Binomial coefficient

luku22.tex

@@ -1,18 +1,18 @@
 \chapter{Combinatorics}
 
-\index{kombinatoriikka@kombinatoriikka}
+\index{combinatorics}
 
-\key{Kombinatoriikka} tarkoittaa yhdistelmien määrän laskemista.
-Yleensä tavoitteena on toteuttaa laskenta
-tehokkaasti niin, että jokaista yhdistelmää
-ei tarvitse muodostaa erikseen.
+\key{Combinatorics} studies methods for counting
+combinations of objects.
+Usually, the goal is to find a way to
+count the combinations efficiently
+without generating each combination separately.
 
-Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää,
-jossa laskettavana on,
-monellako tavalla luvun $n$ voi esittää positiivisten
-kokonaislukujen summana.
-Esimerkiksi luvun 4 voi esittää 8 tavalla
-seuraavasti:
+As an example, let's consider a problem where
+our task is to calculate the number of representations
+for an integer $n$ as a sum of positive integers.
+For example, there are 8 representations
+for the number $4$:
 \begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
 \item $1+1+1+1$
@@ -26,29 +26,28 @@ seuraavasti:
 \end{itemize}
 \end{multicols}
 
-Kombinatorisen tehtävän ratkaisun voi usein
-laskea rekursiivisen funktion avulla.
-Tässä tapauksessa voimme määritellä funktion $f(n)$,
-joka laskee luvun $n$ esitystapojen määrän.
-Esimerkiksi $f(4)=8$ yllä olevan esimerkin mukaisesti.
-Funktion voi laskea rekursiivisesti seuraavasti:
+A combinatorial problem can often be solved
+using a recursive function.
+In this case, we can define a function $f(n)$
+that counts the number of representations for $n$.
+For example, $f(4)=8$ according to the above example.
+The function can be recursively calculated as follows:
 \begin{equation*}
     f(n) = \begin{cases}
                1               & n = 1\\
                f(1)+f(2)+\ldots+f(n-1)+1 & n > 1\\
            \end{cases}
 \end{equation*}
-Pohjatapauksena on $f(1)=1$,
-koska luvun 1 voi esittää vain yhdellä tavalla.
-Rekursiivinen tapaus käy läpi
-kaikki vaihtoehdot,
-mikä on summan viimeinen luku.
-Esimerkiksi tapauksessa $n=4$ summa voi päättyä
-$+1$, $+2$ tai $+3$.
-Tämän lisäksi lasketaan mukaan esitystapa,
-jossa on pelkkä luku $n$.
+The base case is $f(1)=1$,
+because there is only one way to represent the number 1.
+Otherwise, we go through all possibilities for
+the last number in the sum.
+For example, in when $n=4$, the sum can end
+with $+1$, $+2$ or $+3$.
+In addition, we also count the representation
+that only contains $n$.
 
-Funktion ensimmäiset arvot ovat:
+The first values for the function are:
 \[
 \begin{array}{lcl}
 f(1) & = & 1 \\
@@ -58,83 +57,86 @@ f(4) & = & 8 \\
 f(5) & = & 16 \\
 \end{array}
 \]
-Osoittautuu, että funktiolle on myös suljettu muoto
+It turns out that the function also has a closed-form formula
 \[
 f(n)=2^{n-1},
 \]
-mikä johtuu siitä, että summassa on $n-1$ mahdollista
-kohtaa +-merkille ja niistä valitaan mikä tahansa osajoukko.
+which is based on the fact that there are $n-1$
+possible positions for +-signs in the sum,
+and we can choose any subset of them.
 
-\section{Binomikerroin}
+\section{Binomial coefficient}
 
-\index{binomikerroin@binomikerroin}
+\index{binomial coefficient}
 
-\key{Binomikerroin} ${n \choose k}$ ilmaisee,
-monellako tavalla $n$ alkion joukosta
-voidaan muodostaa $k$ alkion osajoukko.
-Esimerkiksi ${5 \choose 3}=10$,
-koska joukosta $\{1,2,3,4,5\}$
-voidaan valita $10$ tavalla $3$ alkiota:
+A \key{binomial coefficient} ${n \choose k}$
+is the number of ways we can choose a subset
+of $k$ elements from a set of $n$ elements.
+For example, ${5 \choose 3}=10$,
+because the set $\{1,2,3,4,5\}$
+has 10 subsets of 3 elements:
 \[ \{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,2,5\}, \{1,3,4\}, \{1,3,5\}, 
 \{1,4,5\}, \{2,3,4\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\} \]
 
-\subsubsection{Laskutapa 1}
+\subsubsection{Formula 1}
 
-Binomikertoimen voi laskea rekursiivisesti seuraavasti:
+Binomial coefficients can be
+recursively calculated as follows:
 
 \[
 {n \choose k}  =  {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}
 \]
 
-Ideana rekursiossa on tarkastella tiettyä
-joukon alkiota $x$.
-Jos alkio $x$ valitaan osajoukkoon,
-täytyy vielä valita $n-1$ alkiosta $k-1$ alkiota.
-Jos taas alkiota $x$ ei valita osajoukkoon,
-täytyy vielä valita $n-1$ alkiosta $k$ alkiota.
-
-Rekursion pohjatapaukset ovat seuraavat:
+The idea is to consider a fixed
+element $x$ in the set.
+If $x$ is included in the subset,
+the remaining task is to choose $k-1$
+elements from $n-1$ elements,
+and otherwise
+the remaining task is to choose $k$ elements from $n-1$ elements.
 
+The base cases for the recursion are as follows:
 \[
 {n \choose 0}  =  {n \choose n} = 1
 \]
 
-Tämä johtuu siitä, että on aina yksi tapa
-muodostaa tyhjä osajoukko,
-samoin kuin valita kaikki alkiot osajoukkoon.
+The reason for this is that there is always
+one way to construct an empty subset,
+or a subset that contains all the elements.
 
-\subsubsection{Laskutapa 2}
+\subsubsection{Formula 2}
 
-Toinen tapa laskea binomikerroin on seuraava:
+Another way to calculate binomial coefficients is as follows:
 \[
 {n \choose k}  =  \frac{n!}{k!(n-k)!}.
 \]
 
-Kaavassa $n!$ on $n$ alkion permutaatioiden määrä.
-Ideana on käydä läpi kaikki permutaatiot
-ja valita kussakin tapauksessa
-permutaation $k$ ensimmäistä alkiota osajoukkoon.
-Koska ei ole merkitystä,
-missä järjestyksessä osajoukon alkiot
-ja ulkopuoliset alkiot ovat,
-tulos jaetaan luvuilla $k!$ ja $(n-k)!$.
+There are $n!$ permutations for $n$ elements.
+We go through all permutations and in each case
+select the first $k$ elements of the permutation
+to the subset.
+Since the order of the elements in the subset
+and outside the subset doesn't matter,
+the result is divided by $k!$ and $(n-k)!$
 
-\subsubsection{Ominaisuuksia}
+\subsubsection{Properties}
 
-Binomikertoimelle pätee
+For binomial coefficients,
 \[
 {n \choose k}  =  {n \choose n-k},
 \]
-koska $k$ alkion valinta osajoukkoon
-tarkoittaa samaa kuin että valitaan
-$n-k$ alkiota osajoukon ulkopuolelle.
+because we can either select $k$
+elements to the subset,
+or select $n-k$ elements that
+will be outside the subset.
 
-Binomikerrointen summa on
+The sum of binomial coefficients is
 \[
 {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\ldots+{n \choose n}=2^n.
 \]
 
-Nimi ''binomikerroin'' tulee siitä, että
+The reason for the name ''binomial coefficient''
+is that
 
 \[ (a+b)^n =
 {n \choose 0} a^n b^0 + 
@@ -143,12 +145,13 @@ Nimi ''binomikerroin'' tulee siitä, että
 {n \choose n-1} a^1 b^{n-1} +
 {n \choose n} a^0 b^n. \]
 
-\index{Pascalin kolmio}
+\index{Pascal's triangle}
 
-Binomikertoimet esiintyvät myös \key{Pascalin
-kolmiossa}, jonka reunoilla on lukua 1
-ja jokainen luku saadaan
-kahden yllä olevan luvun summana:
+Binomial coefficients also appear in
+\key{Pascal's triangle}
+whose border consists of 1's,
+and each value is the sum of two
+above values:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}{0.9}
 \node at (0,0) {1};