaan solmuun.
-Liikkuminen vasemmalle vastaa
-bittiä 0 ja liikkuminen oikealle
-vastaa bittiä 1.
+\key{Huffman coding} is a greedy algorithm
+that constructs an optimal code for
+compressing a string.
+The algorithm builds a binary tree
+based on the frequencies of the characters
+in the string,
+and a codeword for each characters can be read
+by following a path from the root to
+the corresponding node.
+A move to the left correspons to bit 0,
+and a move to the right corresponds to bit 1.
 
-Aluksi jokaista merkkijonon merkkiä vastaa solmu,
-jonka painona on merkin esiintymiskertojen määrä merkkijonossa.
-Sitten joka vaiheessa puusta valitaan
-kaksi painoltaan pienintä solmua
-ja ne yhdistetään luomalla niiden
-yläpuolelle uusi solmu,
-jonka paino on solmujen yhteispaino.
-Näin jatketaan, kunnes kaikki solmut
-on yhdistetty ja koodi on valmis.
+Initially, each character of the string is
+represented by a node whose weight is the
+number of times the character appears in the string.
+Then at each step two nodes with minimum weights
+are selected and they are combined by creating
+a new node whose weight is the sum of the weights
+of the original nodes.
+The process continues until all nodes have been
+combined and the code is ready.
 
-Tarkastellaan nyt, miten Huffmanin koodaus
-muodostaa optimaalisen koodin merkkijonolle
+Next we will see how Huffman coding creates
+the optimal code for the string
 \texttt{AABACDACA}.
-Alkutilanteessa on neljä solmua,
-jotka vastaavat merkkijonossa olevia merkkejä:
+Initially, there are four nodes that correspond
+to the characters in the string:
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
@@ -570,13 +574,16 @@ jotka vastaavat merkkijonossa olevia merkkejä:
 %\path[draw,thick,-] (4) -- (5);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Merkkiä \texttt{A} vastaavan solmun paino on
-5, koska merkki \texttt{A} esiintyy 5 kertaa merkkijonossa.
-Muiden solmujen painot on laskettu vastaavalla tavalla.
+The node that represents character \texttt{A}
+has weight 5 because character \texttt{A}
+appears 5 times in the string.
+The other weights have been calculated
+in the same way.
 
-Ensimmäinen askel on yhdistää merkkejä \texttt{B} ja \texttt{D}
-vastaavat solmut, joiden kummankin paino on 1.
-Tuloksena on:
+The first step is to combine the nodes that
+correspond to characters \texttt{B} and \texttt{D},
+both with weight 1.
+The result is:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
 \node[draw, circle] (1) at (0,0) {$5$};
@@ -597,7 +604,7 @@ Tuloksena on:
 \path[draw,thick,-] (4) -- (5);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Tämän jälkeen yhdistetään solmut, joiden paino on 2:
+After this, the nodes with weight 2 are combined:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
 \node[draw, circle] (1) at (1,0) {$5$};
@@ -623,7 +630,7 @@ Tämän jälkeen yhdistetään solmut, joiden paino on 2:
 \path[draw,thick,-] (5) -- (6);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-Lopuksi yhdistetään kaksi viimeistä solmua:
+Finally, the two remaining nodes are combined:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
 \node[draw, circle] (1) at (2,2) {$5$};
@@ -655,11 +662,11 @@ Lopuksi yhdistetään kaksi viimeistä solmua:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Nyt kaikki solmut ovat puussa, joten koodi on valmis.
-Puusta voidaan lukea seuraavat koodisanat:
+Now all nodes are in the tree, so the code is ready.
+The following codewords can be read from the tree:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{rr}
-merkki & koodisana \\
+character & codeword \\
 \hline
 \texttt{A} & 0 \\
 \texttt{B} & 110 \\