First commit
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
commit
c210d9497b
32 changed files with 24432 additions and 0 deletions
548
luku17.tex
Normal file
548
luku17.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,548 @@
|
|||
\chapter{Strongly connectivity}
|
||||
|
||||
\index{vahvasti yhtenxinen verkko@vahvasti yhtenäinen verkko}
|
||||
|
||||
Suunnatussa verkossa yhtenäisyys ei takaa sitä,
|
||||
että kahden solmun välillä olisi olemassa polkua,
|
||||
koska kaarten suunnat rajoittavat liikkumista.
|
||||
Niinpä suunnattuja verkkoja varten on mielekästä
|
||||
määritellä uusi käsite,
|
||||
joka vaatii enemmän verkon yhtenäisyydeltä.
|
||||
|
||||
Verkko on \key{vahvasti yhtenäinen},
|
||||
jos mistä tahansa solmusta on olemassa polku
|
||||
kaikkiin muihin solmuihin.
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa vasen
|
||||
verkko on vahvasti yhtenäinen,
|
||||
kun taas oikea verkko ei ole.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,1) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,1) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (1,-1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,-1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (1);
|
||||
|
||||
\node[draw, circle] (1b) at (6,1) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2b) at (8,1) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3b) at (6,-1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4b) at (8,-1) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (1b) -- (2b);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2b) -- (4b);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4b) -- (3b);
|
||||
\path[draw,thick,->] (1b) -- (3b);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Oikea verkko ei ole vahvasti yhtenäinen,
|
||||
koska esimerkiksi solmusta 2 ei ole
|
||||
polkua solmuun 1.
|
||||
|
||||
\index{vahvasti yhtenxinen komponentti@vahvasti yhtenäinen komponentti}
|
||||
\index{komponenttiverkko@komponenttiverkko}
|
||||
|
||||
Verkon \key{vahvasti yhtenäiset komponentit}
|
||||
jakavat verkon solmut mahdollisimman
|
||||
suuriin vahvasti yhtenäisiin osiin.
|
||||
Verkon vahvasti yhtenäiset komponentit
|
||||
muodostavat syklittömän \key{komponenttiverkon},
|
||||
joka kuvaa alkuperäisen verkon syvärakennetta.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi verkon
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) -- (7);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
vahvasti yhtenäiset komponentit ovat
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) -- (7);
|
||||
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-0.5,2.5) rectangle (-3.5,-0.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,2.5) rectangle (-7.5,1.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,0.5) rectangle (-5.5,-0.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-6.5,0.5) rectangle (-7.5,-0.5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
ja ne muodostavat seuraavan komponenttiverkon:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-3,1) {$B$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-6,2) {$A$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-5,0) {$D$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-7,0) {$C$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Komponentit ovat $A=\{1,2\}$,
|
||||
$B=\{3,6,7\}$, $C=\{4\}$ sekä $D=\{5\}$.
|
||||
|
||||
Komponenttiverkko on syklitön, suunnattu verkko,
|
||||
jonka käsittely on alkuperäistä verkkoa
|
||||
helpompaa, koska siinä ei ole syklejä.
|
||||
Niinpä komponenttiverkolle voi muodostaa
|
||||
luvun 16 tapaan topologisen järjestyksen
|
||||
ja soveltaa sen jälkeen dynaamista ohjelmintia
|
||||
verkon käsittelyyn.
|
||||
|
||||
\section{Kosarajun algoritmi}
|
||||
|
||||
\index{Kosarajun algoritmi@Kosarajun algoritmi}
|
||||
|
||||
\key{Kosarajun algoritmi} on tehokas
|
||||
menetelmä verkon
|
||||
vahvasti yhtenäisten komponenttien etsimiseen.
|
||||
Se suorittaa verkkoon
|
||||
kaksi syvyyshakua, joista ensimmäinen
|
||||
kerää solmut listaan verkon rakenteen perusteella
|
||||
ja toinen muodostaa vahvasti yhtenäiset komponentit.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Syvyyshaku 1}
|
||||
|
||||
Algoritmin ensimmäinen vaihe muodostaa listan solmuista
|
||||
syvyyshaun käsittelyjärjestyksessä.
|
||||
Algoritmi käy solmut läpi yksi kerrallaan,
|
||||
ja jos solmua ei ole vielä käsitelty, algoritmi suorittaa
|
||||
solmusta alkaen syvyyshaun.
|
||||
Solmu lisätään listalle, kun syvyyshaku on
|
||||
käsitellyt kaikki siitä lähtevät kaaret.
|
||||
|
||||
Esimerkkiverkossa solmujen käsittelyjärjestys on:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\node at (-7,2.75) {$1/8$};
|
||||
\node at (-5,2.75) {$2/7$};
|
||||
\node at (-3,2.75) {$9/14$};
|
||||
\node at (-7,-0.75) {$4/5$};
|
||||
\node at (-5,-0.75) {$3/6$};
|
||||
\node at (-3,-0.75) {$11/12$};
|
||||
\node at (-1,1.75) {$10/13$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) -- (7);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Solmun kohdalla oleva merkintä $x/y$ tarkoittaa, että solmun
|
||||
käsittely syvyyshaussa alkoi hetkellä $x$ ja päättyi hetkellä $y$.
|
||||
Kun solmut järjestetään käsittelyn päättymisajan
|
||||
mukaan, tuloksena on seuraava järjestys:
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
\\
|
||||
solmu & päättymisaika \\
|
||||
\hline
|
||||
4 & 5 \\
|
||||
5 & 6 \\
|
||||
2 & 7 \\
|
||||
1 & 8 \\
|
||||
6 & 12 \\
|
||||
7 & 13 \\
|
||||
3 & 14 \\
|
||||
\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
Solmujen käsittelyjärjestys algoritmin seuraavassa vaiheessa
|
||||
tulee olemaan tämä järjestys käänteisenä eli $[3,7,6,1,2,5,4]$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Syvyyshaku 2}
|
||||
|
||||
Algoritmin toinen vaihe muodostaa verkon vahvasti
|
||||
yhtenäiset komponentit.
|
||||
Ennen toista syvyyshakua algoritmi muuttaa
|
||||
jokaisen kaaren suunnan käänteiseksi.
|
||||
Tämä varmistaa,
|
||||
että toisen syvyyshaun aikana löydetään
|
||||
joka kerta vahvasti yhtenäinen komponentti,
|
||||
johon ei kuulu ylimääräisiä solmuja.
|
||||
|
||||
Esimerkkiverkko on käännettynä seuraava:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) -- (7);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämän jälkeen algoritmi käy läpi
|
||||
solmut käänteisessä ensimmäisen syvyyshaun
|
||||
tuottamassa järjestyksessä.
|
||||
Jos solmu ei kuulu vielä komponenttiin,
|
||||
siitä alkaa uusi syvyyshaku.
|
||||
Solmun komponenttiin liitetään kaikki aiemmin
|
||||
käsittelemättömät solmut,
|
||||
joihin syvyyshaku pääsee solmusta.
|
||||
|
||||
Esimerkkiverkossa muodostuu ensin komponentti
|
||||
solmusta 3 alkaen:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) -- (7);
|
||||
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-0.5,2.5) rectangle (-3.5,-0.5);
|
||||
%\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,2.5) rectangle (-7.5,1.5);
|
||||
%\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,0.5) rectangle (-5.5,-0.5);
|
||||
%\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-6.5,0.5) rectangle (-7.5,-0.5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Huomaa, että kaarten kääntämisen ansiosta komponentti
|
||||
ei pääse ''vuotamaan'' muihin verkon osiin.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Sitten listalla ovat solmut 7 ja 6, mutta ne on jo liitetty
|
||||
komponenttiin.
|
||||
Seuraava uusi solmu on 1, josta muodostuu uusi komponentti:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) -- (7);
|
||||
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-0.5,2.5) rectangle (-3.5,-0.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,2.5) rectangle (-7.5,1.5);
|
||||
%\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,0.5) rectangle (-5.5,-0.5);
|
||||
%\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-6.5,0.5) rectangle (-7.5,-0.5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Viimeisenä algoritmi käsittelee solmut 5 ja 4,
|
||||
jotka tuottavat loput vahvasti yhtenäiset komponentit:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,label distance=-2mm]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (-1,1) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (-3,2) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (-5,2) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (-7,2) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (-3,0) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (-5,0) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (-7,0) {$4$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (1) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (2) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (3) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) edge [bend left] (6);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) edge [bend left] (4);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (5) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,<-] (6) -- (7);
|
||||
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-0.5,2.5) rectangle (-3.5,-0.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,2.5) rectangle (-7.5,1.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-4.5,0.5) rectangle (-5.5,-0.5);
|
||||
\draw [red,thick,dashed,line width=2pt] (-6.5,0.5) rectangle (-7.5,-0.5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Algoritmin aikavaativuus on $O(n+m)$,
|
||||
missä $n$ on solmujen määrä ja $m$ on kaarten määrä.
|
||||
Tämä johtuu siitä,
|
||||
että algoritmi suorittaa kaksi syvyyshakua ja
|
||||
kummankin haun aikavaativuus on $O(n+m)$.
|
||||
|
||||
\section{2SAT-ongelma}
|
||||
|
||||
\index{2SAT-ongelma}
|
||||
|
||||
Vahvasti yhtenäisyys liittyy myös \key{2SAT-ongelman} ratkaisemiseen.
|
||||
Siinä annettuna on looginen lauseke muotoa
|
||||
\[
|
||||
(a_1 \lor b_1) \land (a_2 \lor b_2) \land \cdots \land (a_m \lor b_m),
|
||||
\]
|
||||
jossa jokainen $a_i$ ja $b_i$ on joko looginen muuttuja
|
||||
($x_1,x_2,\ldots,x_n$)
|
||||
tai loogisen muuttujan negaatio ($\lnot x_1, \lnot x_2, \ldots, \lnot x_n$).
|
||||
Merkit ''$\land$'' ja ''$\lor$'' tarkoittavat
|
||||
loogisia operaatioita ''ja'' ja ''tai''.
|
||||
Tehtävänä on valita muuttujille arvot niin,
|
||||
että lauseke on tosi,
|
||||
tai todeta, että tämä ei ole mahdollista.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi lauseke
|
||||
\[
|
||||
L_1 = (x_2 \lor \lnot x_1) \land
|
||||
(\lnot x_1 \lor \lnot x_2) \land
|
||||
(x_1 \lor x_3) \land
|
||||
(\lnot x_2 \lor \lnot x_3) \land
|
||||
(x_1 \lor x_4)
|
||||
\]
|
||||
on tosi, kun $x_1$ ja $x_2$ ovat epätosia
|
||||
ja $x_3$ ja $x_4$ ovat tosia.
|
||||
Vastaavasti lauseke
|
||||
\[
|
||||
L_2 = (x_1 \lor x_2) \land
|
||||
(x_1 \lor \lnot x_2) \land
|
||||
(\lnot x_1 \lor x_3) \land
|
||||
(\lnot x_1 \lor \lnot x_3)
|
||||
\]
|
||||
on epätosi riippumatta muuttujien valinnasta.
|
||||
Tämän näkee siitä, että muuttujalle $x_1$
|
||||
ei ole mahdollista arvoa, joka ei tuottaisi ristiriitaa.
|
||||
Jos $x_1$ on epätosi, pitäisi päteä sekä $x_2$ että $\lnot x_2$,
|
||||
mikä on mahdotonta.
|
||||
Jos taas $x_1$ on tosi,
|
||||
pitäisi päteä sekä $x_3$ että $\lnot x_3$,
|
||||
mikä on myös mahdotonta.
|
||||
|
||||
2SAT-ongelman saa muutettua verkoksi niin,
|
||||
että jokainen muuttuja $x_i$ ja negaatio $\lnot x_i$
|
||||
on yksi verkon solmuista
|
||||
ja muuttujien riippuvuudet ovat kaaria.
|
||||
Jokaisesta parista $(a_i \lor b_i)$ tulee kaksi
|
||||
kaarta: $\lnot a_i \to b_i$ sekä $\lnot b_i \to a_i$.
|
||||
Nämä tarkoittavat, että jos $a_i$ ei päde,
|
||||
niin $b_i$:n on pakko päteä, ja päinvastoin.
|
||||
|
||||
Lausekkeen $L_1$ verkosta tulee nyt:
|
||||
\\
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,minimum size=2pt]
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (1) at (1,2) {$\lnot x_3$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,2) {$x_2$};
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (3) at (1,0) {$\lnot x_4$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (3,0) {$x_1$};
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (5) at (5,2) {$\lnot x_1$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (7,2) {$x_4$};
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (7) at (5,0) {$\lnot x_2$};
|
||||
\node[draw, circle] (8) at (7,0) {$x_3$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (6);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (8);
|
||||
\path[draw,thick,->] (8) -- (7);
|
||||
\path[draw,thick,->] (7) -- (5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Lausekkeen $L_2$ verkosta taas tulee:
|
||||
\\
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0,minimum size=2pt]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (1,2) {$x_3$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (3,2) {$x_2$};
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (3) at (5,2) {$\lnot x_2$};
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (4) at (7,2) {$\lnot x_3$};
|
||||
\node[draw, circle, inner sep=1.3pt] (5) at (4,3.5) {$\lnot x_1$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (4,0.5) {$x_1$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (4) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->] (6) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (5) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (6);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (6);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Verkon rakenne kertoo, onko 2SAT-ongelmalla ratkaisua.
|
||||
Jos on jokin muuttuja $x_i$ niin,
|
||||
että $x_i$ ja $\lnot x_i$ ovat samassa
|
||||
vahvasti yhtenäisessä komponentissa,
|
||||
niin ratkaisua ei ole olemassa.
|
||||
Tällöin verkossa on polku sekä $x_i$:stä
|
||||
$\lnot x_i$:ään että $\lnot x_i$:stä $x_i$:ään,
|
||||
eli kumman tahansa arvon valitseminen
|
||||
muuttujalle $x_i$ pakottaisi myös valitsemaan
|
||||
vastakkaisen arvon, mikä on ristiriita.
|
||||
Jos taas verkossa ei ole tällaista
|
||||
solmua $x_i$, ratkaisu on olemassa.
|
||||
|
||||
Lausekkeen $L_1$ verkossa
|
||||
mitkään solmut $x_i$ ja $\lnot x_i$
|
||||
eivät ole samassa vahvasti yhtenäisessä komponentissa,
|
||||
mikä tarkoittaa, että ratkaisu on olemassa.
|
||||
Lausekkeen $L_2$ verkossa taas kaikki solmut
|
||||
ovat samassa vahvasti yhtenäisessä komponentissa,
|
||||
eli ratkaisua ei ole olemassa.
|
||||
|
||||
Jos ratkaisu on olemassa, muuttujien arvot saa selville
|
||||
käymällä komponenttiverkko läpi käänteisessä
|
||||
topologisessa järjestyksessä.
|
||||
Verkosta otetaan käsittelyyn ja poistetaan
|
||||
joka vaiheessa komponentti,
|
||||
josta ei lähde kaaria muihin jäljellä
|
||||
oleviin komponentteihin.
|
||||
Jos komponentin muuttujille ei ole vielä valittu arvoja,
|
||||
ne saavat komponentin mukaiset arvot.
|
||||
Jos taas arvot on jo valittu, niitä ei muuteta.
|
||||
Näin jatketaan, kunnes jokainen lausekkeen muuttuja on saanut arvon.
|
||||
|
||||
Lausekkeen $L_1$ verkon komponenttiverkko on seuraava:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {$A$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {$B$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (4,0) {$C$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (6,0) {$D$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->] (1) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->] (2) -- (3);
|
||||
\path[draw,thick,->] (3) -- (4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Komponentit ovat
|
||||
$A = \{\lnot x_4\}$,
|
||||
$B = \{x_1, x_2, \lnot x_3\}$,
|
||||
$C = \{\lnot x_1, \lnot x_2, x_3\}$ sekä
|
||||
$D = \{x_4\}$.
|
||||
Ratkaisun muodostuksessa
|
||||
käsitellään ensin komponentti $D$,
|
||||
josta $x_4$ saa arvon tosi.
|
||||
Sitten käsitellään komponentti $C$,
|
||||
josta $x_1$ ja $x_2$ tulevat epätodeksi
|
||||
ja $x_3$ tulee todeksi.
|
||||
Kaikki muuttujat ovat saaneet arvon,
|
||||
joten myöhemmin käsiteltävät
|
||||
komponentit $B$ ja $A$ eivät vaikuta enää ratkaisuun.
|
||||
|
||||
Huomaa, että tämän menetelmän toiminta
|
||||
perustuu verkon erityiseen rakenteeseen.
|
||||
Jos solmusta $x_i$ pääsee
|
||||
solmuun $x_j$,
|
||||
josta pääsee solmuun $\lnot x_j$,
|
||||
niin $x_i$ ei saa koskaan arvoa tosi.
|
||||
Tämä johtuu siitä, että
|
||||
solmusta $\lnot x_j$ täytyy
|
||||
päästä myös solmuun $\lnot x_i$,
|
||||
koska kaikki riippuvuudet
|
||||
ovat verkossa molempiin suuntiin.
|
||||
Niinpä sekä $x_i$ että $x_j$
|
||||
saavat varmasti arvokseen epätosi.
|
||||
|
||||
\index{3SAT-ongelma}
|
||||
|
||||
2SAT-ongelman vaikeampi versio on \key{3SAT-ongelma},
|
||||
jossa jokainen lausekkeen osa on muotoa
|
||||
$(a_i \lor b_i \lor c_i)$.
|
||||
Tämän ongelman ratkaisemiseen \textit{ei}
|
||||
tunneta tehokasta menetelmää,
|
||||
vaan kyseessä on NP-vaikea ongelma.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue