Two pointers method

luku08.tex

@@ -1,41 +1,42 @@
 \chapter{Amortized analysis}
 
-\index{tasoitettu analyysi@tasoitettu analyysi}
+\index{amortized analysis}
 
-Monen algoritmin aikavaativuuden pystyy laskemaan
-suoraan katsomalla algoritmin rakennetta:
-mitä silmukoita algoritmissa on ja miten monta
-kertaa niitä suoritetaan.
-Joskus kuitenkaan näin suoraviivainen analyysi ei
-riitä antamaan todellista kuvaa algoritmin tehokkuudesta.
+Often the time complexity of an algorithm
+is easy to analyze by looking at the structure
+of the algorithm:
+what loops there are and how many times
+they are performed.
+However, sometimes a straightforward analysis
+doesn't give a true picture of the efficiency of the algorithm.
 
-\key{Tasoitettu analyysi} soveltuu sellaisten
-algoritmien analyysiin, joiden osana on jokin operaatio,
-jonka ajankäyttö vaihtelee.
-Ideana on tarkastella yksittäisen operaation
-sijasta kaikkia operaatioita algoritmin
-aikana ja laskea niiden ajankäytölle yhteinen raja.
+\key{Amortized analysis} can be used for analyzing
+an algorithm that contains an operation whose
+time complexity varies.
+The idea is to consider all such operations during the
+execution of the algorithm instead of a single operation,
+and estimate the total time complexity of the operations.
 
-\section{Kahden osoittimen tekniikka}
+\section{Two pointers method}
 
-\index{kahden osoittimen tekniikka}
+\index{two pointers method}
 
-\key{Kahden osoittimen tekniikka} on taulukon käsittelyssä
-käytettävä menetelmä, jossa taulukkoa käydään läpi
-kahden osoittimen avulla.
-Molemmat osoittimet liikkuvat algoritmin aikana,
-mutta rajoituksena on, että ne voivat liikkua vain
-yhteen suuntaan, mikä takaa, että algoritmi toimii tehokkaasti.
+In the \key{two pointers method},
+two pointers iterate through the elements in an array.
+Both pointers can move during the algorithm,
+but the restriction is that each pointer can move
+to only one direction.
+This ensures that the algorithm works efficiently.
 
-Tutustumme seuraavaksi kahden osoittimen tekniikkaan
-kahden esimerkkitehtävän kautta.
+We will next discuss two problems that can be solved
+using the two pointers method.
 
-\subsubsection{Alitaulukon summa}
+\subsubsection{Subarray sum}
 
-Annettuna on taulukko, jossa on $n$ positiivista kokonaislukua.
-Tehtävänä on selvittää, onko taulukossa alitaulukkoa,
-jossa lukujen summa on $x$.
-Esimerkiksi taulukossa
+Given an array that contains $n$ positive integers,
+our task is to find out if there is a subarray
+where the sum of the elements is $x$.
+For example, the array
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
 \draw (0,0) grid (8,1);
@@ -60,7 +61,7 @@ Esimerkiksi taulukossa
 \node at (7.5,1.4) {$8$};
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
-on alitaulukko, jossa lukujen summa on 8:
+contains a subarray with sum 8:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
 \fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (5,1);
@@ -87,17 +88,18 @@ on alitaulukko, jossa lukujen summa on 8:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Osoittautuu, että tämän tehtävän voi ratkaista
-ajassa $O(n)$ kahden osoittimen tekniikalla.
-Ideana on käydä taulukkoa läpi kahden osoittimen
-avulla, jotka rajaavat välin taulukosta.
-Joka vuorolla vasen osoitin liikkuu
-yhden askeleen eteenpäin ja oikea osoitin
-liikkuu niin kauan eteenpäin kuin summa on enintään $x$.
-Jos välin summaksi tulee tarkalleen $x$, ratkaisu on löytynyt.
+It turns out that the problem can be solved in
+$O(n)$ time using the two pointers method.
+The idea is to iterate through the array
+using two pointers that define a range in the array.
+On each turn, the left pointer moves one step
+forward, and the right pointer moves forward
+as long as the sum is at most $x$.
+If the sum of the range becomes exactly $x$,
+we have found a solution.
 
-Tarkastellaan esimerkkinä algoritmin toimintaa
-seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa summa $x=8$:
+As an example, we consider the following array
+with target sum $x=8$:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
 \draw (0,0) grid (8,1);
@@ -123,10 +125,10 @@ seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa summa $x=8$:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Aluksi osoittimet rajaavat taulukosta välin,
-jonka summa on $1+3+2=6$.
-Väli ei voi olla tätä suurempi,
-koska seuraava luku 5 veisi summan yli $x$:n.
+First, the pointers define a range with sum $1+3+2=6$.
+The range can't be larger
+because the next number 5 would make the sum
+larger than $x$.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
@@ -157,9 +159,9 @@ koska seuraava luku 5 veisi summan yli $x$:n.
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Seuraavaksi vasen osoitin siirtyy askeleen eteenpäin.
-Oikea osoitin säilyy paikallaan, koska muuten
-summa kasvaisi liian suureksi.
+After this, the left pointer moves one step forward.
+The right pointer doesn't move because otherwise
+the sum would become too large.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
@@ -190,10 +192,11 @@ summa kasvaisi liian suureksi.
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Vasen osoitin siirtyy taas askeleen eteenpäin
-ja tällä kertaa oikea osoitin siirtyy kolme askelta
-eteenpäin. Muodostuu summa $2+5+1=8$ eli taulukosta
-on löytynyt väli, jonka lukujen summa on $x$.
+Again, the left pointer moves one step forward,
+and this time the right pointer moves three
+steps forward.
+The sum is $2+5+1=8$, so we have found a subarray
+where the sum of the elements is $x$.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
@@ -224,67 +227,42 @@ on löytynyt väli, jonka lukujen summa on $x$.
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-% Algoritmin toteutus näyttää seuraavalta:
-% 
-% \begin{lstlisting}
-% int s = 0, b = 0;
-% for (int a = 1; a <= n; a++) {
-%     while (b<n && s+t[b+1] <= x) {
-%         b++;
-%         s += t[b];
-%     }
-%     if (s == x) {
-%         // ratkaisu löytyi
-%     }
-%     s -= t[a];
-% }
-% \end{lstlisting}
-% 
-% Muuttujat $a$ ja $b$ sisältävät vasemman ja oikean
-% osoittimen kohdan.
-% Muuttuja $s$ taas laskee lukujen summan välillä.
-% Joka askeleella $a$ liikkuu askeleen eteenpäin
-% ja $b$ liikkuu niin kauan kuin summa on enintään $x$.
+The time complexity of the algorithm depends on
+the number of steps the right pointer moves.
+There is no upper bound how many steps the
+pointer can move on a single turn.
+However, the pointer moves \emph{a total of}
+$O(n)$ steps during the algorithm
+because it only moves forward.
 
-Algoritmin aikavaativuus riippuu siitä,
-kauanko oikean osoittimen liikkuminen vie aikaa.
-Tämä vaihtelee, koska oikea osoitin voi liikkua
-minkä tahansa matkan eteenpäin taulukossa.
-Kuitenkin oikea osoitin liikkuu \textit{yhteensä}
-$O(n)$ askelta algoritmin aikana, koska se voi
-liikkua vain eteenpäin.
+Since both the left and the right pointer
+move $O(n)$ steps during the algorithm,
+the time complexity is $O(n)$.
 
-Koska sekä vasen että oikea osoitin liikkuvat
-$O(n)$ askelta algoritmin aikana,
-algoritmin aikavaativuus on $O(n)$.
+\subsubsection{Sum of two numbers}
 
-\subsubsection{Kahden luvun summa}
+\index{2SUM problem}
 
-\index{2SUM-ongelma}
+Given an array of $n$ integers and an integer $x$,
+our task is to find two numbers in array
+whose sum is $x$ or report that there are no such numbers.
+This problem is known as the \key{2SUM} problem,
+and it can be solved efficiently using the
+two pointers method.
 
-Annettuna on taulukko, jossa on $n$ kokonaislukua,
-sekä kokonaisluku $x$.
-Tehtävänä on etsiä taulukosta kaksi lukua,
-joiden summa on $x$, tai todeta,
-että tämä ei ole mahdollista.
-Tämä ongelma tunnetaan tunnetaan nimellä
-\key{2SUM} ja se ratkeaa tehokkaasti
-kahden osoittimen tekniikalla.
+First, we sort the numbers in the array in
+increasing order.
+After this, we iterate through the array using
+two pointers that begin at both ends of the array.
+The left pointer begins from the first element
+and moves one step forward on each turn.
+The right pointer begins from the last element
+and always moves backward until the sum of the range
+defined by the pointers is at most $x$.
+If the sum is exactly $x$, we have found a solution.
 
-Taulukon luvut järjestetään ensin
-pienimmästä suurimpaan, minkä jälkeen
-taulukkoa aletaan käydä läpi kahdella osoittimella,
-jotka lähtevät liikkelle taulukon molemmista päistä.
-Vasen osoitin aloittaa taulukon alusta ja
-liikkuu joka vaiheessa askeleen eteenpäin.
-Oikea osoitin taas aloittaa taulukon lopusta
-ja peruuttaa vuorollaan taaksepäin, kunnes osoitinten
-määrittämän välin lukujen summa on enintään $x$.
-Jos summa on tarkalleen $x$, ratkaisu on löytynyt.
-
-Tarkastellaan algoritmin toimintaa
-seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa
-summa $x=12$:
+For example, consider the following array when
+our task is to find two elements whose sum is $x=12$:
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
 \draw (0,0) grid (8,1);
@@ -310,9 +288,10 @@ summa $x=12$:
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Seuraavassa on algoritmin aloitustilanne.
-Lukujen summa on $1+10=11$, joka on pienempi
-kuin $x$:n arvo.
+The initial positions of the pointers
+are as follows.
+The sum of the numbers is $1+10=11$
+that is smaller than $x$.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
@@ -344,9 +323,9 @@ kuin $x$:n arvo.
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Seuraavaksi vasen osoitin liikkuu askeleen eteenpäin.
-Oikea osoitin peruuttaa kolme askelta, minkä jälkeen
-summana on $4+7=11$.
+Then the left pointer moves one step forward.
+The right pointer moves three steps backward,
+and the sum becomes $4+7=11$.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
@@ -378,8 +357,9 @@ summana on $4+7=11$.
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Sitten vasen osoitin siirtyy jälleen askeleen eteenpäin.
-Oikea osoitin pysyy paikallaan ja ratkaisu $5+7=12$ on löytynyt.
+After this, the left pointer moves one step forward again.
+The right pointer doesn't move, and the solution
+$5+7=12$ has been found.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
@@ -411,28 +391,27 @@ Oikea osoitin pysyy paikallaan ja ratkaisu $5+7=12$ on löytynyt.
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-Algoritmin alussa taulukon järjestäminen vie
-aikaa $O(n \log n)$.
-Tämän jälkeen vasen osoitin liikkuu $O(n)$ askelta
-eteenpäin ja oikea osoitin liikkuu $O(n)$ askelta
-taaksepäin, mihin kuluu aikaa $O(n)$.
-Algoritmin kokonaisaikavaativuus on siis $O(n \log n)$.
+At the beginning of the algorithm,
+the sorting takes $O(n \log n)$ time.
+After this, the left pointer moves $O(n)$ steps
+forward, and the right pointer moves $O(n)$ steps
+backward. Thus, the total time complexity
+of the algorithm is $O(n \log n)$.
 
-Huomaa, että tehtävän voi ratkaista myös 
-toisella tavalla ajassa
-$O(n \log n)$ binäärihaun avulla.
-Tässä ratkaisussa jokaiselle taulukon luvulle
-etsitään binäärihaulla toista lukua niin,
-että lukujen summa olisi yhteensä $x$.
-Binäärihaku suoritetaan $n$ kertaa ja
-jokainen binäärihaku vie aikaa $O(\log n)$.
+Note that it is possible to solve
+in another way in $O(n \log n)$ time using binary search.
+In this solution, we iterate through the array
+and for each number, we try to find another
+number such that the sum is $x$.
+This can be done by performing $n$ binary searches,
+and each search takes $O(\log n)$ time.
 
 \index{3SUM-ongelma}
-Hieman vaikeampi ongelma on \key{3SUM},
-jossa taulukosta tuleekin etsiä kolme lukua,
-joiden summa on $x$.
-Tämä ongelma on mahdollista ratkaista ajassa $O(n^2)$.
-Keksitkö, miten se tapahtuu?
+A somewhat more difficult problem is 
+the \key{3SUM} problem where our task is
+to find \emph{three} numbers whose sum is $x$.
+This problem can be solved in $O(n^2)$ time.
+Can you see how it is possible?
 
 \section{Lähin pienempi edeltäjä}