First commit
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
commit
c210d9497b
32 changed files with 24432 additions and 0 deletions
688
luku11.tex
Normal file
688
luku11.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,688 @@
|
|||
\chapter{Basics of graphs}
|
||||
|
||||
Monen ohjelmointitehtävän voi ratkaista tulkitsemalla
|
||||
tehtävän verkko-on\-gel\-ma\-na ja käyttämällä
|
||||
sopivaa verkkoalgoritmia.
|
||||
Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto,
|
||||
jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa.
|
||||
Joskus taas verkko kätkeytyy syvemmälle ongelmaan
|
||||
ja sitä voi olla vaikeaa huomata.
|
||||
|
||||
Tässä kirjan osassa tutustumme verkkojen käsittelyyn
|
||||
liittyviin tekniikoihin ja kisakoodauksessa
|
||||
keskeisiin verkkoalgoritmeihin.
|
||||
Aloitamme aiheeseen perehtymisen
|
||||
käymällä läpi verkkoihin liittyviä käsitteitä
|
||||
sekä erilaisia tapoja pitää verkkoa muistissa algoritmeissa.
|
||||
|
||||
\section{Käsitteitä}
|
||||
|
||||
\index{verkko@verkko}
|
||||
\index{solmu@solmu}
|
||||
\index{kaari@kaari}
|
||||
|
||||
\key{Verkko} muodostuu \key{solmuista}
|
||||
ja niiden välisistä \key{kaarista}.
|
||||
Merkitsemme tässä kirjassa
|
||||
verkon solmujen määrää
|
||||
muuttujalla $n$ ja kaarten määrää muuttujalla $m$.
|
||||
Lisäksi numeroimme verkon solmut kokonaisluvuin
|
||||
$1,2,\ldots,n$.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa verkossa on 5 solmua ja 7 kaarta:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (6,2) {$5$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (4) -- (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\index{polku@polku}
|
||||
|
||||
\key{Polku} on solmusta $a$ solmuun $b$
|
||||
johtava reitti, joka kulkee verkon kaaria pitkin.
|
||||
Polun \key{pituus} on kaarten määrä polulla.
|
||||
Esimerkiksi yllä olevassa verkossa
|
||||
polkuja solmusta 1 solmuun 5 ovat:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $1 \rightarrow 2 \rightarrow 5$ (pituus 2)
|
||||
\item $1 \rightarrow 4 \rightarrow 5$ (pituus 2)
|
||||
\item $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$ (pituus 3)
|
||||
\item $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5$ (pituus 3)
|
||||
\item $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$ (pituus 3)
|
||||
\item $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$ (pituus 4)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Yhtenäisyys}
|
||||
|
||||
\index{yhtenxinen verkko@yhtenäinen verkko}
|
||||
|
||||
Verkko on \key{yhtenäinen}, jos siinä on polku
|
||||
mistä tahansa solmusta mihin tahansa solmuun.
|
||||
Esimerkiksi seuraava verkko on yhtenäinen:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Seuraava verkko taas ei ole yhtenäinen,
|
||||
koska solmusta 4 ei pääse muihin verkon solmuihin.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (3);
|
||||
%\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
%\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Verkon yhtenäiset osat muodostavat sen
|
||||
\key{komponentit}. \index{komponentti@komponentti}
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa verkossa on
|
||||
kolme komponenttia:
|
||||
$\{1,\,2,\,3\}$,
|
||||
$\{4,\,5,\,6,\,7\}$ ja
|
||||
$\{8\}$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (6,1) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (9,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (6,3) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (9,3) {$5$};
|
||||
|
||||
\node[draw, circle] (8) at (11,2) {$8$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,-] (6) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,-] (6) -- (4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\index{puu@puu}
|
||||
|
||||
\key{Puu} on yhtenäinen verkko,
|
||||
jossa on $n$ solmua ja $n-1$ kaarta.
|
||||
Puussa minkä tahansa kahden solmun välillä
|
||||
on yksikäsitteinen polku.
|
||||
Esimerkiksi seuraava verkko on puu:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (6,2) {$5$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
%\path[draw,thick,-] (1) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
%\path[draw,thick,-] (4) -- (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Kaarten suunnat}
|
||||
|
||||
\index{suunnattu verkko@suunnattu verkko}
|
||||
|
||||
Verkko on \key{suunnattu},
|
||||
jos verkon kaaria pystyy
|
||||
kulkemaan vain niiden merkittyyn suuntaan.
|
||||
Esimerkiki seuraava verkko on suunnattu:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (6,2) {$5$};
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Yllä olevassa verkossa on polku solmusta
|
||||
3 solmuun 5, joka kulkee kaaria
|
||||
$3 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 5$.
|
||||
Sen sijaan verkossa ei ole polkua
|
||||
solmusta 5 solmuun 3.
|
||||
|
||||
|
||||
\index{sykli@sykli}
|
||||
\index{syklitzn verkko@syklitön verkko}
|
||||
|
||||
\key{Sykli} on polku, jonka ensimmäinen
|
||||
ja viimeinen solmu on sama.
|
||||
Esimerkiksi yllä olevassa verkossa on sykli
|
||||
$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$.
|
||||
Jos verkossa ei ole yhtään sykliä, se on \key{syklitön}.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Kaarten painot}
|
||||
|
||||
\index{painotettu verkko@painotettu verkko}
|
||||
|
||||
\key{Painotetussa} verkossa
|
||||
jokaiseen kaareen liittyy \key{paino}.
|
||||
Usein painot kuvaavat kaarien pituuksia.
|
||||
Esimerkiksi seuraava verkko on painotettu:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (6,2) {$5$};
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- node[font=\small,label=above:5] {} (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- node[font=\small,label=left:1] {} (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- node[font=\small,label=below:7] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- node[font=\small,label=left:6] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- node[font=\small,label=above:7] {} (5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (4) -- node[font=\small,label=below:3] {} (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Nyt polun pituus on
|
||||
polulla olevien kaarten painojen summa.
|
||||
Esimerkiksi yllä olevassa verkossa
|
||||
polun $1 \rightarrow 2 \rightarrow 5$
|
||||
pituus on $5+7=12$ ja polun
|
||||
$1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5$ pituus on $1+7+3=11$.
|
||||
Jälkimmäinen on lyhin polku solmusta 1 solmuun 5.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Naapurit ja asteet}
|
||||
|
||||
\index{naapuri@naapuri}
|
||||
\index{aste@aste}
|
||||
|
||||
Kaksi solmua ovat \key{naapureita},
|
||||
jos ne ovat verkossa
|
||||
\key{vierekkäin} eli niiden välillä on kaari.
|
||||
Solmun \key{aste} on
|
||||
sen naapurien määrä.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa verkossa
|
||||
solmun 2 naapurit ovat 1, 4 ja 5,
|
||||
joten sen aste on 3.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (6,2) {$5$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (5);
|
||||
%\path[draw,thick,-] (4) -- (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Verkon solmujen asteiden summa on aina $2m$,
|
||||
missä $m$ on kaarten määrä.
|
||||
Tämä johtuu siitä, että jokainen kaari lisää
|
||||
kahden solmun astetta yhdellä.
|
||||
Niinpä solmujen asteiden summa on aina parillinen.
|
||||
|
||||
\index{szznnollinen verkko@säännöllinen verkko}
|
||||
\index{tzydellinen verkko@täydellinen verkko}
|
||||
|
||||
Verkko on \key{säännöllinen},
|
||||
jos jokaisen solmun aste on vakio $d$.
|
||||
Verkko on \key{täydellinen},
|
||||
jos jokaisen solmun aste on $n-1$ eli
|
||||
verkossa on kaikki mahdolliset kaaret
|
||||
solmujen välillä.
|
||||
|
||||
\index{lzhtzaste@lähtöaste}
|
||||
\index{tuloaste@tuloaste}
|
||||
|
||||
Suunnatussa verkossa \key{lähtöaste}
|
||||
on solmusta lähtevien kaarten määrä ja
|
||||
\key{tuloaste} on solmuun tulevien
|
||||
kaarten määrä.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa verkossa solmun 2
|
||||
lähtöaste on 1 ja tuloaste on 2.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (6,2) {$5$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-,>=latex] (2) -- (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Väritykset}
|
||||
|
||||
\index{vxritys@väritys}
|
||||
\index{kaksijakoinen verkko@kaksijakoinen verkko}
|
||||
|
||||
Verkon \key{värityksessä} jokaiselle solmulle valitaan
|
||||
tietty väri niin, että millään kahdella
|
||||
vierekkäisellä solmulla ei ole samaa väriä.
|
||||
|
||||
Verkko on \key{kaksijakoinen},
|
||||
jos se on mahdollista värittää kahdella värillä.
|
||||
Osoittautuu, että verkko on kaksijakoinen tarkalleen silloin,
|
||||
kun siinä ei ole sykliä, johon kuuluu
|
||||
pariton määrä solmuja.
|
||||
Esimerkiksi verkko
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-2,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-2,3) {$1$};
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
|
||||
\path[draw,thick,-] (5) -- (6);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
on kaksijakoinen, koska sen voi värittää seuraavasti:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle, fill=blue!40] (1) at (1,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle, fill=red!40] (2) at (4,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle, fill=red!40] (3) at (1,1) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle, fill=blue!40] (4) at (4,1) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle, fill=red!40] (5) at (-2,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle, fill=blue!40] (6) at (-2,3) {$1$};
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
|
||||
\path[draw,thick,-] (5) -- (6);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Yksinkertaisuus}
|
||||
|
||||
\index{yksinkertainen verkko@yksinkertainen verkko}
|
||||
|
||||
Verkko on \key{yksinkertainen},
|
||||
jos mistään solmusta ei ole kaarta itseensä
|
||||
eikä minkään kahden solmun välillä ole
|
||||
monta kaarta samaan suuntaan.
|
||||
Usein oletuksena on, että verkko on yksinkertainen.
|
||||
Esimerkiksi verkko
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (4,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (4,1) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-2,1) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-2,3) {$1$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) edge [bend right=20] (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) edge [bend right=20] (1);
|
||||
%\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (3) -- (6);
|
||||
\path[draw,thick,-] (5) -- (6);
|
||||
|
||||
\tikzset{every loop/.style={in=135,out=190}}
|
||||
\path[draw,thick,-] (5) edge [loop left] (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\emph{ei} ole yksinkertainen, koska solmusta 4 on kaari itseensä
|
||||
ja solmujen 2 ja 3 välillä on kaksi kaarta.
|
||||
|
||||
\section{Verkko muistissa}
|
||||
|
||||
On monia tapoja pitää verkkoa muistissa algoritmissa.
|
||||
Sopiva tietorakenne riippuu siitä,
|
||||
kuinka suuri verkko on ja
|
||||
millä tavoin algoritmi käsittelee sitä.
|
||||
Seuraavaksi käymme läpi kolme tavallista vaihtoehtoa.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Vieruslistaesitys}
|
||||
|
||||
\index{vieruslista@vieruslista}
|
||||
|
||||
Tavallisin tapa pitää verkkoa muistissa on
|
||||
luoda jokaisesta solmusta \key{vieruslista},
|
||||
joka sisältää kaikki solmut,
|
||||
joihin solmusta pystyy siirtymään kaarta pitkin.
|
||||
Vieruslistaesitys on tavallisin verkon esitysmuoto, ja
|
||||
useimmat algoritmit pystyy toteuttamaan
|
||||
tehokkaasti sitä käyttäen.
|
||||
|
||||
Kätevä tapa tallentaa verkon vieruslistaesitys on luoda taulukko,
|
||||
jossa jokainen alkio on vektori:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
vector<int> v[N];
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Taulukossa solmun $s$ vieruslista on kohdassa $\texttt{v}[s]$.
|
||||
Vakio $N$ on valittu niin suureksi,
|
||||
että kaikki vieruslistat mahtuvat taulukkoon.
|
||||
Esimerkiksi verkon
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
voi tallentaa seuraavasti:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
v[1].push_back(2);
|
||||
v[2].push_back(3);
|
||||
v[2].push_back(4);
|
||||
v[3].push_back(4);
|
||||
v[4].push_back(1);
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Jos verkko on suuntaamaton, sen voi tallentaa samalla tavalla,
|
||||
mutta silloin jokainen kaari lisätään kumpaankin suuntaan.
|
||||
|
||||
Painotetun verkon tapauksessa rakennetta voi laajentaa näin:
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
vector<pair<int,int>> v[N];
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Nyt vieruslistalla on pareja, joiden ensimmäinen kenttä on
|
||||
kaaren kohdesolmu ja toinen kenttä on kaaren paino.
|
||||
Esimerkiksi verkon
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- node[font=\small,label=above:5] {} (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=above:7] {} (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=left:6] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- node[font=\small,label=right:5] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- node[font=\small,label=left:2] {} (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
voi tallentaa seuraavasti:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
v[1].push_back({2,5});
|
||||
v[2].push_back({3,7});
|
||||
v[2].push_back({4,6});
|
||||
v[3].push_back({4,5});
|
||||
v[4].push_back({1,2});
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Vieruslistaesityksen etuna on, että sen avulla on nopeaa selvittää,
|
||||
mihin solmuihin tietystä solmusta pääsee kulkemaan.
|
||||
Esimerkiksi seuraava silmukka käy läpi kaikki solmut,
|
||||
joihin pääsee solmusta $s$:
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
for (auto u : v[s]) {
|
||||
// käsittele solmu u
|
||||
}
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Vierusmatriisiesitys}
|
||||
|
||||
\index{vierusmatriisi@vierusmatriisi}
|
||||
|
||||
\key{Vierusmatriisi} on kaksiulotteinen taulukko,
|
||||
joka kertoo jokaisesta mahdollisesta kaaresta,
|
||||
onko se mukana verkossa.
|
||||
Vierusmatriisista on nopeaa tarkistaa,
|
||||
onko kahden solmun välillä kaari.
|
||||
Toisaalta matriisi vie paljon tilaa,
|
||||
jos verkko on suuri.
|
||||
Vierusmatriisi tallennetaan taulukkona
|
||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
int v[N][N];
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
jossa arvo $\texttt{v}[a][b]$ ilmaisee,
|
||||
onko kaari solmusta $a$ solmuun $b$ mukana verkossa.
|
||||
Jos kaari on mukana verkossa,
|
||||
niin $\texttt{v}[a][b]=1$,
|
||||
ja muussa tapauksessa $\texttt{v}[a][b]=0$.
|
||||
Nyt esimerkiksi verkkoa
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
vastaa seuraava vierusmatriisi:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (4,4);
|
||||
\node at (0.5,0.5) {1};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (0.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,1.5) {1};
|
||||
\node at (0.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,2.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||||
\node at (0.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (2.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (-0.5,0.5) {4};
|
||||
\node at (-0.5,1.5) {3};
|
||||
\node at (-0.5,2.5) {2};
|
||||
\node at (-0.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (0.5,4.5) {1};
|
||||
\node at (1.5,4.5) {2};
|
||||
\node at (2.5,4.5) {3};
|
||||
\node at (3.5,4.5) {4};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Jos verkko on painotettu, vierusmatriisiesitystä voi
|
||||
laajentaa luontevasti niin, että matriisissa kerrotaan
|
||||
kaaren paino, jos kaari on olemassa.
|
||||
Tätä esitystapaa käyttäen esimerkiksi verkkoa
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- node[font=\small,label=above:5] {} (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=above:7] {} (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=left:6] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- node[font=\small,label=right:5] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- node[font=\small,label=left:2] {} (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
vastaa seuraava vierusmatriisi:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (4,4);
|
||||
\node at (0.5,0.5) {2};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (0.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,1.5) {5};
|
||||
\node at (0.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,2.5) {7};
|
||||
\node at (3.5,2.5) {6};
|
||||
\node at (0.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,3.5) {5};
|
||||
\node at (2.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (-0.5,0.5) {4};
|
||||
\node at (-0.5,1.5) {3};
|
||||
\node at (-0.5,2.5) {2};
|
||||
\node at (-0.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (0.5,4.5) {1};
|
||||
\node at (1.5,4.5) {2};
|
||||
\node at (2.5,4.5) {3};
|
||||
\node at (3.5,4.5) {4};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Kaarilistaesitys}
|
||||
|
||||
\index{kaarilista@kaarilista}
|
||||
|
||||
\key{Kaarilista} sisältää kaikki verkon kaaret.
|
||||
Kaarilista on hyvä tapa tallentaa verkko,
|
||||
jos algoritmissa täytyy käydä läpi
|
||||
kaikki verkon kaaret eikä ole tarvetta
|
||||
etsiä kaarta alkusolmun perusteella.
|
||||
|
||||
Kaarilistan voi tallentaa vektoriin
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
vector<pair<int,int>> v;
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
jossa jokaisessa solmussa on parina kaaren
|
||||
alku- ja loppusolmu.
|
||||
Tällöin esimerkiksi verkon
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
voi tallentaa seuraavasti:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
v.push_back({1,2});
|
||||
v.push_back({2,3});
|
||||
v.push_back({2,4});
|
||||
v.push_back({3,4});
|
||||
v.push_back({4,1});
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
\noindent
|
||||
Painotetun verkon tapauksessa rakennetta voi laajentaa
|
||||
esimerkiksi näin:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
vector<pair<pair<int,int>,int>> v;
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
Nyt listalla on pareja, joiden ensimmäinen jäsen
|
||||
sisältää parina kaaren alku- ja loppusolmun,
|
||||
ja toinen jäsen on kaaren paino.
|
||||
Esimerkiksi verkon
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (5,3) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- node[font=\small,label=above:5] {} (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=above:7] {} (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=left:6] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- node[font=\small,label=right:5] {} (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- node[font=\small,label=left:2] {} (1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
voi tallentaa seuraavasti:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
v.push_back({{1,2},5});
|
||||
v.push_back({{2,3},7});
|
||||
v.push_back({{2,4},6});
|
||||
v.push_back({{3,4},5});
|
||||
v.push_back({{4,1},2});
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue