First commit
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
commit
c210d9497b
32 changed files with 24432 additions and 0 deletions
786
luku25.tex
Normal file
786
luku25.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,786 @@
|
|||
\chapter{Game theory}
|
||||
|
||||
Tässä luvussa keskitymme kahden pelaajan peleihin,
|
||||
joissa molemmat pelaajat tekevät
|
||||
samanlaisia siirtoja eikä pelissä ole satunnaisuutta.
|
||||
Tavoitteemme on etsiä strategia, jota käyttäen
|
||||
pelaaja pystyy voittamaan pelin toisen pelaajan
|
||||
toimista riippumatta, jos tämä on mahdollista.
|
||||
|
||||
Osoittautuu, että kaikki tällaiset pelit ovat
|
||||
pohjimmiltaan samanlaisia ja niiden analyysi on
|
||||
mahdollista \key{nim-teorian} avulla.
|
||||
Perehdymme aluksi yksinkertaisiin tikkupeleihin,
|
||||
joissa pelaajat poistavat tikkuja kasoista,
|
||||
ja yleistämme sitten näiden pelien teorian kaikkiin peleihin.
|
||||
|
||||
\section{Pelin tilat}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan peliä, jossa kasassa on $n$ tikkua.
|
||||
Pelaajat $A$ ja $B$ siirtävät vuorotellen ja
|
||||
pelaaja $A$ aloittaa.
|
||||
Jokaisella siirrolla pelaajan tulee poistaa
|
||||
1, 2 tai 3 tikkua kasasta.
|
||||
Pelin voittaa se pelaaja, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi jos $n=10$, peli saattaa edetä seuraavasti:
|
||||
\begin{enumerate}[noitemsep]
|
||||
\item Pelaaja $A$ poistaa 2 tikkua (jäljellä 8 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $B$ poistaa 3 tikkua (jäljellä 5 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $A$ poistaa 1 tikun (jäljellä 4 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $B$ poistaa 2 tikkua (jäljellä 2 tikkua).
|
||||
\item Pelaaja $A$ poistaa 2 tikkua ja voittaa.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Tämä peli muodostuu tiloista $0,1,2,\ldots,n$,
|
||||
missä tilan numero vastaa sitä, montako tikkua
|
||||
kasassa on jäljellä.
|
||||
Tietyssä tilassa olevan pelaajan valittavana on,
|
||||
montako tikkua hän poistaa kasasta.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Voittotila ja häviötila}
|
||||
|
||||
\index{voittotila@voittotila}
|
||||
\index{hxviztila@häviötila}
|
||||
|
||||
\key{Voittotila} on tila, jossa oleva pelaaja voittaa
|
||||
pelin varmasti, jos hän pelaa optimaalisesti.
|
||||
Vastaavasti \key{häviötila} on tila,
|
||||
jossa oleva pelaaja häviää varmasti, jos vastustaja
|
||||
pelaa optimaalisesti.
|
||||
Osoittautuu, että pelin tilat on mahdollista luokitella
|
||||
niin, että jokainen tila on joko voittotila tai häviötila.
|
||||
|
||||
Yllä olevassa pelissä tila 0 on selkeästi häviötila,
|
||||
koska siinä oleva pelaaja häviää pelin suoraan.
|
||||
Tilat 1, 2 ja 3 taas ovat voittotiloja,
|
||||
koska niissä oleva pelaaja voi poistaa
|
||||
1, 2 tai 3 tikkua ja voittaa pelin.
|
||||
Vastaavasti tila 4 on häviötila, koska mikä tahansa
|
||||
siirto johtaa toisen pelaajan voittoon.
|
||||
|
||||
Yleisemmin voidaan havaita, että jos tilasta on
|
||||
jokin häviötilaan johtava siirto, niin tila on voittotila,
|
||||
ja muussa tapauksessa tila on häviötila.
|
||||
Tämän ansiosta voidaan luokitella kaikki pelin tilat
|
||||
alkaen varmoista häviötiloista, joista ei ole siirtoja
|
||||
mihinkään muihin tiloihin.
|
||||
|
||||
Seuraavassa on pelin tilojen $0 \ldots 15$ luokittelu
|
||||
($V$ tarkoittaa voittotilaa ja $H$ tarkoittaa häviötilaa):
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) grid (16,1);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (8.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (9.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (10.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (11.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (12.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (13.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (14.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (15.5,0.5) {$V$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (0.5,1.4) {$0$};
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (8.5,1.4) {$8$};
|
||||
\node at (9.5,1.4) {$9$};
|
||||
\node at (10.5,1.4) {$10$};
|
||||
\node at (11.5,1.4) {$11$};
|
||||
\node at (12.5,1.4) {$12$};
|
||||
\node at (13.5,1.4) {$13$};
|
||||
\node at (14.5,1.4) {$14$};
|
||||
\node at (15.5,1.4) {$15$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämän pelin analyysi on yksinkertainen:
|
||||
tila $k$ on häviötila, jos $k$ on jaollinen 4:llä,
|
||||
ja muuten tila $k$ on voittotila.
|
||||
Optimaalinen tapa pelata peliä on
|
||||
valita aina sellainen siirto, että vastustajalle
|
||||
jää 4:llä jaollinen määrä tikkuja,
|
||||
kunnes lopulta tikut loppuvat ja vastustaja on hävinnyt.
|
||||
|
||||
Tämä pelitapa edellyttää luonnollisesti sitä,
|
||||
että tikkujen määrä omalla siirrolla \emph{ei} ole
|
||||
4:llä jaollinen. Jos näin kuitenkin on, mitään ei ole
|
||||
tehtävissä vaan vastustaja voittaa
|
||||
pelin varmasti, jos hän pelaa optimaalisesti.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Tilaverkko}
|
||||
|
||||
Tarkastellaan sitten toisenlaista tikkupeliä,
|
||||
jossa tilassa $k$ saa poistaa minkä tahansa
|
||||
määrän tikkuja $x$, kunhan $k$ on jaollinen $x$:llä
|
||||
ja $x$ on pienempi kuin $k$.
|
||||
Esimerkiksi tilassa 8 on sallittua poistaa
|
||||
1, 2 tai 4 tikkua, mutta tilassa 7
|
||||
ainoa mahdollinen siirto on poistaa 1 tikku.
|
||||
|
||||
Seuraava kuva esittää pelin tilat $1 \ldots 9$ \key{tilaverkkona}, jossa solmut ovat pelin tiloja
|
||||
ja kaaret kuvaavat mahdollisia siirtoja tilojen välillä:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {$1$};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {$2$};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (3.5,-1) {$3$};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (1.5,-2) {$4$};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (3,-2.75) {$5$};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (2.5,-4.5) {$6$};
|
||||
\node[draw, circle] (7) at (0.5,-3.25) {$7$};
|
||||
\node[draw, circle] (8) at (-1,-4) {$8$};
|
||||
\node[draw, circle] (9) at (1,-5.5) {$9$};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) edge [bend right=20] (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) edge [bend left=20] (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) edge [bend left=20] (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) edge [bend right=20] (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) edge [bend left=20] (5);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) edge [bend left=20] (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) edge [bend right=40] (3);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (7) edge [bend right=20] (6);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (8) edge [bend right=20] (7);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (8) edge [bend right=20] (6);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (8) edge [bend left=20] (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (9) edge [bend left=20] (8);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (9) edge [bend right=20] (6);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämä peli päättyy aina tilaan 1, joka on häviötila,
|
||||
koska siinä ei voi tehdä mitään siirtoja.
|
||||
Pelin tilojen $1 \ldots 9$ luokittelu on seuraava:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (1,0) grid (10,1);
|
||||
|
||||
\node at (1.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (5.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (6.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (7.5,0.5) {$H$};
|
||||
\node at (8.5,0.5) {$V$};
|
||||
\node at (9.5,0.5) {$H$};
|
||||
|
||||
\footnotesize
|
||||
\node at (1.5,1.4) {$1$};
|
||||
\node at (2.5,1.4) {$2$};
|
||||
\node at (3.5,1.4) {$3$};
|
||||
\node at (4.5,1.4) {$4$};
|
||||
\node at (5.5,1.4) {$5$};
|
||||
\node at (6.5,1.4) {$6$};
|
||||
\node at (7.5,1.4) {$7$};
|
||||
\node at (8.5,1.4) {$8$};
|
||||
\node at (9.5,1.4) {$9$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Yllättävää kyllä, tässä pelissä kaikki
|
||||
parilliset tilat ovat voittotiloja ja
|
||||
kaikki parittomat tilat ovat häviötiloja.
|
||||
|
||||
\section{Nim-peli}
|
||||
|
||||
\index{nim-peli}
|
||||
|
||||
\key{Nim-peli} on yksinkertainen peli,
|
||||
joka on tärkeässä asemassa peliteoriassa,
|
||||
koska monia pelejä voi pelata samalla
|
||||
strategialla kuin nim-peliä.
|
||||
Tutustumme aluksi nim-peliin ja yleistämme
|
||||
strategian sitten muihin peleihin.
|
||||
|
||||
Nim-pelissä on $n$ kasaa tikkuja,
|
||||
joista kussakin on tietty määrä tikkuja.
|
||||
Pelaajat poistavat kasoista tikkuja vuorotellen.
|
||||
Joka vuorolla pelaaja valitsee yhden kasan,
|
||||
jossa on vielä tikkuja,
|
||||
ja poistaa siitä minkä tahansa määrän tikkuja.
|
||||
Pelin voittaa se, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||||
|
||||
Nim-pelin tila on muotoa $[x_1,x_2,\ldots,x_n]$,
|
||||
jossa $x_k$ on tikkujen määrä kasassa $k$.
|
||||
Esimerkiksi $[10,12,5]$ tarkoittaa peliä,
|
||||
jossa on kolme kasaa ja tikkujen määrät ovat 10, 12 ja 5.
|
||||
Tila $[0,0,\ldots,0]$ on häviötila,
|
||||
koska siitä ei voi poistaa mitään tikkua,
|
||||
ja peli päättyy aina tähän tilaan.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Analyysi}
|
||||
\index{nim-summa}
|
||||
Osoittautuu, että nim-pelin tilan luonteen
|
||||
kertoo \key{nim-summa} $x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n$,
|
||||
missä $\oplus$ tarkoittaa xor-operaatiota.
|
||||
Jos nim-summa on 0, tila on häviötila,
|
||||
ja muussa tapauksessa tila on voittotila.
|
||||
Esimerkiksi tilan $[10,12,5]$ nim-summa on
|
||||
$10 \oplus 12 \oplus 5 = 3$, joten tila on voittotila.
|
||||
|
||||
Mutta miten nim-summa liittyy nim-peliin?
|
||||
Tämä selviää tutkimalla, miten nim-summa muuttuu,
|
||||
kun nim-pelin tila muuttuu.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
\textit{Häviötilat:}
|
||||
Pelin päätöstila $[0,0,\ldots,0]$ on häviötila,
|
||||
ja sen nim-summa on 0, kuten kuuluukin.
|
||||
Muissa häviötiloissa mikä tahansa siirto johtaa
|
||||
voittotilaan, koska yksi luvuista $x_k$ muuttuu
|
||||
ja samalla pelin nim-summa muuttuu
|
||||
eli siirron jälkeen nim-summasta tulee jokin muu kuin 0.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
\textit{Voittotilat:}
|
||||
Voittotilasta pääsee häviötilaan muuttamalla
|
||||
jonkin kasan $k$ tikkujen määräksi $x_k \oplus s$,
|
||||
missä $s$ on pelin nim-summa.
|
||||
Vaatimuksena on, että $x_k \oplus s < x_k$,
|
||||
koska kasasta voi vain poistaa tikkuja.
|
||||
Sopiva kasa $x_k$ on sellainen,
|
||||
jossa on ykkösbitti samassa kohdassa kuin
|
||||
$s$:n vasemmanpuoleisin ykkösbitti.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä tilaa $[10,2,5]$.
|
||||
Tämä tila on voittotila,
|
||||
koska sen nim-summa on 3.
|
||||
Täytyy siis olla olemassa siirto,
|
||||
jolla tilasta pääsee häviötilaan.
|
||||
Selvitetään se seuraavaksi.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Pelin nim-summa muodostuu seuraavasti:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{r|r}
|
||||
10 & \texttt{1010} \\
|
||||
12 & \texttt{1100} \\
|
||||
5 & \texttt{0101} \\
|
||||
\hline
|
||||
3 & \texttt{0011} \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Tässä tapauksessa
|
||||
10 tikun kasa on ainoa,
|
||||
jonka bittiesityksessä on ykkösbitti
|
||||
samassa kohdassa kuin
|
||||
nim-summan vasemmanpuoleisin ykkösbitti:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{r|r}
|
||||
10 & \texttt{10\textcircled{1}0} \\
|
||||
12 & \texttt{1100} \\
|
||||
5 & \texttt{0101} \\
|
||||
\hline
|
||||
3 & \texttt{00\textcircled{1}1} \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Kasan uudeksi sisällöksi täytyy saada
|
||||
$10 \oplus 3 = 9$ tikkua,
|
||||
mikä onnistuu poistamalla 1 tikku
|
||||
10 tikun kasasta.
|
||||
Tämän seurauksena tilaksi tulee $[9,12,5]$,
|
||||
joka on häviötila, kuten pitääkin:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{r|r}
|
||||
9 & \texttt{1001} \\
|
||||
12 & \texttt{1100} \\
|
||||
5 & \texttt{0101} \\
|
||||
\hline
|
||||
0 & \texttt{0000} \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Misääripeli}
|
||||
|
||||
\index{misxxripeli@misääripeli}
|
||||
|
||||
\key{Misääripelissä} nim-pelin tavoite on käänteinen,
|
||||
eli pelin häviää se, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||||
Osoittautuu, että misääripeliä pystyy pelaamaan lähes samalla
|
||||
strategialla kuin tavallista nim-peliä.
|
||||
|
||||
Ideana on pelata misääripeliä aluksi kuin tavallista
|
||||
nim-peliä, mutta muuttaa strategiaa pelin
|
||||
lopussa. Käänne tapahtuu silloin, kun seuraavan
|
||||
siirron seurauksena kaikissa pelin kasoissa olisi 0 tai 1 tikkua.
|
||||
|
||||
Tavallisessa nim-pelissä tulisi nyt tehdä siirto,
|
||||
jonka jälkeen 1-tikkuisia kasoja on parillinen määrä.
|
||||
Misääripelissä tulee kuitenkin tehdä siirto,
|
||||
jonka jälkeen 1-tikkuisia kasoja on pariton määrä.
|
||||
|
||||
Tämä strategia toimii, koska käännekohta tulee aina
|
||||
vastaan jossakin vaiheessa peliä,
|
||||
ja kyseinen tila on voittotila,
|
||||
koska siinä on tarkalleen yksi kasa,
|
||||
jossa on yli 1 tikkua,
|
||||
joten nim-summa ei ole 0.
|
||||
|
||||
\section{Sprague–Grundyn lause}
|
||||
|
||||
\index{Sprague–Grundyn lause}
|
||||
|
||||
\key{Sprague–Grundyn lause} yleistää nim-pelin strategian
|
||||
kaikkiin peleihin, jotka täyttävät
|
||||
seuraavat vaatimukset:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||||
\item Pelissä on kaksi pelaajaa, jotka tekevät vuorotellen siirtoja.
|
||||
\item Peli muodostuu tiloista ja mahdolliset siirrot tilasta
|
||||
eivät riipu siitä, kumpi pelaaja on vuorossa.
|
||||
\item Peli päättyy, kun toinen pelaaja ei voi tehdä siirtoa.
|
||||
\item Peli päättyy varmasti ennemmin tai myöhemmin.
|
||||
\item Pelaajien saatavilla on kaikki tieto tiloista
|
||||
ja siirroista, eikä pelissä ole satunnaisuutta.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Ideana on laskea kullekin pelin tilalle Grundy-luku,
|
||||
joka vastaa tikkujen määrää nim-pelin kasassa.
|
||||
Kun kaikkien tilojen Grundy-luvut ovat tiedossa,
|
||||
peliä voi pelata aivan kuin se olisi nim-peli.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Grundy-luku}
|
||||
|
||||
\index{Grundy-luku}
|
||||
\index{mex-funktio}
|
||||
|
||||
Pelin tilan \key{Grundy-luku} määritellään rekursiivisesti
|
||||
kaavalla
|
||||
\[\textrm{mex}(\{g_1,g_2,\ldots,g_n\}),\]
|
||||
jossa $g_1,g_2,\ldots,g_n$ ovat niiden tilojen
|
||||
Grundy-luvut, joihin tilasta pääsee yhdellä siirrolla,
|
||||
ja funktio mex antaa pienimmän ei-negatiivisen
|
||||
luvun, jota ei esiinny joukossa.
|
||||
Esimerkiksi $\textrm{mex}(\{0,1,3\})=2$.
|
||||
Jos tilasta ei voi tehdä mitään siirtoa,
|
||||
sen Grundy-luku on 0, koska $\textrm{mex}(\emptyset)=0$.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi tilaverkossa
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {\phantom{0}};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {\phantom{0}};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (4,0) {\phantom{0}};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (1,-2) {\phantom{0}};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (3,-2) {\phantom{0}};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (5,-2) {\phantom{0}};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Grundy-luvut ovat seuraavat:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {0};
|
||||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {1};
|
||||
\node[draw, circle] (3) at (4,0) {0};
|
||||
\node[draw, circle] (4) at (1,-2) {2};
|
||||
\node[draw, circle] (5) at (3,-2) {0};
|
||||
\node[draw, circle] (6) at (5,-2) {2};
|
||||
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (4);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (5);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (2);
|
||||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Jos tila on häviötila, sen Grundy-luku on 0.
|
||||
Jos taas tila on voittotila, sen Grundy-luku
|
||||
on jokin positiivinen luku.
|
||||
|
||||
Grundy-luvun hyötynä on,
|
||||
että se vastaa tikkujen määrää nim-kasassa.
|
||||
Jos Grundy-luku on 0, niin tilasta pääsee vain tiloihin,
|
||||
joiden Grundy-luku ei ole 0.
|
||||
Jos taas Grundy-luku on $x>0$, niin tilasta pääsee tiloihin,
|
||||
joiden Grundy-luvut kattavat välin $0,1,\ldots,x-1$.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä peliä,
|
||||
jossa pelaajat siirtävät vuorotellen
|
||||
pelihahmoa sokkelossa.
|
||||
Jokainen sokkelon ruutu on lattiaa tai seinää.
|
||||
Kullakin siirrolla hahmon tulee liikkua jokin
|
||||
määrä askeleita vasemmalle tai jokin
|
||||
määrä askeleita ylöspäin.
|
||||
Pelin voittaja on se, joka tekee viimeisen siirron.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa on pelin mahdollinen aloitustilanne,
|
||||
jossa @ on pelihahmo ja * merkitsee ruutua, johon hahmo voi siirtyä.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.65]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {*};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {*};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {*};
|
||||
\node at (0.5,0.5) {*};
|
||||
\node at (4.5,1.5) {*};
|
||||
\node at (4.5,2.5) {*};
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Sokkelopelin tiloja ovat kaikki sokkelon
|
||||
lattiaruudut. Tässä tapauksessa
|
||||
tilojen Grundy-luvut ovat seuraavat:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.65]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||||
\node at (2.5,4.5) {};
|
||||
\node at (3.5,4.5) {0};
|
||||
\node at (4.5,4.5) {1};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,3.5) {};
|
||||
\node at (1.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,3.5) {2};
|
||||
\node at (4.5,3.5) {};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,2.5) {2};
|
||||
\node at (2.5,2.5) {};
|
||||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||||
\node at (4.5,2.5) {0};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,1.5) {};
|
||||
\node at (1.5,1.5) {3};
|
||||
\node at (2.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,1.5) {4};
|
||||
\node at (4.5,1.5) {1};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {4};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {3};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {2};
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Tämän seurauksena sokkelopelin
|
||||
tila käyttäytyy
|
||||
samalla tavalla kuin nim-pelin kasa.
|
||||
Esimerkiksi oikean alakulman ruudun
|
||||
Grundy-luku on 2,
|
||||
joten kyseessä on voittotila.
|
||||
Voittoon johtava siirto on joko liikkua neljä
|
||||
askelta vasemmalle tai kaksi askelta ylöspäin.
|
||||
|
||||
Huomaa, että toisin kuin alkuperäisessä nim-pelissä,
|
||||
tilasta saattaa päästä toiseen tilaan,
|
||||
jonka Grundy-luku on suurempi.
|
||||
Vastustaja voi kuitenkin aina peruuttaa
|
||||
tällaisen siirron niin,
|
||||
että Grundy-luku palautuu samaksi.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Alipelit}
|
||||
|
||||
Oletetaan seuraavaksi, että peli muodostuu
|
||||
alipeleistä ja jokaisella vuorolla
|
||||
pelaaja valitsee jonkin alipeleistä ja
|
||||
tekee siirron siinä.
|
||||
Peli päättyy, kun missään alipelissä ei
|
||||
pysty tekemään siirtoa.
|
||||
|
||||
Nyt pelin tilan Grundy-luku on alipelien
|
||||
Grundy-lukujen nim-summa.
|
||||
Peliä pystyy pelaamaan nim-pelin
|
||||
tapaan selvittämällä kaikkien alipelien Grundy-luvut
|
||||
ja laskemalla niiden nim-summa.
|
||||
|
||||
~\\
|
||||
\noindent
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä kolmen sokkelon peliä.
|
||||
Tässä pelissä pelaaja valitsee joka siirrolla
|
||||
yhden sokkeloista ja siirtää siinä olevaa hahmoa.
|
||||
Pelin aloitustilanne voi olla seuraavanlainen:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ccc}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (2, 3);
|
||||
\fill [color=black] (2, 3) rectangle (3, 4);
|
||||
\fill [color=black] (4, 4) rectangle (5, 5);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (4, 4);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Sokkeloiden ruutujen Grundy-luvut ovat:
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ccc}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||||
\node at (2.5,4.5) {};
|
||||
\node at (3.5,4.5) {0};
|
||||
\node at (4.5,4.5) {1};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,3.5) {};
|
||||
\node at (1.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,3.5) {2};
|
||||
\node at (4.5,3.5) {};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,2.5) {2};
|
||||
\node at (2.5,2.5) {};
|
||||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||||
\node at (4.5,2.5) {0};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,1.5) {};
|
||||
\node at (1.5,1.5) {3};
|
||||
\node at (2.5,1.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,1.5) {4};
|
||||
\node at (4.5,1.5) {1};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {4};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {3};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {2};
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (2, 3);
|
||||
\fill [color=black] (2, 3) rectangle (3, 4);
|
||||
\fill [color=black] (4, 4) rectangle (5, 5);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||||
\node at (2.5,4.5) {2};
|
||||
\node at (3.5,4.5) {3};
|
||||
\node at (4.5,4.5) {};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (1.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,3.5) {};
|
||||
\node at (3.5,3.5) {0};
|
||||
\node at (4.5,3.5) {1};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,2.5) {2};
|
||||
\node at (1.5,2.5) {};
|
||||
\node at (2.5,2.5) {0};
|
||||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||||
\node at (4.5,2.5) {2};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,1.5) {3};
|
||||
\node at (1.5,1.5) {};
|
||||
\node at (2.5,1.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,1.5) {2};
|
||||
\node at (4.5,1.5) {0};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {4};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {2};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {5};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {3};
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
&
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (4, 4);
|
||||
|
||||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||||
|
||||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||||
\node at (2.5,4.5) {2};
|
||||
\node at (3.5,4.5) {3};
|
||||
\node at (4.5,4.5) {4};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,3.5) {1};
|
||||
\node at (1.5,3.5) {};
|
||||
\node at (2.5,3.5) {};
|
||||
\node at (3.5,3.5) {};
|
||||
\node at (4.5,3.5) {0};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,2.5) {2};
|
||||
\node at (1.5,2.5) {};
|
||||
\node at (2.5,2.5) {};
|
||||
\node at (3.5,2.5) {};
|
||||
\node at (4.5,2.5) {1};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,1.5) {3};
|
||||
\node at (1.5,1.5) {};
|
||||
\node at (2.5,1.5) {};
|
||||
\node at (3.5,1.5) {};
|
||||
\node at (4.5,1.5) {2};
|
||||
|
||||
\node at (0.5,0.5) {4};
|
||||
\node at (1.5,0.5) {0};
|
||||
\node at (2.5,0.5) {1};
|
||||
\node at (3.5,0.5) {2};
|
||||
\node at (4.5,0.5) {3};
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Aloitustilanteessa Grundy-lukujen nim-summa on
|
||||
$2 \oplus 3 \oplus 3 = 2$, joten
|
||||
aloittaja pystyy voittamaan pelin.
|
||||
Voittoon johtava siirto on liikkua vasemmassa sokkelossa
|
||||
2 askelta ylöspäin, jolloin nim-summaksi
|
||||
tulee $0 \oplus 3 \oplus 3 = 0$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Jakautuminen}
|
||||
|
||||
Joskus siirto pelissä jakaa pelin alipeleihin,
|
||||
jotka ovat toisistaan riippumattomia.
|
||||
Tällöin pelin Grundy-luku on
|
||||
|
||||
\[\textrm{mex}(\{g_1, g_2, \ldots, g_n \}),\]
|
||||
missä $n$ on siirtojen määrä ja
|
||||
\[g_k = a_{k,1} \oplus a_{k,2} \oplus \ldots \oplus a_{k,m},\]
|
||||
missä siirron $k$ tuottamien alipelien
|
||||
Grundy-luvut ovat $a_{k,1},a_{k,2},\ldots,a_{k,m}$.
|
||||
|
||||
\index{Grundyn peli@Grundyn peli}
|
||||
|
||||
Esimerkki tällaisesta pelistä on \key{Grundyn peli}.
|
||||
Pelin alkutilanteessa on yksittäinen kasa, jossa on $n$ tikkua.
|
||||
Joka vuorolla pelaaja valitsee jonkin kasan
|
||||
ja jakaa sen kahdeksi epätyhjäksi kasaksi
|
||||
niin, että kasoissa on eri määrä tikkuja.
|
||||
Pelin voittaja on se, joka tekee viimeisen jaon.
|
||||
|
||||
Merkitään $f(n)$ Grundy-lukua kasalle,
|
||||
jossa on $n$ tikkua.
|
||||
Grundy-luku muodostuu käymällä läpi tavat
|
||||
jakaa kasa kahdeksi kasaksi.
|
||||
Esimerkiksi tapauksessa $n=8$ mahdolliset jakotavat
|
||||
ovat $1+7$, $2+6$ ja $3+5$, joten
|
||||
\[f(8)=\textrm{mex}(\{f(1) \oplus f(7), f(2) \oplus f(6), f(3) \oplus f(5)\}).\]
|
||||
|
||||
Tässä pelissä luvun $f(n)$ laskeminen vaatii lukujen
|
||||
$f(1),\ldots,f(n-1)$ laskemista.
|
||||
Pohjatapauksina $f(1)=f(2)=0$, koska 1 ja 2 tikun
|
||||
kasaa ei ole mahdollista jakaa mitenkään.
|
||||
Ensimmäiset Grundy-luvut ovat:
|
||||
\[
|
||||
\begin{array}{lcl}
|
||||
f(1) & = & 0 \\
|
||||
f(2) & = & 0 \\
|
||||
f(3) & = & 1 \\
|
||||
f(4) & = & 0 \\
|
||||
f(5) & = & 2 \\
|
||||
f(6) & = & 1 \\
|
||||
f(7) & = & 0 \\
|
||||
f(8) & = & 2 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\]
|
||||
Tapauksen $n=8$ Grundy-luku on 2, joten peli on mahdollista
|
||||
voittaa.
|
||||
Voittosiirto on muodostaa kasat $1+7$,
|
||||
koska $f(1) \oplus f(7) = 0$.
|
||||
|
||||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue