Linear recurrences
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
parent
58aa6bef6d
commit
864df3289e
104
luku23.tex
104
luku23.tex
|
|
@ -420,35 +420,32 @@ For example,
|
|||
}_{I}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\section{Lineaariset rekursioyhtälöt}
|
||||
\section{Linear recurrences}
|
||||
|
||||
\index{rekursioyhtxlz@rekursioyhtälö}
|
||||
\index{lineaarinen rekursioyhtxlz@lineaarinen rekursioyhtälö}
|
||||
\index{linear recurrence}
|
||||
|
||||
\key{Lineaarinen rekursioyhtälö}
|
||||
voidaan esittää funktiona $f(n)$,
|
||||
jolle on annettu alkuarvot
|
||||
$f(0),f(1),\ldots,f(k-1)$
|
||||
ja jonka suuremmat arvot
|
||||
parametrista $k$ lähtien lasketaan
|
||||
rekursiivisesti kaavalla
|
||||
A \key{linear recurrence}
|
||||
can be represented as a function $f(n)$
|
||||
with initial values
|
||||
$f(0),f(1),\ldots,f(k-1)$,
|
||||
whose values for $k$ and larger parameters
|
||||
are calculated recursively using a formula
|
||||
\[f(n) = c_1 f(n-1) + c_2 f(n-2) + \ldots + c_k f (n-k),\]
|
||||
missä $c_1,c_2,\ldots,c_k$ ovat vakiokertoimia.
|
||||
where $c_1,c_2,\ldots,c_k$ are constant multipliers.
|
||||
|
||||
Funktion arvon $f(n)$ voi laskea dynaamisella
|
||||
ohjelmoinnilla ajassa $O(kn)$
|
||||
laskemalla kaikki arvot $f(0),f(1),\ldots,f(n)$ järjestyksessä.
|
||||
Tätä ratkaisua voi kuitenkin tehostaa merkittävästi
|
||||
matriisien avulla, kun $k$ on pieni.
|
||||
Seuraavaksi näemme, miten arvon $f(n)$
|
||||
voi laskea ajassa $O(k^3 \log n)$.
|
||||
We can use dynamic programming to calculate
|
||||
any value $f(n)$ in $O(kn)$ time by calculating
|
||||
all values $f(0),f(1),\ldots,f(n)$ one after another.
|
||||
However, if $k$ is small, it is possible to calculate
|
||||
$f(n)$ much more efficiently in $O(k^3 \log n)$
|
||||
time using matrix operations.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Fibonaccin luvut}
|
||||
\subsubsection{Fibonacci numbers}
|
||||
|
||||
\index{Fibonaccin luku@Fibonaccin luku}
|
||||
\index{Fibonacci number}
|
||||
|
||||
Yksinkertainen esimerkki lineaarisesta rekursioyhtälöstä
|
||||
on Fibonaccin luvut määrittelevä funktio:
|
||||
A simple example of a linear recurrence is the
|
||||
function that calculates Fibonacci numbers:
|
||||
\[
|
||||
\begin{array}{lcl}
|
||||
f(0) & = & 0 \\
|
||||
|
|
@ -456,12 +453,13 @@ f(1) & = & 1 \\
|
|||
f(n) & = & f(n-1)+f(n-2) \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\]
|
||||
Tässä tapauksessa $k=2$ ja $c_1=c_2=1$.
|
||||
In this case, $k=2$ and $c_1=c_2=1$.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Ideana on esittää Fibonaccin lukujen laskukaava
|
||||
$2 \times 2$ -kokoisena neliömatriisina
|
||||
$X$, jolle pätee
|
||||
The idea is to represent the formula for
|
||||
calculating Fibonacci numbers as a
|
||||
square matrix $X$ of size $2 \times 2$
|
||||
for which the following holds:
|
||||
\[ X \cdot
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
f(i) \\
|
||||
|
|
@ -471,13 +469,13 @@ $X$, jolle pätee
|
|||
\begin{bmatrix}
|
||||
f(i+1) \\
|
||||
f(i+2) \\
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
eli $X$:lle annetaan
|
||||
''syötteenä'' arvot $f(i)$ ja $f(i+1)$,
|
||||
ja $X$ muodostaa niistä
|
||||
arvot $f(i+1)$ ja $f(i+2)$.
|
||||
Osoittautuu, että tällainen matriisi on
|
||||
Thus, values $f(i)$ and $f(i+1)$ are given as
|
||||
''input'' for $X$,
|
||||
and $X$ constructs values $f(i+1)$ and $f(i+2)$
|
||||
from them.
|
||||
It turns out that such a matrix is
|
||||
|
||||
\[ X =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
|
|
@ -487,7 +485,7 @@ Osoittautuu, että tällainen matriisi on
|
|||
\]
|
||||
\end{samepage}
|
||||
\noindent
|
||||
Esimerkiksi
|
||||
For example,
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 1 \\
|
||||
|
|
@ -519,8 +517,7 @@ Esimerkiksi
|
|||
f(7) \\
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\]
|
||||
Tämän ansiosta arvon $f(n)$ sisältävän matriisin saa laskettua
|
||||
kaavalla
|
||||
Thus, we can calculate $f(n)$ using the formula
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
f(n) \\
|
||||
|
|
@ -543,17 +540,17 @@ X^n \cdot
|
|||
1 \\
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\]
|
||||
Potenssilasku $X^n$ on mahdollista laskea ajassa
|
||||
$O(k^3 \log n)$,
|
||||
joten myös funktion arvon $f(n)$
|
||||
saa laskettua ajassa $O(k^3 \log n)$.
|
||||
The power $X^n$ on can be calculated in
|
||||
$O(k^3 \log n)$ time,
|
||||
so the value $f(n)$ can also be calculated
|
||||
in $O(k^3 \log n)$ time.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Yleinen tapaus}
|
||||
\subsubsection{General case}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan sitten yleistä tapausta,
|
||||
missä $f(n)$ on mikä tahansa lineaarinen
|
||||
rekursioyhtälö. Nyt tavoitteena on etsiä
|
||||
matriisi $X$, jolle pätee
|
||||
Let's now consider a general case where
|
||||
$f(n)$ is any linear recurrence.
|
||||
Again, our goal is to construct a matrix $X$
|
||||
for which
|
||||
|
||||
\[ X \cdot
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
|
|
@ -570,7 +567,7 @@ matriisi $X$, jolle pätee
|
|||
f(i+k) \\
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\]
|
||||
Tällainen matriisi on
|
||||
Such a matrix is
|
||||
\[
|
||||
X =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
|
|
@ -582,17 +579,16 @@ X =
|
|||
c_k & c_{k-1} & c_{k-2} & c_{k-3} & \cdots & c_1 \\
|
||||
\end{bmatrix}.
|
||||
\]
|
||||
Matriisin $k-1$ ensimmäisen rivin jokainen alkio on 0,
|
||||
paitsi yksi alkio on 1.
|
||||
Nämä rivit kopioivat
|
||||
arvon $f(i+1)$ arvon $f(i)$ tilalle,
|
||||
arvon $f(i+2)$ arvon $f(i+1)$ tilalle jne.
|
||||
Viimeinen rivi sisältää rekursiokaavan kertoimet,
|
||||
joiden avulla muodostuu uusi arvo $f(i+k)$.
|
||||
In the first $k-1$ rows, each element is 0
|
||||
except that one element is 1.
|
||||
These rows replace $f(i)$ with $f(i+1)$,
|
||||
$f(i+1)$ with $f(i+2)$, etc.
|
||||
The last row contains the multipliers in the recurrence,
|
||||
and it calculates the new value $f(i+k)$.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Nyt arvon $f(n)$ pystyy laskemaan ajassa $O(k^3 \log n)$
|
||||
kaavalla
|
||||
Now, $f(n)$ can be calculated in
|
||||
$O(k^3 \log n)$ time using the formula
|
||||
\[
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
f(n) \\
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue