Game states and nim game
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
parent
d4b814dcea
commit
ae2715d567
412
luku25.tex
412
luku25.tex
|
|
@ -1,92 +1,101 @@
|
|||
\chapter{Game theory}
|
||||
|
||||
Tässä luvussa keskitymme kahden pelaajan peleihin,
|
||||
joissa molemmat pelaajat tekevät
|
||||
samanlaisia siirtoja eikä pelissä ole satunnaisuutta.
|
||||
Tavoitteemme on etsiä strategia, jota käyttäen
|
||||
pelaaja pystyy voittamaan pelin toisen pelaajan
|
||||
toimista riippumatta, jos tämä on mahdollista.
|
||||
In this chapter, we will focus on games where
|
||||
two players make alternate moves and that
|
||||
do not contain random elements.
|
||||
Our goal is to find a strategy that we can
|
||||
follow to win the game
|
||||
no matter what the opponent does,
|
||||
if such a strategy exists.
|
||||
|
||||
Osoittautuu, että kaikki tällaiset pelit ovat
|
||||
pohjimmiltaan samanlaisia ja niiden analyysi on
|
||||
mahdollista \key{nim-teorian} avulla.
|
||||
Perehdymme aluksi yksinkertaisiin tikkupeleihin,
|
||||
joissa pelaajat poistavat tikkuja kasoista,
|
||||
ja yleistämme sitten näiden pelien teorian kaikkiin peleihin.
|
||||
It turns out that there is a general strategy
|
||||
for all such games,
|
||||
and we can analyze the games using the \key{nim theory}.
|
||||
First, we analyze simple games where
|
||||
players remove sticks from heaps,
|
||||
and after this, we generalize the strategy
|
||||
for those games to all other games.
|
||||
|
||||
\section{Pelin tilat}
|
||||
\section{Game states}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan peliä, jossa kasassa on $n$ tikkua.
|
||||
Pelaajat $A$ ja $B$ siirtävät vuorotellen ja
|
||||
pelaaja $A$ aloittaa.
|
||||
Jokaisella siirrolla pelaajan tulee poistaa
|
||||
1, 2 tai 3 tikkua kasasta.
|
||||
Pelin voittaa se pelaaja, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||||
Let's consider a game where there is initially
|
||||
a heap of $n$ sticks.
|
||||
Players $A$ and $B$ move alternatively,
|
||||
and player $A$ begins.
|
||||
On each move, the player has to remove
|
||||
1, 2 or 3 sticks from the heap.
|
||||
The player who removes the last stick wins.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi jos $n=10$, peli saattaa edetä seuraavasti:
|
||||
For example, if $n=10$, the game may proceed as follows:
|
||||
\begin{enumerate}[noitemsep]
|
||||
\item Pelaaja $A$ poistaa 2 tikkua (jäljellä 8 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $B$ poistaa 3 tikkua (jäljellä 5 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $A$ poistaa 1 tikun (jäljellä 4 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $B$ poistaa 2 tikkua (jäljellä 2 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $A$ poistaa 2 tikkua ja voittaa.
|
||||
\item Player $A$ removes 2 sticks (8 sticks left).
|
||||
\item Player $B$ removes 3 sticks (5 sticks left).
|
||||
\item Player $A$ removes 1 stick (4 sticks left).
|
||||
\item Player $B$ removes 2 sticks (2 sticks left).
|
||||
\item Player $A$ removes 2 sticks and wins.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Tämä peli muodostuu tiloista $0,1,2,\ldots,n$,
|
||||
missä tilan numero vastaa sitä, montako tikkua
|
||||
kasassa on jäljellä.
|
||||
Tietyssä tilassa olevan pelaajan valittavana on,
|
||||
montako tikkua hän poistaa kasasta.
|
||||
This game consists of states $0,1,2,\ldots,n$,
|
||||
where the number of the state corresponds to
|
||||
the number of sticks left.
|
||||
The player must always choose how many sticks
|
||||
they will remove from the heap.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Voittotila ja häviötila}
|
||||
\subsubsection{Winning and losing states}
|
||||
|
||||
\index{voittotila@voittotila}
|
||||
\index{hxviztila@häviötila}
|
||||
\index{winning state}
|
||||
\index{losing state}
|
||||
|
||||
\key{Voittotila} on tila, jossa oleva pelaaja voittaa
|
||||
pelin varmasti, jos hän pelaa optimaalisesti.
|
||||
Vastaavasti \key{häviötila} on tila,
|
||||
jossa oleva pelaaja häviää varmasti, jos vastustaja
|
||||
pelaa optimaalisesti.
|
||||
Osoittautuu, että pelin tilat on mahdollista luokitella
|
||||
niin, että jokainen tila on joko voittotila tai häviötila.
|
||||
A \key{winning state} is a state where
|
||||
the player wins the game if they
|
||||
play optimally.
|
||||
Correspondingly, a \key{losing state} is a state
|
||||
where the player loses if the
|
||||
opponent plays optimally.
|
||||
It turns out that we can classify all states
|
||||
in a game so that each state is either
|
||||
a winning state or a losing state.
|
||||
|
||||
Yllä olevassa pelissä tila 0 on selkeästi häviötila,
|
||||
koska siinä oleva pelaaja häviää pelin suoraan.
|
||||
Tilat 1, 2 ja 3 taas ovat voittotiloja,
|
||||
koska niissä oleva pelaaja voi poistaa
|
||||
1, 2 tai 3 tikkua ja voittaa pelin.
|
||||
Vastaavasti tila 4 on häviötila, koska mikä tahansa
|
||||
siirto johtaa toisen pelaajan voittoon.
|
||||
In the above game, state 0 is clearly a
|
||||
losing state, because the player can't make
|
||||
any moves.
|
||||
States 1, 2 and 3 are winning states,
|
||||
because we can remove 1, 2 or 3 sticks
|
||||
and win the game.
|
||||
State 4, in turn, is a losing state,
|
||||
because any move leads to a state that
|
||||
is a winning state for the opponent.
|
||||
|
||||
Yleisemmin voidaan havaita, että jos tilasta on
|
||||
jokin häviötilaan johtava siirto, niin tila on voittotila,
|
||||
ja muussa tapauksessa tila on häviötila.
|
||||
Tämän ansiosta voidaan luokitella kaikki pelin tilat
|
||||
alkaen varmoista häviötiloista, joista ei ole siirtoja
|
||||
mihinkään muihin tiloihin.
|
||||
More generally, if there is a move that leads
|
||||
from the current state to a losing state,
|
||||
the current state is a winning state,
|
||||
and otherwise it is a losing state.
|
||||
Using this observation, we can classify all states
|
||||
in a game beginning from losing states where
|
||||
there are no possible moves.
|
||||
|
||||
Seuraavassa on pelin tilojen $0 \ldots 15$ luokittelu
|
||||
($V$ tarkoittaa voittotilaa ja $H$ tarkoittaa häviötilaa):
|
||||
The states $0 \ldots 15$ of the above game
|
||||
can be classified as follows
|
||||
($W$ means winning state, and $L$ means losing state):
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (16,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (8.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (9.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (10.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (11.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (12.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (13.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (14.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (15.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (8.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (9.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (10.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (11.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (12.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (13.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (14.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (15.5,0.5) {$W$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$0$};
|
||||
|
|
@ -108,32 +117,37 @@ Seuraavassa on pelin tilojen $0 \ldots 15$ luokittelu
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämän pelin analyysi on yksinkertainen:
|
||||
tila $k$ on häviötila, jos $k$ on jaollinen 4:llä,
|
||||
ja muuten tila $k$ on voittotila.
|
||||
Optimaalinen tapa pelata peliä on
|
||||
valita aina sellainen siirto, että vastustajalle
|
||||
jää 4:llä jaollinen määrä tikkuja,
|
||||
kunnes lopulta tikut loppuvat ja vastustaja on hävinnyt.
|
||||
It's easy to analyze this game:
|
||||
a state $k$ is a losing state if $k$ is
|
||||
divisible by 4, and otherwise it
|
||||
is winning state.
|
||||
An optimal way to play the game is
|
||||
to always choose a move after which
|
||||
the number of sticks in the heap
|
||||
is divisible by 4.
|
||||
Finally, there are no sticks left and
|
||||
the opponent has lost.
|
||||
|
||||
Tämä pelitapa edellyttää luonnollisesti sitä,
|
||||
että tikkujen määrä omalla siirrolla \emph{ei} ole
|
||||
4:llä jaollinen. Jos näin kuitenkin on, mitään ei ole
|
||||
tehtävissä vaan vastustaja voittaa
|
||||
pelin varmasti, jos hän pelaa optimaalisesti.
|
||||
Of course, this strategy requires that
|
||||
the number of sticks is \emph{not} divisible by 4
|
||||
when it is our move.
|
||||
If it is, there is nothing we can do,
|
||||
but the opponent will win the game if
|
||||
they play optimally.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Tilaverkko}
|
||||
\subsubsection{State graph}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan sitten toisenlaista tikkupeliä,
|
||||
jossa tilassa $k$ saa poistaa minkä tahansa
|
||||
määrän tikkuja $x$, kunhan $k$ on jaollinen $x$:llä
|
||||
ja $x$ on pienempi kuin $k$.
|
||||
Esimerkiksi tilassa 8 on sallittua poistaa
|
||||
1, 2 tai 4 tikkua, mutta tilassa 7
|
||||
ainoa mahdollinen siirto on poistaa 1 tikku.
|
||||
Let's now consider another stick game,
|
||||
where in state $k$, it is allowed to remove
|
||||
any number $x$ of sticks such that $x$
|
||||
is smaller than $x$ and divides $x$.
|
||||
For example, in state 8 we may remove
|
||||
1, 2 or 4 sticks, but in state 7 the only
|
||||
allowed move is to remove 1 stick.
|
||||
|
||||
Seuraava kuva esittää pelin tilat $1 \ldots 9$ \key{tilaverkkona}, jossa solmut ovat pelin tiloja
|
||||
ja kaaret kuvaavat mahdollisia siirtoja tilojen välillä:
|
||||
The following picture shows the states
|
||||
$1 \ldots 9$ of the game as a \key{state graph},
|
||||
where nodes are states and edges are moves between them:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
|
|
@ -164,23 +178,25 @@ ja kaaret kuvaavat mahdollisia siirtoja tilojen välillä:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämä peli päättyy aina tilaan 1, joka on häviötila,
|
||||
koska siinä ei voi tehdä mitään siirtoja.
|
||||
Pelin tilojen $1 \ldots 9$ luokittelu on seuraava:
|
||||
The final state in this game is always state 1,
|
||||
which is a losing state, because there are no
|
||||
valid moves.
|
||||
The classification of states $1 \ldots 9$
|
||||
is as follows:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (1,0) grid (10,1);
|
||||
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (8.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (9.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$L$};
|
||||
\node at (8.5,0.5) {$W$};
|
||||
\node at (9.5,0.5) {$L$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$1$};
|
||||
|
|
@ -195,84 +211,89 @@ Pelin tilojen $1 \ldots 9$ luokittelu on seuraava:
|
|||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Yllättävää kyllä, tässä pelissä kaikki
|
||||
parilliset tilat ovat voittotiloja ja
|
||||
kaikki parittomat tilat ovat häviötiloja.
|
||||
Surprisingly enough, in this game,
|
||||
all even-numbered states are winning states,
|
||||
and all odd-numbered states are losing states.
|
||||
|
||||
\section{Nim-peli}
|
||||
\section{Nim game}
|
||||
|
||||
\index{nim-peli}
|
||||
\index{nim game}
|
||||
|
||||
\key{Nim-peli} on yksinkertainen peli,
|
||||
joka on tärkeässä asemassa peliteoriassa,
|
||||
koska monia pelejä voi pelata samalla
|
||||
strategialla kuin nim-peliä.
|
||||
Tutustumme aluksi nim-peliin ja yleistämme
|
||||
strategian sitten muihin peleihin.
|
||||
The \key{nim game} is a simple game that
|
||||
has an important role in game theory,
|
||||
because many games can be played using
|
||||
the same strategy.
|
||||
First, we focus on nim,
|
||||
and then we generalize the strategy
|
||||
to other games.
|
||||
|
||||
Nim-pelissä on $n$ kasaa tikkuja,
|
||||
joista kussakin on tietty määrä tikkuja.
|
||||
Pelaajat poistavat kasoista tikkuja vuorotellen.
|
||||
Joka vuorolla pelaaja valitsee yhden kasan,
|
||||
jossa on vielä tikkuja,
|
||||
ja poistaa siitä minkä tahansa määrän tikkuja.
|
||||
Pelin voittaa se, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||||
There are $n$ heaps in nim,
|
||||
and each heap contains some number of sticks.
|
||||
The players move alternatively,
|
||||
and on each turn, the player chooses
|
||||
a heap that still contains sticks
|
||||
and removes any number of sticks from it.
|
||||
The winner is the player who removes the last stick.
|
||||
|
||||
Nim-pelin tila on muotoa $[x_1,x_2,\ldots,x_n]$,
|
||||
jossa $x_k$ on tikkujen määrä kasassa $k$.
|
||||
Esimerkiksi $[10,12,5]$ tarkoittaa peliä,
|
||||
jossa on kolme kasaa ja tikkujen määrät ovat 10, 12 ja 5.
|
||||
Tila $[0,0,\ldots,0]$ on häviötila,
|
||||
koska siitä ei voi poistaa mitään tikkua,
|
||||
ja peli päättyy aina tähän tilaan.
|
||||
The states in nim are of the form
|
||||
$[x_1,x_2,\ldots,x_n]$,
|
||||
where $x_k$ denotes the number of sticks in heap $k$.
|
||||
For example, $[10,12,5]$ is a game where
|
||||
there are three heaps with 10, 12 and 5 sticks.
|
||||
The state $[0,0,\ldots,0]$ is a losing state,
|
||||
because it's not possible to remove any sticks,
|
||||
and this is always the final state.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Analyysi}
|
||||
\index{nim-summa}
|
||||
Osoittautuu, että nim-pelin tilan luonteen
|
||||
kertoo \key{nim-summa} $x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n$,
|
||||
missä $\oplus$ tarkoittaa xor-operaatiota.
|
||||
Jos nim-summa on 0, tila on häviötila,
|
||||
ja muussa tapauksessa tila on voittotila.
|
||||
Esimerkiksi tilan $[10,12,5]$ nim-summa on
|
||||
$10 \oplus 12 \oplus 5 = 3$, joten tila on voittotila.
|
||||
\subsubsection{Analysis}
|
||||
\index{nim sum}
|
||||
|
||||
Mutta miten nim-summa liittyy nim-peliin?
|
||||
Tämä selviää tutkimalla, miten nim-summa muuttuu,
|
||||
kun nim-pelin tila muuttuu.
|
||||
It turns out that we can easily find out
|
||||
the type of any nim state by calculating
|
||||
a \key{nim sum} $x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n$,
|
||||
where $\oplus$ is the xor operation.
|
||||
The states with nim sum 0 are losing states,
|
||||
and all other states are winning states.
|
||||
For example, the nim sum for
|
||||
$[10,12,5]$ is $10 \oplus 12 \oplus 5 = 3$,
|
||||
so the state is a winning state.
|
||||
|
||||
But how is the nim sum related to the nim game?
|
||||
We can explain this by studying how the nim
|
||||
sum changes when the nim state changes.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
\textit{Häviötilat:}
|
||||
Pelin päätöstila $[0,0,\ldots,0]$ on häviötila,
|
||||
ja sen nim-summa on 0, kuten kuuluukin.
|
||||
Muissa häviötiloissa mikä tahansa siirto johtaa
|
||||
voittotilaan, koska yksi luvuista $x_k$ muuttuu
|
||||
ja samalla pelin nim-summa muuttuu
|
||||
eli siirron jälkeen nim-summasta tulee jokin muu kuin 0.
|
||||
\textit{Losing states:}
|
||||
The final state $[0,0,\ldots,0]$ is a losing state,
|
||||
and its nim sum is 0, as expected.
|
||||
In other losing states, any move leads to
|
||||
a winning state, because when a single value $x_k$ changes,
|
||||
the nim sum also changes, so the nim sum
|
||||
is different from 0 after the move.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
\textit{Voittotilat:}
|
||||
Voittotilasta pääsee häviötilaan muuttamalla
|
||||
jonkin kasan $k$ tikkujen määräksi $x_k \oplus s$,
|
||||
missä $s$ on pelin nim-summa.
|
||||
Vaatimuksena on, että $x_k \oplus s < x_k$,
|
||||
koska kasasta voi vain poistaa tikkuja.
|
||||
Sopiva kasa $x_k$ on sellainen,
|
||||
jossa on ykkösbitti samassa kohdassa kuin
|
||||
$s$:n vasemmanpuoleisin ykkösbitti.
|
||||
\textit{Winning states:}
|
||||
We can move to a losing state if
|
||||
there is any heap $k$ for which $x_k \oplus s < x_k$.
|
||||
In this case, we can remove sticks from
|
||||
heap $k$ so that it will contain $x_k \oplus s$ sticks,
|
||||
which will lead to a losing state.
|
||||
There is always such a heap, where $x_k$
|
||||
has a one bit in position of the leftmost
|
||||
one bit in $s$.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä tilaa $[10,2,5]$.
|
||||
Tämä tila on voittotila,
|
||||
koska sen nim-summa on 3.
|
||||
Täytyy siis olla olemassa siirto,
|
||||
jolla tilasta pääsee häviötilaan.
|
||||
Selvitetään se seuraavaksi.
|
||||
As an example, let's consider the state $[10,2,5]$.
|
||||
This state is a winning state,
|
||||
because its nim sum is 3.
|
||||
Thus, there has to be a move which
|
||||
leads to a losing state.
|
||||
Next we will find out such a move.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Pelin nim-summa muodostuu seuraavasti:
|
||||
The nim sum of the state is as follows:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{r|r}
|
||||
|
|
@ -285,11 +306,10 @@ Pelin nim-summa muodostuu seuraavasti:
|
|||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Tässä tapauksessa
|
||||
10 tikun kasa on ainoa,
|
||||
jonka bittiesityksessä on ykkösbitti
|
||||
samassa kohdassa kuin
|
||||
nim-summan vasemmanpuoleisin ykkösbitti:
|
||||
In this case, the heap with 10 sticks
|
||||
is the only heap that has a one bit
|
||||
in the position of the leftmost
|
||||
one bit in the nim sum:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{r|r}
|
||||
|
|
@ -301,12 +321,11 @@ nim-summan vasemmanpuoleisin ykkösbitti:
|
|||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Kasan uudeksi sisällöksi täytyy saada
|
||||
$10 \oplus 3 = 9$ tikkua,
|
||||
mikä onnistuu poistamalla 1 tikku
|
||||
10 tikun kasasta.
|
||||
Tämän seurauksena tilaksi tulee $[9,12,5]$,
|
||||
joka on häviötila, kuten pitääkin:
|
||||
The new size of the heap has to be
|
||||
$10 \oplus 3 = 9$,
|
||||
so we will remove just one stick.
|
||||
After this, the state will be $[9,12,5]$,
|
||||
which is a losing state:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{r|r}
|
||||
|
|
@ -318,31 +337,32 @@ joka on häviötila, kuten pitääkin:
|
|||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Misääripeli}
|
||||
\subsubsection{Misère game}
|
||||
|
||||
\index{misxxripeli@misääripeli}
|
||||
\index{misère game}
|
||||
|
||||
\key{Misääripelissä} nim-pelin tavoite on käänteinen,
|
||||
eli pelin häviää se, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||||
Osoittautuu, että misääripeliä pystyy pelaamaan lähes samalla
|
||||
strategialla kuin tavallista nim-peliä.
|
||||
In a \key{misère game}, the goal is opposite,
|
||||
so the player who removes the last stick
|
||||
loses the game.
|
||||
It turns out that a misère nim game can be
|
||||
optimally played almost like the standard nim game.
|
||||
|
||||
Ideana on pelata misääripeliä aluksi kuin tavallista
|
||||
nim-peliä, mutta muuttaa strategiaa pelin
|
||||
lopussa. Käänne tapahtuu silloin, kun seuraavan
|
||||
siirron seurauksena kaikissa pelin kasoissa olisi 0 tai 1 tikkua.
|
||||
The idea is to first play the misère game
|
||||
like a standard game, but change the strategy
|
||||
at the end of the game.
|
||||
The new strategy will be used when after the next move,
|
||||
each heap would contain at most one stick.
|
||||
|
||||
Tavallisessa nim-pelissä tulisi nyt tehdä siirto,
|
||||
jonka jälkeen 1-tikkuisia kasoja on parillinen määrä.
|
||||
Misääripelissä tulee kuitenkin tehdä siirto,
|
||||
jonka jälkeen 1-tikkuisia kasoja on pariton määrä.
|
||||
In the standard game, we should choose a move
|
||||
after which there is an even number of heaps with one stick.
|
||||
However, in the misère game, we choose a move so that
|
||||
there is an odd number of heaps with one stick.
|
||||
|
||||
Tämä strategia toimii, koska käännekohta tulee aina
|
||||
vastaan jossakin vaiheessa peliä,
|
||||
ja kyseinen tila on voittotila,
|
||||
koska siinä on tarkalleen yksi kasa,
|
||||
jossa on yli 1 tikkua,
|
||||
joten nim-summa ei ole 0.
|
||||
This strategy works because the state where the
|
||||
strategy changes always appears in a game,
|
||||
and this state is a winning state, because
|
||||
it contains exactly one heap that has more than one stick,
|
||||
so the nim sum is not 0.
|
||||
|
||||
\section{Sprague–Grundyn lause}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue