Calculation and events
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
parent
fe0be2887f
commit
b0a8f2d92e
293
luku24.tex
293
luku24.tex
|
|
@ -1,211 +1,208 @@
|
|||
\chapter{Probability}
|
||||
|
||||
\index{todennxkzisyys@todennäköisyys}
|
||||
\index{probability}
|
||||
|
||||
\key{Todennäköisyys} on luku väliltä $0 \ldots 1$,
|
||||
joka kuvaa sitä, miten todennäköinen jokin
|
||||
tapahtuma on.
|
||||
Varman tapahtuman todennäköisyys on 1,
|
||||
ja mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on 0.
|
||||
A \key{probability} is a number between $0 \ldots 1$
|
||||
that indicates how probable an event is.
|
||||
If an event is certain to happen,
|
||||
its probability is 1,
|
||||
and if an event is impossible,
|
||||
its probability is 0.
|
||||
|
||||
Tyypillinen esimerkki todennäköisyydestä
|
||||
on nopan heitto, jossa tuloksena
|
||||
on silmäluku väliltä $1,2,\ldots,6$.
|
||||
Yleensä oletetaan, että kunkin silmäluvun
|
||||
todennäköisyys on $1/6$
|
||||
eli kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä.
|
||||
A typical example is throwing a dice,
|
||||
where the result is an integer between
|
||||
$1,2,\ldots,6$.
|
||||
Usually it is assumed that the probability
|
||||
for each result is $1/6$,
|
||||
so all results have the same probability.
|
||||
|
||||
Tapahtuman todennäköisyyttä merkitään $P(\cdots)$,
|
||||
jossa kolmen pisteen tilalla on tapahtuman kuvaus.
|
||||
Esimerkiksi nopan heitossa
|
||||
$P(\textrm{''silmäluku on 4''})=1/6$,
|
||||
$P(\textrm{''silmäluku ei ole 6''})=5/6$
|
||||
ja $P(\textrm{''silmäluku on parillinen''})=1/2$.
|
||||
The probability of an event is denoted $P(\cdots)$
|
||||
where the three dots are
|
||||
a description of the event.
|
||||
For example, when throwing a dice,
|
||||
$P(\textrm{''the result is 4''})=1/6$,
|
||||
$P(\textrm{''the result is not 6''})=5/6$
|
||||
and $P(\textrm{''the result is even''})=1/2$.
|
||||
|
||||
\section{Laskutavat}
|
||||
\section{Calculation}
|
||||
|
||||
Todennäköisyyden laskemiseen on kaksi
|
||||
tavallista laskutapaa:
|
||||
kombinatorinen laskeminen ja prosessin simulointi.
|
||||
Lasketaan esimerkkinä, mikä on todennäköisyys sille,
|
||||
että kun sekoitetusta korttipakasta nostetaan
|
||||
kolme ylintä korttia, jokaisen kortin arvo on sama
|
||||
(esimerkiksi ristikasi, herttakasi ja patakasi).
|
||||
There are two standard ways to calculate
|
||||
probabilities: combinatorial counting
|
||||
and simulating a process.
|
||||
As an example, let's calculate the probability
|
||||
of drawing three cards with the same value
|
||||
from a shuffled deck of cards
|
||||
(for example, eight of spades,
|
||||
eight of clubs and eight of diamonds).
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Laskutapa 1}
|
||||
\subsubsection*{Method 1}
|
||||
|
||||
Kombinatorisessa laskutavassa
|
||||
todennäköisyyden kaava on
|
||||
We can calculate the probability using
|
||||
the formula
|
||||
|
||||
\[\frac{\textrm{halutut tapaukset}}{\textrm{kaikki tapaukset}}.\]
|
||||
\[\frac{\textrm{desired cases}}{\textrm{all cases}}.\]
|
||||
|
||||
Tässä tehtävässä halutut tapaukset ovat niitä,
|
||||
joissa jokaisen kolmen kortin arvo on sama.
|
||||
Tällaisia tapauksia on $13 {4 \choose 3}$,
|
||||
koska on 13 vaihtoehtoa, mikä on kortin arvo,
|
||||
ja ${4 \choose 3}$ tapaa valita 3 maata 4 mahdollisesta.
|
||||
In this problem, the desired cases are those
|
||||
in which the value of each card is the same.
|
||||
There are $13 {4 \choose 3}$ such cases,
|
||||
because there are $13$ possibilities for the
|
||||
value of the cards and ${4 \choose 3}$ ways to
|
||||
choose $3$ suits from $4$ possible suits.
|
||||
|
||||
Kaikkien tapausten määrä on ${52 \choose 3}$,
|
||||
koska 52 kortista valitaan 3 korttia.
|
||||
Niinpä tapahtuman todennäköisyys on
|
||||
The number of all cases is ${52 \choose 3}$,
|
||||
because we choose 3 cards from 52 cards.
|
||||
Thus, the probability of the event is
|
||||
|
||||
\[\frac{13 {4 \choose 3}}{{52 \choose 3}} = \frac{1}{425}.\]
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Laskutapa 2}
|
||||
\subsubsection*{Method 2}
|
||||
|
||||
Toinen tapa laskea todennäköisyys on simuloida prosessia,
|
||||
jossa tapahtuma syntyy.
|
||||
Tässä tapauksessa pakasta nostetaan kolme korttia,
|
||||
joten prosessissa on kolme vaihetta.
|
||||
Vaatimuksena on, että prosessin jokainen vaihe onnistuu.
|
||||
Another way to calculate the probability is
|
||||
to simulate the process that generates the event.
|
||||
In this case, we draw three cards, so the process
|
||||
consists of three steps.
|
||||
We require that each step in the process is successful.
|
||||
|
||||
Ensimmäisen kortin nosto onnistuu varmasti,
|
||||
koska mikä tahansa kortti kelpaa.
|
||||
Tämän jälkeen kahden seuraavan kortin
|
||||
arvon tulee olla sama.
|
||||
Toisen kortin nostossa kortteja on jäljellä 51
|
||||
ja niistä 3 kelpaa, joten todennäköisyys on $3/51$.
|
||||
Vastaavasti kolmannen kortin nostossa
|
||||
todennäköisyys on $2/50$.
|
||||
Drawing the first card certainly succeeds,
|
||||
because any card will do.
|
||||
After this, the value of the cards has been fixed.
|
||||
The second step succeeds with probability $3/51$,
|
||||
because there are 51 cards left and 3 of them
|
||||
have the same value as the first card.
|
||||
Finally, the third step succeeds with probability $2/50$.
|
||||
|
||||
Todennäköisyys koko prosessin onnistumiselle on
|
||||
The probability that the entire process succeeds is
|
||||
|
||||
\[1 \cdot \frac{3}{51} \cdot \frac{2}{50} = \frac{1}{425}.\]
|
||||
|
||||
\section{Tapahtumat}
|
||||
\section{Events}
|
||||
|
||||
Todennäköisyyden tapahtuma
|
||||
voidaan esittää joukkona
|
||||
An event in probability can be represented as a set
|
||||
\[A \subset X,\]
|
||||
missä $X$ sisältää kaikki mahdolliset alkeistapaukset
|
||||
ja $A$ on jokin alkeistapausten osajoukko.
|
||||
Esimerkiksi nopanheitossa alkeistapaukset ovat
|
||||
where $X$ contains all possible outcomes,
|
||||
and $A$ is a subset of outcomes.
|
||||
For example, when drawing a dice, the outcomes are
|
||||
\[X = \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\},\]
|
||||
missä $x_k$ tarkoittaa silmälukua $k$.
|
||||
Nyt esimerkiksi tapahtumaa ''silmäluku on parillinen''
|
||||
vastaa joukko
|
||||
where $x_k$ means the result $k$.
|
||||
Now, for example, the event ''the result is even''
|
||||
corresponds to the set
|
||||
\[A = \{x_2,x_4,x_6\}.\]
|
||||
|
||||
Jokaista alkeistapausta $x$
|
||||
vastaa todennäköisyys $p(x)$.
|
||||
Tämän ansiosta joukkoa $A$ vastaavan tapahtuman
|
||||
todennäköisyys $P(A)$ voidaan
|
||||
laskea alkeistapausten todennäköisyyksien
|
||||
summana kaavalla
|
||||
Each outcome $x$ is assigned a probability $p(x)$.
|
||||
Furthermore, the probability $P(A)$ of an event
|
||||
that corresponds to a set $A$ can be calcuted as a sum
|
||||
of probabilities of outcomes using the formula
|
||||
\[P(A) = \sum_{x \in A} p(x).\]
|
||||
Esimerkiksi nopanheitossa $p(x)=1/6$
|
||||
jokaiselle alkeistapaukselle $x$, joten
|
||||
tapahtuman ''silmäluku on parillinen''
|
||||
todennäköisyys on
|
||||
For example, when throwing a dice,
|
||||
$p(x)=1/6$ for each outcome $x$,
|
||||
so the probability for the event
|
||||
''the result is even'' is
|
||||
\[p(x_2)+p(x_4)+p(x_6)=1/2.\]
|
||||
|
||||
Alkeistapahtumat tulee aina valita niin,
|
||||
että kaikkien alkeistapausten
|
||||
todennäköisyyksien summa on 1 eli $P(X)=1$.
|
||||
The total probability of the outcomes in $X$ must
|
||||
be 1, i.e., $P(X)=1$.
|
||||
|
||||
Koska todennäköisyyden tapahtumat ovat joukkoja,
|
||||
niihin voi soveltaa jouk\-ko-opin operaatioita:
|
||||
Since the events in probability are sets,
|
||||
we can manipulate them using standard set operations:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \key{Komplementti} $\bar A$ tarkoittaa
|
||||
tapahtumaa ''$A$ ei tapahdu''.
|
||||
Esimerkiksi nopanheitossa tapahtuman
|
||||
$A=\{x_2,x_4,x_6\}$ komplementti on
|
||||
\item The \key{complement} $\bar A$ means
|
||||
''$A$ doesn't happen''.
|
||||
For example, when throwing a dice,
|
||||
the complement of $A=\{x_2,x_4,x_6\}$ is
|
||||
$\bar A = \{x_1,x_3,x_5\}$.
|
||||
\item \key{Yhdiste} $A \cup B$ tarkoittaa
|
||||
tapahtumaa ''$A$ tai $B$ tapahtuu''.
|
||||
Esimerkiksi tapahtumien $A=\{x_2,x_5\}$
|
||||
ja $B=\{x_4,x_5,x_6\}$ yhdiste on
|
||||
\item The \key{union} $A \cup B$ means
|
||||
''$A$ or $B$ happen''.
|
||||
For example, the union of
|
||||
$A=\{x_2,x_5\}$
|
||||
and $B=\{x_4,x_5,x_6\}$ is
|
||||
$A \cup B = \{x_2,x_4,x_5,x_6\}$.
|
||||
\item \key{Leikkaus} $A \cap B$ tarkoittaa
|
||||
tapahtumaa ''$A$ ja $B$ tapahtuvat''.
|
||||
Esimerkiksi tapahtumien $A=\{x_2,x_5\}$
|
||||
ja $B=\{x_4,x_5,x_6\}$ leikkaus on
|
||||
\item The \key{intersection} $A \cap B$ means
|
||||
''$A$ and $B$ happen''.
|
||||
For example, the intersection of
|
||||
$A=\{x_2,x_5\}$ and $B=\{x_4,x_5,x_6\}$ is
|
||||
$A \cap B = \{x_5\}$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Komplementti}
|
||||
\subsubsection{Complement}
|
||||
|
||||
Komplementin $\bar A$
|
||||
todennäköisyys lasketaan kaavalla
|
||||
The probability of the complement
|
||||
$\bar A$ is calculated using the formula
|
||||
\[P(\bar A)=1-P(A).\]
|
||||
|
||||
Joskus tehtävän ratkaisu on kätevää
|
||||
laskea komplementin kautta
|
||||
miettimällä tilannetta käänteisesti.
|
||||
Esimerkiksi todennäköisyys saada
|
||||
silmäluku 6 ainakin kerran,
|
||||
kun noppaa heitetään kymmenen kertaa, on
|
||||
Sometimes, we can solve a problem easily
|
||||
using complements by solving an opposite problem.
|
||||
For example, the probability of getting
|
||||
at least one six when throwing a dice ten times is
|
||||
\[1-(5/6)^{10}.\]
|
||||
|
||||
Tässä $5/6$ on todennäköisyys,
|
||||
että yksittäisen heiton silmäluku ei ole 6,
|
||||
ja $(5/6)^{10}$ on todennäköisyys, että yksikään
|
||||
silmäluku ei ole 6 kymmenessä heitossa.
|
||||
Tämän komplementti tuottaa halutun tuloksen.
|
||||
Here $5/6$ is the probability that the result
|
||||
of a single throw is not six, and
|
||||
$(5/6)^{10}$ is the probability that none of
|
||||
the ten throws is a six.
|
||||
The complement of this is the answer for the problem.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Yhdiste}
|
||||
\subsubsection{Union}
|
||||
|
||||
Yhdisteen $A \cup B$ todennäköisyys lasketaan kaavalla
|
||||
The probability of the union $A \cup B$
|
||||
is calculated using the formula
|
||||
\[P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).\]
|
||||
Esimerkiksi nopanheitossa tapahtumien
|
||||
\[A=\textrm{''silmäluku on parillinen''}\]
|
||||
ja
|
||||
\[B=\textrm{''silmäluku on alle 4''}\]
|
||||
yhdisteen
|
||||
\[A \cup B=\textrm{''silmäluku on parillinen tai alle 4''}\]
|
||||
todennäköisyys on
|
||||
For example, when throwing a dice,
|
||||
the union of events
|
||||
\[A=\textrm{''the result is even''}\]
|
||||
and
|
||||
\[B=\textrm{''the result is less than 4''}\]
|
||||
is
|
||||
\[A \cup B=\textrm{''the result is even or less than 4''},\]
|
||||
and its probability is
|
||||
\[P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)=1/2+1/2-1/6=5/6.\]
|
||||
|
||||
Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat \key{erilliset} eli $A \cap B$ on tyhjä,
|
||||
yhdisteen $A \cup B$ todennäköisyys on yksinkertaisesti
|
||||
If the events $A$ and $B$ are \key{disjoint}, i.e.,
|
||||
$A \cap B$ is empty,
|
||||
the probability of the event $A \cup B$ is simply
|
||||
|
||||
\[P(A \cup B)=P(A)+P(B).\]
|
||||
|
||||
\subsubsection{Ehdollinen todennäköisyys}
|
||||
\subsubsection{Conditional probability}
|
||||
|
||||
\index{ehdollinen todennxkzisyys@ehdollinen todennäköisyys}
|
||||
\index{conditional probability}
|
||||
|
||||
\key{Ehdollinen todennäköisyys}
|
||||
The \key{conditional probability}
|
||||
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
|
||||
on tapahtuman $A$ todennäköisyys
|
||||
olettaen, että tapahtuma $B$ tapahtuu.
|
||||
Tällöin todennäköisyyden laskennassa otetaan
|
||||
huomioon vain ne alkeistapaukset,
|
||||
jotka kuuluvat joukkoon $B$.
|
||||
is the probability of an event $A$
|
||||
assuming that an event happens.
|
||||
In this case, when calculating the
|
||||
probability of $A$, we only consider the outcomes
|
||||
that also belong to $B$.
|
||||
|
||||
Äskeisen esimerkin joukkoja käyttäen
|
||||
Using the sets in the previous example,
|
||||
\[P(A | B)= 1/3,\]
|
||||
koska joukon $B$ alkeistapaukset ovat
|
||||
$\{x_1,x_2,x_3\}$ ja niistä yhdessä
|
||||
silmäluku on parillinen.
|
||||
Tämä on todennäköisyys saada parillinen silmäluku,
|
||||
jos tiedetään, että silmäluku on välillä 1--3.
|
||||
Because the outcomes in $B$ are
|
||||
$\{x_1,x_2,x_3\}$, and one of them is even.
|
||||
This is the probability of an even result
|
||||
if we know that the result is between $1 \ldots 3$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Leikkaus}
|
||||
\subsubsection{Intersection}
|
||||
|
||||
\index{riippumattomuus@riippumattomuus}
|
||||
\index{independence}
|
||||
|
||||
Ehdollisen todennäköisyyden avulla
|
||||
leikkauksen $A \cap B$ todennäköisyys
|
||||
voidaan laskea kaavalla
|
||||
Using conditional probability,
|
||||
the probability of the intersection
|
||||
$A \cap B$ can be calculated using the formula
|
||||
\[P(A \cap B)=P(A)P(B|A).\]
|
||||
Tapahtumat $A$ ja $B$ ovat \key{riippumattomat}, jos
|
||||
\[P(A|B)=P(A) \hspace{10px}\textrm{ja}\hspace{10px} P(B|A)=P(B),\]
|
||||
jolloin $B$:n tapahtuminen ei vaikuta $A$:n
|
||||
todennäköisyyteen ja päinvastoin.
|
||||
Tässä tapauksessa leikkauksen
|
||||
todennäköisyys on
|
||||
Events $A$ and $B$ are \key{independent} if
|
||||
\[P(A|B)=P(A) \hspace{10px}\textrm{and}\hspace{10px} P(B|A)=P(B),\]
|
||||
which means that the fact that $B$ happens doesn't
|
||||
change the probability of $A$, and vice versa.
|
||||
In this case, the probability of the intersection is
|
||||
\[P(A \cap B)=P(A)P(B).\]
|
||||
Esimerkiksi pelikortin nostamisessa
|
||||
tapahtumat
|
||||
\[A = \textrm{''kortin maa on risti''}\]
|
||||
ja
|
||||
\[B = \textrm{''kortin arvo on 4''}\]
|
||||
ovat riippumattomat.
|
||||
Niinpä tapahtuman
|
||||
\[A \cap B = \textrm{''kortti on ristinelonen''}\]
|
||||
todennäköisyys on
|
||||
For example, when drawing a card from a deck, the events
|
||||
\[A = \textrm{''the suit is clubs''}\]
|
||||
and
|
||||
\[B = \textrm{''the value is four''}\]
|
||||
are independent. Hence the event
|
||||
\[A \cap B = \textrm{''the card is the four of clubs''}\]
|
||||
happens with probability
|
||||
\[P(A \cap B)=P(A)P(B)=1/4 \cdot 1/13 = 1/52.\]
|
||||
|
||||
\section{Satunnaismuuttuja}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue