Subsets and permutations
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
parent
9bdb67701a
commit
9de7221c10
243
luku05.tex
243
luku05.tex
|
|
@ -1,102 +1,102 @@
|
|||
\chapter{Complete search}
|
||||
|
||||
\key{Täydellinen haku}
|
||||
on yleispätevä tapa ratkaista
|
||||
lähes mikä tahansa ohjelmointitehtävä.
|
||||
Ideana on käydä läpi raa'alla voimalla kaikki
|
||||
mahdolliset tehtävän ratkaisut ja tehtävästä riippuen
|
||||
valita paras ratkaisu
|
||||
tai laskea ratkaisuiden yhteismäärä.
|
||||
|
||||
Täydellinen haku on hyvä menetelmä, jos kaikki
|
||||
ratkaisut ehtii käydä läpi,
|
||||
koska haku on yleensä suoraviivainen toteuttaa
|
||||
ja se antaa varmasti oikean vastauksen.
|
||||
Jos täydellinen haku on liian hidas,
|
||||
seuraavien lukujen ahneet algoritmit tai
|
||||
dynaaminen ohjelmointi voivat soveltua
|
||||
tehtävään.
|
||||
\key{Compelete search}
|
||||
is a general method that can be used
|
||||
for solving almost any algorithm problem.
|
||||
The idea is to generate all possible
|
||||
solutions for the problem using brute force,
|
||||
and select the best solution or count the
|
||||
number of solutions, depending on the problem.
|
||||
|
||||
\section{Osajoukkojen läpikäynti}
|
||||
Complete search is a good technique
|
||||
if it is feasible to go through all the solutions,
|
||||
because the search is usually easy to implement
|
||||
and it always gives the correct answer.
|
||||
If complete search is too slow,
|
||||
greedy algorithms or dynamic programming,
|
||||
presented in the next chapters,
|
||||
may be used.
|
||||
|
||||
\index{osajoukko@osajoukko}
|
||||
\section{Generating subsets}
|
||||
|
||||
Aloitamme tapauksesta, jossa tehtävän
|
||||
mahdollisia ratkaisuja ovat
|
||||
$n$-alkioisen joukon osajoukot.
|
||||
Tällöin täydellisen haun tulee
|
||||
käydä läpi kaikki joukon osa\-joukot,
|
||||
joita on yhteensä $2^n$ kappaletta.
|
||||
Käymme läpi kaksi menetelmää
|
||||
tällaisen haun toteuttamiseen.
|
||||
\index{subset}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Menetelmä 1}
|
||||
We first consider the case where
|
||||
the possible solutions for the problem
|
||||
are the subsets of a set of $n$ elements.
|
||||
In this case, a complete search algorithm
|
||||
has to generate
|
||||
all $2^n$ subsets of the set.
|
||||
|
||||
Kätevä tapa käydä läpi
|
||||
kaikki joukon osajoukot on
|
||||
käyttää rekursiota.
|
||||
Seuraava funktio \texttt{haku} muodostaa
|
||||
joukon $\{1,2,\ldots,n\}$ osajoukot.
|
||||
Funktio pitää yllä vektoria \texttt{v},
|
||||
johon se kokoaa osajoukossa olevat luvut.
|
||||
Osajoukkojen muodostaminen alkaa
|
||||
tekemällä funktiokutsu \texttt{haku(1)}.
|
||||
\subsubsection{Method 1}
|
||||
|
||||
An elegant way to go through all subsets
|
||||
of a set is to use recursion.
|
||||
The following function \texttt{gen}
|
||||
generates the subsets of the set
|
||||
$\{1,2,\ldots,n\}$.
|
||||
The function maintains a vector \texttt{v}
|
||||
that will contain the elements in the subset.
|
||||
The generation of the subsets
|
||||
begins when the function
|
||||
is called with parameter $1$.
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
void haku(int k) {
|
||||
void gen(int k) {
|
||||
if (k == n+1) {
|
||||
// käsittele osajoukko v
|
||||
// process subset v
|
||||
} else {
|
||||
haku(k+1);
|
||||
gen(k+1);
|
||||
v.push_back(k);
|
||||
haku(k+1);
|
||||
gen(k+1);
|
||||
v.pop_back();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Funktion parametri $k$ on luku,
|
||||
joka on ehdolla lisättäväksi osajoukkoon seuraavaksi.
|
||||
Joka kutsulla funktio haarautuu kahteen tapaukseen:
|
||||
joko luku $k$ lisätään tai ei lisätä osajoukkoon.
|
||||
Aina kun $k=n+1$, kaikki luvut on käyty läpi
|
||||
ja yksi osajoukko on muodostettu.
|
||||
The parameter $k$ is the number that is the next
|
||||
candidate to be included in the subset.
|
||||
The function branches to two cases:
|
||||
either $k$ is included or it is not included in the subset.
|
||||
Finally, when $k=n+1$, a decision has been made for
|
||||
all the numbers and one subset has been generated.
|
||||
|
||||
For example, when $n=3$, the function calls
|
||||
create a tree illustrated below.
|
||||
At each call, the left branch doesn't include
|
||||
the number and the right branch includes the number
|
||||
in the subset.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi kun $n=3$, funktiokutsut
|
||||
muodostavat seuraavan kuvan mukaisen puun.
|
||||
Joka kutsussa
|
||||
vasen haara jättää luvun pois osajoukosta
|
||||
ja oikea haara lisää sen osajoukkoon.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.45]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\small
|
||||
\node at (0,0) {$\texttt{haku}(1)$};
|
||||
\node at (0,0) {$\texttt{gen}(1)$};
|
||||
|
||||
\node at (-8,-4) {$\texttt{haku}(2)$};
|
||||
\node at (8,-4) {$\texttt{haku}(2)$};
|
||||
\node at (-8,-4) {$\texttt{gen}(2)$};
|
||||
\node at (8,-4) {$\texttt{gen}(2)$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (0,0-0.5) -- (-8,-4+0.5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (0,0-0.5) -- (8,-4+0.5);
|
||||
|
||||
\node at (-12,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
||||
\node at (-4,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
||||
\node at (4,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
||||
\node at (12,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
||||
\node at (-12,-8) {$\texttt{gen}(3)$};
|
||||
\node at (-4,-8) {$\texttt{gen}(3)$};
|
||||
\node at (4,-8) {$\texttt{gen}(3)$};
|
||||
\node at (12,-8) {$\texttt{gen}(3)$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (-8,-4-0.5) -- (-12,-8+0.5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (-8,-4-0.5) -- (-4,-8+0.5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (8,-4-0.5) -- (4,-8+0.5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (8,-4-0.5) -- (12,-8+0.5);
|
||||
|
||||
\node at (-14,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (-10,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (-6,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (-2,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (2,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (6,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (10,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (14,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
||||
\node at (-14,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (-10,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (-6,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (-2,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (2,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (6,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (10,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
\node at (14,-12) {$\texttt{gen}(4)$};
|
||||
|
||||
\node at (-14,-13.5) {$\emptyset$};
|
||||
\node at (-10,-13.5) {$\{3\}$};
|
||||
|
|
@ -120,36 +120,36 @@ ja oikea haara lisää sen osajoukkoon.
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Menetelmä 2}
|
||||
\subsubsection{Method 2}
|
||||
|
||||
Toinen tapa käydä osajoukot läpi on hyödyntää kokonaislukujen
|
||||
bittiesitystä. Jokainen $n$ alkion osajoukko
|
||||
voidaan esittää $n$ bitin jonona,
|
||||
joka taas vastaa lukua väliltä $0 \ldots 2^n-1$.
|
||||
Bittiesityksen ykkösbitit ilmaisevat,
|
||||
mitkä joukon alkiot on valittu osajoukkoon.
|
||||
Another way to generate the subsets is to exploit
|
||||
the bit representation of integers.
|
||||
Each subset of a set of $n$ elements
|
||||
can be represented as a sequence of $n$ bits,
|
||||
which corresponds to an integer between $0 \ldots 2^n-1$.
|
||||
The ones in the bit representation indicate
|
||||
which elements of the set are included in the subset.
|
||||
|
||||
Tavallinen käytäntö on tulkita kokonaisluvun
|
||||
bittiesitys osajoukkona niin,
|
||||
että alkio $k$ kuuluu osajoukkoon,
|
||||
jos lopusta lukien $k$. bitti on 1.
|
||||
Esimerkiksi luvun 25 bittiesitys on 11001,
|
||||
mikä vastaa osajoukkoa $\{1,4,5\}$.
|
||||
The usual interpretation is that element $k$
|
||||
is included in the subset if $k$th bit from the
|
||||
end of the bit sequence is one.
|
||||
For example, the bit representation of 25
|
||||
is 11001 that corresponds to the subset $\{1,4,5\}$.
|
||||
|
||||
Seuraava koodi käy läpi $n$ alkion joukon
|
||||
osajoukkojen bittiesitykset:
|
||||
The following iterates through all subsets
|
||||
of a set of $n$ elements
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
|
||||
// käsittele osajoukko b
|
||||
// process subset b
|
||||
}
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Seuraava koodi muodostaa jokaisen osajoukon
|
||||
kohdalla vektorin \texttt{v},
|
||||
joka sisältää osajoukossa olevat luvut.
|
||||
Ne saadaan selville tutkimalla, mitkä bitit ovat
|
||||
ykkösiä osajoukon bittiesityksessä.
|
||||
The following code converts each bit
|
||||
representation to a vector \texttt{v}
|
||||
that contains the elements in the subset.
|
||||
This can be done by checking which bits
|
||||
are one in the bit representation.
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
|
||||
|
|
@ -160,33 +160,30 @@ for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
|
|||
}
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
\section{Permutaatioiden läpikäynti}
|
||||
\section{Generating permutations}
|
||||
|
||||
\index{permutaatio@permutaatio}
|
||||
\index{permutation}
|
||||
|
||||
Toinen usein esiintyvä tilanne on,
|
||||
että tehtävän ratkaisut ovat $n$-alkioisen
|
||||
joukon permutaatioita,
|
||||
jolloin täydellisen haun tulee
|
||||
käydä läpi $n!$ mahdollista permutaatiota.
|
||||
Myös tässä tapauksessa on kaksi luontevaa
|
||||
menetelmää täydellisen haun toteuttamiseen.
|
||||
Another common situation is that the solutions
|
||||
for the problem are permutations of a
|
||||
set of $n$ elements.
|
||||
In this case, a complete search algorithm has to
|
||||
generate $n!$ possible permutations.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Menetelmä 1}
|
||||
\subsubsection{Method 1}
|
||||
|
||||
Osajoukkojen tavoin permutaatioita voi muodostaa
|
||||
rekursiivisesti.
|
||||
Seuraava funktio \texttt{haku} käy läpi
|
||||
joukon $\{1,2,\ldots,n\}$ permutaatiot.
|
||||
Funktio muodostaa kunkin permutaation
|
||||
vuorollaan vektoriin \texttt{v}.
|
||||
Permutaatioiden muodostus alkaa kutsumalla
|
||||
funktiota ilman parametreja.
|
||||
Like subsets, permutations can be generated
|
||||
using recursion.
|
||||
The following function \texttt{gen} iterates
|
||||
through the permutations of the set $\{1,2,\ldots,n\}$.
|
||||
The function uses the vector \texttt{v}
|
||||
for storing the permutations, and the generation
|
||||
begins by calling the function without parameters.
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
void haku() {
|
||||
if (v.size() == n) {
|
||||
// käsittele permutaatio v
|
||||
// process permutation v
|
||||
} else {
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
if (p[i]) continue;
|
||||
|
|
@ -200,26 +197,26 @@ void haku() {
|
|||
}
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Funktion jokainen kutsu lisää uuden
|
||||
luvun permutaatioon vektoriin \texttt{v}.
|
||||
Taulukko \texttt{p} kertoo, mitkä luvut on jo
|
||||
valittu permutaatioon.
|
||||
Jos $\texttt{p}[k]=0$, luku $k$ ei ole mukana,
|
||||
ja jos $\texttt{p}[k]=1$, luku $k$ on mukana.
|
||||
Jos vektorin \texttt{v} koko on sama kuin
|
||||
joukon koko $n$, permutaatio on tullut valmiiksi.
|
||||
Each function call adds a new element to
|
||||
the permutation in the vector \texttt{v}.
|
||||
The array \texttt{p} indicates which
|
||||
elements are already included in the permutation.
|
||||
If $\texttt{p}[k]=0$, element $k$ is not included,
|
||||
and if $\texttt{p}[k]=1$, element $k$ is included.
|
||||
If the size of the vector equals the size of the set,
|
||||
a permutation has been generated.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Menetelmä 2}
|
||||
\subsubsection{Method 2}
|
||||
|
||||
\index{next\_permutation@\texttt{next\_permutation}}
|
||||
|
||||
Toinen ratkaisu on aloittaa permutaatiosta
|
||||
$\{1,2,\ldots,n\}$ ja muodostaa joka askeleella
|
||||
järjestyksessä seuraava permutaatio.
|
||||
C++:n standardikirjastossa on funktio
|
||||
\texttt{next\_permutation}, joka tekee tämän muunnoksen.
|
||||
Seuraava koodi käy läpi joukon $\{1,2,\ldots,n\}$
|
||||
permutaatiot funktion avulla:
|
||||
Another method is to begin from permutation
|
||||
$\{1,2,\ldots,n\}$ and at each step generate the
|
||||
next permutation in increasing order.
|
||||
The C++ standard library contains the function
|
||||
\texttt{next\_permutation} that can be used for this.
|
||||
The following code generates the permutations
|
||||
of the set $\{1,2,\ldots,n\}$ using the function:
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
vector<int> v;
|
||||
|
|
@ -227,7 +224,7 @@ for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
|||
v.push_back(i);
|
||||
}
|
||||
do {
|
||||
// käsittele permutaatio v
|
||||
// process permutation v
|
||||
} while (next_permutation(v.begin(),v.end()));
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue