First commit
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
commit
c210d9497b
32 changed files with 24432 additions and 0 deletions
839
luku08.tex
Normal file
839
luku08.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,839 @@
|
|||
\chapter{Amortized analysis}
|
||||
|
||||
\index{tasoitettu analyysi@tasoitettu analyysi}
|
||||
|
||||
Monen algoritmin aikavaativuuden pystyy laskemaan
|
||||
suoraan katsomalla algoritmin rakennetta:
|
||||
mitä silmukoita algoritmissa on ja miten monta
|
||||
kertaa niitä suoritetaan.
|
||||
Joskus kuitenkaan näin suoraviivainen analyysi ei
|
||||
riitä antamaan todellista kuvaa algoritmin tehokkuudesta.
|
||||
|
||||
\key{Tasoitettu analyysi} soveltuu sellaisten
|
||||
algoritmien analyysiin, joiden osana on jokin operaatio,
|
||||
jonka ajankäyttö vaihtelee.
|
||||
Ideana on tarkastella yksittäisen operaation
|
||||
sijasta kaikkia operaatioita algoritmin
|
||||
aikana ja laskea niiden ajankäytölle yhteinen raja.
|
||||
|
||||
\section{Kahden osoittimen tekniikka}
|
||||
|
||||
\index{kahden osoittimen tekniikka}
|
||||
|
||||
\key{Kahden osoittimen tekniikka} on taulukon käsittelyssä
|
||||
käytettävä menetelmä, jossa taulukkoa käydään läpi
|
||||
kahden osoittimen avulla.
|
||||
Molemmat osoittimet liikkuvat algoritmin aikana,
|
||||
mutta rajoituksena on, että ne voivat liikkua vain
|
||||
yhteen suuntaan, mikä takaa, että algoritmi toimii tehokkaasti.
|
||||
|
||||
Tutustumme seuraavaksi kahden osoittimen tekniikkaan
|
||||
kahden esimerkkitehtävän kautta.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Alitaulukon summa}
|
||||
|
||||
Annettuna on taulukko, jossa on $n$ positiivista kokonaislukua.
|
||||
Tehtävänä on selvittää, onko taulukossa alitaulukkoa,
|
||||
jossa lukujen summa on $x$.
|
||||
Esimerkiksi taulukossa
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
on alitaulukko, jossa lukujen summa on 8:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (5,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Osoittautuu, että tämän tehtävän voi ratkaista
|
||||
ajassa $O(n)$ kahden osoittimen tekniikalla.
|
||||
Ideana on käydä taulukkoa läpi kahden osoittimen
|
||||
avulla, jotka rajaavat välin taulukosta.
|
||||
Joka vuorolla vasen osoitin liikkuu
|
||||
yhden askeleen eteenpäin ja oikea osoitin
|
||||
liikkuu niin kauan eteenpäin kuin summa on enintään $x$.
|
||||
Jos välin summaksi tulee tarkalleen $x$, ratkaisu on löytynyt.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä algoritmin toimintaa
|
||||
seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa summa $x=8$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Aluksi osoittimet rajaavat taulukosta välin,
|
||||
jonka summa on $1+3+2=6$.
|
||||
Väli ei voi olla tätä suurempi,
|
||||
koska seuraava luku 5 veisi summan yli $x$:n.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (3,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (0.5,-0.7) -- (0.5,-0.1);
|
||||
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Seuraavaksi vasen osoitin siirtyy askeleen eteenpäin.
|
||||
Oikea osoitin säilyy paikallaan, koska muuten
|
||||
summa kasvaisi liian suureksi.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (3,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (1.5,-0.7) -- (1.5,-0.1);
|
||||
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Vasen osoitin siirtyy taas askeleen eteenpäin
|
||||
ja tällä kertaa oikea osoitin siirtyy kolme askelta
|
||||
eteenpäin. Muodostuu summa $2+5+1=8$ eli taulukosta
|
||||
on löytynyt väli, jonka lukujen summa on $x$.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (5,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$3$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||||
\draw[thick,->] (4.5,-0.7) -- (4.5,-0.1);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
% Algoritmin toteutus näyttää seuraavalta:
|
||||
%
|
||||
% \begin{lstlisting}
|
||||
% int s = 0, b = 0;
|
||||
% for (int a = 1; a <= n; a++) {
|
||||
% while (b<n && s+t[b+1] <= x) {
|
||||
% b++;
|
||||
% s += t[b];
|
||||
% }
|
||||
% if (s == x) {
|
||||
% // ratkaisu löytyi
|
||||
% }
|
||||
% s -= t[a];
|
||||
% }
|
||||
% \end{lstlisting}
|
||||
%
|
||||
% Muuttujat $a$ ja $b$ sisältävät vasemman ja oikean
|
||||
% osoittimen kohdan.
|
||||
% Muuttuja $s$ taas laskee lukujen summan välillä.
|
||||
% Joka askeleella $a$ liikkuu askeleen eteenpäin
|
||||
% ja $b$ liikkuu niin kauan kuin summa on enintään $x$.
|
||||
|
||||
Algoritmin aikavaativuus riippuu siitä,
|
||||
kauanko oikean osoittimen liikkuminen vie aikaa.
|
||||
Tämä vaihtelee, koska oikea osoitin voi liikkua
|
||||
minkä tahansa matkan eteenpäin taulukossa.
|
||||
Kuitenkin oikea osoitin liikkuu \textit{yhteensä}
|
||||
$O(n)$ askelta algoritmin aikana, koska se voi
|
||||
liikkua vain eteenpäin.
|
||||
|
||||
Koska sekä vasen että oikea osoitin liikkuvat
|
||||
$O(n)$ askelta algoritmin aikana,
|
||||
algoritmin aikavaativuus on $O(n)$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Kahden luvun summa}
|
||||
|
||||
\index{2SUM-ongelma}
|
||||
|
||||
Annettuna on taulukko, jossa on $n$ kokonaislukua,
|
||||
sekä kokonaisluku $x$.
|
||||
Tehtävänä on etsiä taulukosta kaksi lukua,
|
||||
joiden summa on $x$, tai todeta,
|
||||
että tämä ei ole mahdollista.
|
||||
Tämä ongelma tunnetaan tunnetaan nimellä
|
||||
\key{2SUM} ja se ratkeaa tehokkaasti
|
||||
kahden osoittimen tekniikalla.
|
||||
|
||||
Taulukon luvut järjestetään ensin
|
||||
pienimmästä suurimpaan, minkä jälkeen
|
||||
taulukkoa aletaan käydä läpi kahdella osoittimella,
|
||||
jotka lähtevät liikkelle taulukon molemmista päistä.
|
||||
Vasen osoitin aloittaa taulukon alusta ja
|
||||
liikkuu joka vaiheessa askeleen eteenpäin.
|
||||
Oikea osoitin taas aloittaa taulukon lopusta
|
||||
ja peruuttaa vuorollaan taaksepäin, kunnes osoitinten
|
||||
määrittämän välin lukujen summa on enintään $x$.
|
||||
Jos summa on tarkalleen $x$, ratkaisu on löytynyt.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan algoritmin toimintaa
|
||||
seuraavassa taulukossa, kun tavoitteena on muodostaa
|
||||
summa $x=12$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Seuraavassa on algoritmin aloitustilanne.
|
||||
Lukujen summa on $1+10=11$, joka on pienempi
|
||||
kuin $x$:n arvo.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (1,1);
|
||||
\fill[color=lightgray] (7,0) rectangle (8,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (0.5,-0.7) -- (0.5,-0.1);
|
||||
\draw[thick,->] (7.5,-0.7) -- (7.5,-0.1);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Seuraavaksi vasen osoitin liikkuu askeleen eteenpäin.
|
||||
Oikea osoitin peruuttaa kolme askelta, minkä jälkeen
|
||||
summana on $4+7=11$.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (2,1);
|
||||
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (5,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (1.5,-0.7) -- (1.5,-0.1);
|
||||
\draw[thick,->] (4.5,-0.7) -- (4.5,-0.1);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Sitten vasen osoitin siirtyy jälleen askeleen eteenpäin.
|
||||
Oikea osoitin pysyy paikallaan ja ratkaisu $5+7=12$ on löytynyt.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (3,1);
|
||||
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (5,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$7$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$9$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$10$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (2.5,-0.7) -- (2.5,-0.1);
|
||||
\draw[thick,->] (4.5,-0.7) -- (4.5,-0.1);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Algoritmin alussa taulukon järjestäminen vie
|
||||
aikaa $O(n \log n)$.
|
||||
Tämän jälkeen vasen osoitin liikkuu $O(n)$ askelta
|
||||
eteenpäin ja oikea osoitin liikkuu $O(n)$ askelta
|
||||
taaksepäin, mihin kuluu aikaa $O(n)$.
|
||||
Algoritmin kokonaisaikavaativuus on siis $O(n \log n)$.
|
||||
|
||||
Huomaa, että tehtävän voi ratkaista myös
|
||||
toisella tavalla ajassa
|
||||
$O(n \log n)$ binäärihaun avulla.
|
||||
Tässä ratkaisussa jokaiselle taulukon luvulle
|
||||
etsitään binäärihaulla toista lukua niin,
|
||||
että lukujen summa olisi yhteensä $x$.
|
||||
Binäärihaku suoritetaan $n$ kertaa ja
|
||||
jokainen binäärihaku vie aikaa $O(\log n)$.
|
||||
|
||||
\index{3SUM-ongelma}
|
||||
Hieman vaikeampi ongelma on \key{3SUM},
|
||||
jossa taulukosta tuleekin etsiä kolme lukua,
|
||||
joiden summa on $x$.
|
||||
Tämä ongelma on mahdollista ratkaista ajassa $O(n^2)$.
|
||||
Keksitkö, miten se tapahtuu?
|
||||
|
||||
\section{Lähin pienempi edeltäjä}
|
||||
|
||||
\index{lzhin pienempi edeltxjx@lähin pienempi edeltäjä}
|
||||
|
||||
Tasoitetun analyysin avulla arvioidaan usein
|
||||
tietorakenteeseen kohdistuvien operaatioiden määrää.
|
||||
Algoritmin operaatiot voivat jakautua epätasaisesti
|
||||
niin, että useimmat operaatiot tehdään tietyssä
|
||||
algoritmin vaiheessa, mutta operaatioiden
|
||||
yhteismäärä on kuitenkin rajoitettu.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä ongelmaa,
|
||||
jossa tehtävänä on etsiä kullekin taulukon
|
||||
alkiolle
|
||||
\key{lähin pienempi edeltäjä} eli
|
||||
lähinnä oleva pienempi alkio taulukon alkuosassa.
|
||||
On mahdollista, ettei tällaista alkiota ole olemassa,
|
||||
jolloin algoritmin tulee huomata asia.
|
||||
Osoittautuu, että tehtävä on mahdollista ratkaista
|
||||
tehokkaasti ajassa $O(n)$ sopivan tietorakenteen avulla.
|
||||
|
||||
Tehokas ratkaisu tehtävään on käydä
|
||||
taulukko läpi alusta loppuun ja pitää samalla yllä ketjua,
|
||||
jonka ensimmäinen luku on käsiteltävä taulukon luku
|
||||
ja jokainen seuraava luku on luvun lähin
|
||||
pienempi edeltäjä.
|
||||
Jos ketjussa on vain yksi luku,
|
||||
käsiteltävällä luvulla ei ole pienempää edeltäjää.
|
||||
Joka askeleella ketjun alusta poistetaan lukuja
|
||||
niin kauan, kunnes ketjun ensimmäinen luku on
|
||||
pienempi kuin käsiteltävä taulukon luku tai ketju on tyhjä.
|
||||
Tämän jälkeen käsiteltävä luku lisätään ketjun alkuun.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä algoritmin toimintaa
|
||||
seuraavassa taulukossa:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Aluksi luvut 1, 3 ja 4 liittyvät ketjuun, koska jokainen luku on
|
||||
edellistä suurempi. Siis luvun 4 lähin pienempi edeltäjä on luku 3,
|
||||
jonka lähin pienempi edeltäjä on puolestaan luku 1. Tilanne näyttää tältä:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (3,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (2.5,-0.25) .. controls (2.25,-1.00) and (1.75,-1.00) .. (1.6,-0.25);
|
||||
\draw[thick,->] (1.4,-0.25) .. controls (1.25,-1.00) and (0.75,-1.00) .. (0.5,-0.25);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Taulukon seuraava luku 2 on pienempi kuin ketjun kaksi ensimmäistä lukua 4 ja 3.
|
||||
Niinpä luvut 4 ja 3 poistetaan ketjusta, minkä jälkeen luku 2
|
||||
lisätään ketjun alkuun. Sen lähin pienempi edeltäjä on luku 1:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (3,0) rectangle (4,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (3.5,-0.25) .. controls (3.00,-1.00) and (1.00,-1.00) .. (0.5,-0.25);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Seuraava luku 5 on suurempi kuin luku 2,
|
||||
joten se lisätään suoraan ketjun alkuun ja
|
||||
sen lähin pienempi edeltäjä on luku 2:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (5,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (3.4,-0.25) .. controls (3.00,-1.00) and (1.00,-1.00) .. (0.5,-0.25);
|
||||
\draw[thick,->] (4.5,-0.25) .. controls (4.25,-1.00) and (3.75,-1.00) .. (3.6,-0.25);
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Algoritmi jatkaa samalla tavalla taulukon loppuun
|
||||
ja selvittää jokaisen luvun lähimmän
|
||||
pienemmän edeltäjän.
|
||||
Mutta kuinka tehokas algoritmi on?
|
||||
|
||||
Algoritmin tehokkuus riippuu siitä,
|
||||
kauanko ketjun käsittelyyn kuluu aikaa yhteensä.
|
||||
Jos uusi luku on suurempi kuin ketjun ensimmäinen
|
||||
luku, se vain lisätään ketjun alkuun,
|
||||
mikä on tehokasta.
|
||||
Joskus taas ketjussa voi olla useita
|
||||
suurempia lukuja, joiden poistaminen vie aikaa.
|
||||
Oleellista on kuitenkin, että jokainen
|
||||
taulukossa oleva luku liittyy
|
||||
tarkalleen kerran ketjuun ja poistuu
|
||||
korkeintaan kerran ketjusta.
|
||||
Niinpä jokainen luku aiheuttaa $O(1)$
|
||||
ketjuun liittyvää operaatiota
|
||||
ja algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n)$.
|
||||
|
||||
\section{Liukuvan ikkunan minimi}
|
||||
|
||||
\index{liukuva ikkuna}
|
||||
\index{liukuvan ikkunan minimi@liukuvan ikkunan minimi}
|
||||
|
||||
\key{Liukuva ikkuna} on taulukon halki kulkeva
|
||||
aktiivinen alitaulukko, jonka pituus on vakio.
|
||||
Jokaisessa liukuvan ikkunan sijainnissa
|
||||
halutaan tyypillisesti laskea jotain tietoa
|
||||
ikkunan alueelle osuvista alkioista.
|
||||
Kiinnostava tehtävä on pitää yllä
|
||||
\key{liukuvan ikkunan minimiä}.
|
||||
Tämä tarkoittaa, että jokaisessa liukuvan ikkunan
|
||||
sijainnissa tulee ilmoittaa pienin alkio
|
||||
ikkunan alueella.
|
||||
|
||||
Liukuvan ikkunan minimit voi laskea
|
||||
lähes samalla tavalla kuin lähimmät
|
||||
pienimmät edeltäjät.
|
||||
Ideana on pitää yllä ketjua, jonka alussa
|
||||
on ikkunan viimeinen luku ja jossa jokainen
|
||||
luku on edellistä pienempi. Joka vaiheessa
|
||||
ketjun viimeinen luku on ikkunan pienin luku.
|
||||
Kun liukuva ikkuna liikkuu eteenpäin ja välille
|
||||
tulee uusi luku, ketjusta poistetaan kaikki luvut,
|
||||
jotka ovat uutta lukua suurempia.
|
||||
Tämän jälkeen uusi luku lisätään ketjun alkuun.
|
||||
Lisäksi jos ketjun viimeinen luku ei enää kuulu
|
||||
välille, se poistetaan ketjusta.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä, kuinka algoritmi selvittää
|
||||
minimit seuraavassa taulukossa,
|
||||
kun ikkunan koko $k=4$.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Liukuva ikkuna aloittaa matkansa taulukon vasemmasta reunasta.
|
||||
Ensimmäisessä ikkunan sijainnissa pienin luku on 1:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (0,0) rectangle (4,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (3.5,-0.25) .. controls (3.25,-1.00) and (2.75,-1.00) .. (2.6,-0.25);
|
||||
\draw[thick,->] (2.4,-0.25) .. controls (2.25,-1.00) and (1.75,-1.00) .. (1.5,-0.25);
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Kun ikkuna siirtyy eteenpäin, mukaan tulee luku 3,
|
||||
joka on pienempi kuin luvut 5 ja 4 ketjun alussa.
|
||||
Niinpä luvut 5 ja 4 poistuvat ketjusta ja luku 3
|
||||
siirtyy sen alkuun. Pienin luku on edelleen 1.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (5,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (4.5,-0.25) .. controls (4.25,-1.00) and (1.75,-1.00) .. (1.5,-0.25);
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Ikkuna siirtyy taas eteenpäin, minkä seurauksena pienin luku 1
|
||||
putoaa pois ikkunasta. Niinpä se poistetaan ketjun lopusta
|
||||
ja uusi pienin luku on 3. Lisäksi uusi ikkunaan tuleva luku 4
|
||||
lisätään ketjun alkuun.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (6,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (5.5,-0.25) .. controls (5.25,-1.00) and (4.75,-1.00) .. (4.5,-0.25);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Seuraavaksi ikkunaan tuleva luku 1 on pienempi
|
||||
kuin kaikki ketjussa olevat luvut.
|
||||
Tämän seurauksena koko ketju tyhjentyy ja
|
||||
siihen jää vain luku 1:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (3,0) rectangle (7,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
|
||||
\fill[color=black] (6.5,-0.25) circle (0.1);
|
||||
|
||||
%\draw[thick,->] (5.5,-0.25) .. controls (5.25,-1.00) and (4.75,-1.00) .. (4.5,-0.25);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Lopuksi ikkuna saapuu viimeiseen sijaintiinsa.
|
||||
Luku 2 lisätään ketjun alkuun,
|
||||
mutta ikkunan pienin luku on edelleen 1.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\fill[color=lightgray] (4,0) rectangle (8,1);
|
||||
\draw (0,0) grid (8,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$2$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$5$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$3$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$4$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$1$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$2$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$8$};
|
||||
|
||||
\draw[thick,->] (7.5,-0.25) .. controls (7.25,-1.00) and (6.75,-1.00) .. (6.5,-0.25);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tässäkin algoritmissa jokainen taulukon luku lisätään
|
||||
ketjuun tarkalleen kerran ja poistetaan ketjusta korkeintaan kerran,
|
||||
joko ketjun alusta tai ketjun lopusta.
|
||||
Niinpä algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue