First commit
This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen
commit
c210d9497b
32 changed files with 24432 additions and 0 deletions
856
luku30.tex
Normal file
856
luku30.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,856 @@
|
|||
\chapter{Sweep line}
|
||||
|
||||
\index{pyyhkxisyviiva@pyyhkäisyviiva}
|
||||
|
||||
\key{Pyyhkäisyviiva} on tason halki kulkeva viiva,
|
||||
jonka avulla voi ratkaista useita geometrisia tehtäviä.
|
||||
Ideana on esittää tehtävä joukkona tapahtumia,
|
||||
jotka vastaavat tason pisteitä.
|
||||
Kun pyyhkäisyviiva törmää pisteeseen,
|
||||
tapahtuma käsitellään ja tehtävän ratkaisu edistyy.
|
||||
|
||||
Tarkastellaan esimerkkinä tekniikan
|
||||
käyttämisestä tehtävää,
|
||||
jossa yrityksessä on töissä $n$ henkilöä
|
||||
ja jokaisesta henkilöstä tiedetään,
|
||||
milloin hän tuli töihin ja lähti töistä
|
||||
tiettynä päivänä.
|
||||
Tehtävänä on laskea,
|
||||
mikä on suurin määrä henkilöitä,
|
||||
jotka olivat samaan aikaan töissä.
|
||||
|
||||
Tehtävän voi ratkaista mallintamalla tilanteen
|
||||
niin, että jokaista henkilöä vastaa kaksi tapahtumaa:
|
||||
tuloaika töihin ja lähtöaika töistä.
|
||||
Pyyhkäisyviiva käy läpi tapahtumat aikajärjestyksessä
|
||||
ja pitää kirjaa, montako henkilöä oli töissä milloinkin.
|
||||
Esimerkiksi tilannetta
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ccc}
|
||||
henkilö & tuloaika & lähtöaika \\
|
||||
\hline
|
||||
Uolevi & 10 & 15 \\
|
||||
Maija & 6 & 12 \\
|
||||
Kaaleppi & 14 & 16 \\
|
||||
Liisa & 5 & 13 \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
vastaavat seuraavat tapahtumat:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
|
||||
\draw (0,0) rectangle (17,-6.5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (10,-1) -- (15,-1);
|
||||
\path[draw,thick,-] (6,-2.5) -- (12,-2.5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (14,-4) -- (16,-4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (5,-5.5) -- (13,-5.5);
|
||||
|
||||
\draw[fill] (10,-1) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (15,-1) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (6,-2.5) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (12,-2.5) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (14,-4) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (16,-4) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (5,-5.5) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (13,-5.5) circle [radius=0.05];
|
||||
|
||||
\node at (2,-1) {Uolevi};
|
||||
\node at (2,-2.5) {Maija};
|
||||
\node at (2,-4) {Kaaleppi};
|
||||
\node at (2,-5.5) {Liisa};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Pyyhkäisyviiva käy läpi tapahtumat vasemmalta oikealle
|
||||
ja pitää yllä laskuria.
|
||||
Aina kun henkilö tulee töihin, laskurin arvo
|
||||
kasvaa yhdellä, ja kun henkilö lähtee töistä,
|
||||
laskurin arvo vähenee yhdellä.
|
||||
Tehtävän ratkaisu on suurin laskuri arvo
|
||||
pyyhkäisyviivan kulun aikana.
|
||||
|
||||
Pyyhkäisyviiva kulkee seuraavasti tason halki:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
|
||||
\path[draw,thick,->] (0.5,0.5) -- (16.5,0.5);
|
||||
\draw (0,0) rectangle (17,-6.5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (10,-1) -- (15,-1);
|
||||
\path[draw,thick,-] (6,-2.5) -- (12,-2.5);
|
||||
\path[draw,thick,-] (14,-4) -- (16,-4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (5,-5.5) -- (13,-5.5);
|
||||
|
||||
\draw[fill] (10,-1) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (15,-1) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (6,-2.5) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (12,-2.5) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (14,-4) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (16,-4) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (5,-5.5) circle [radius=0.05];
|
||||
\draw[fill] (13,-5.5) circle [radius=0.05];
|
||||
|
||||
\node at (2,-1) {Uolevi};
|
||||
\node at (2,-2.5) {Maija};
|
||||
\node at (2,-4) {Kaaleppi};
|
||||
\node at (2,-5.5) {Liisa};
|
||||
|
||||
\path[draw,dashed] (10,0)--(10,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (15,0)--(15,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (6,0)--(6,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (12,0)--(12,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (14,0)--(14,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (16,0)--(16,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (5,0)--(5,-6.5);
|
||||
\path[draw,dashed] (13,0)--(13,-6.5);
|
||||
|
||||
\node at (10,-7) {$+$};
|
||||
\node at (15,-7) {$-$};
|
||||
\node at (6,-7) {$+$};
|
||||
\node at (12,-7) {$-$};
|
||||
\node at (14,-7) {$+$};
|
||||
\node at (16,-7) {$-$};
|
||||
\node at (5,-7) {$+$};
|
||||
\node at (13,-7) {$-$};
|
||||
|
||||
\node at (10,-8) {$3$};
|
||||
\node at (15,-8) {$1$};
|
||||
\node at (6,-8) {$2$};
|
||||
\node at (12,-8) {$2$};
|
||||
\node at (14,-8) {$2$};
|
||||
\node at (16,-8) {$0$};
|
||||
\node at (5,-8) {$1$};
|
||||
\node at (13,-8) {$1$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Kuvan alareunan merkinnät $+$ ja $-$
|
||||
tarkoittavat, että laskurin arvo kasvaa
|
||||
ja vähenee yhdellä.
|
||||
Niiden alapuolella on laskurin uusi arvo.
|
||||
Laskurin suurin arvo 3 on voimassa
|
||||
Uolevi tulohetken ja Maijan lähtöhetken välillä.
|
||||
|
||||
Ratkaisun aikavaativuus on $O(n \log n)$,
|
||||
koska tapahtumien järjestäminen vie aikaa $O(n \log n)$
|
||||
ja pyyhkäisyviivan läpikäynti vie aikaa $O(n)$.
|
||||
|
||||
\section{Janojen leikkauspisteet}
|
||||
|
||||
\index{leikkauspiste@leikkauspiste}
|
||||
|
||||
Annettuna on $n$ janaa, joista jokainen
|
||||
on vaaka- tai pystysuuntainen.
|
||||
Tehtävänä on laskea tehokkaasti, monessako pisteessä
|
||||
kaksi janaa leikkaavat toisensa.
|
||||
Esimerkiksi tilanteessa
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
|
||||
\path[draw,thick,-] (0,2) -- (5,2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1,4) -- (6,4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (6,3) -- (10,3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2,1) -- (2,6);
|
||||
\path[draw,thick,-] (8,2) -- (8,5);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
leikkauspisteitä on kolme:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
|
||||
\path[draw,thick,-] (0,2) -- (5,2);
|
||||
\path[draw,thick,-] (1,4) -- (6,4);
|
||||
\path[draw,thick,-] (6,3) -- (10,3);
|
||||
\path[draw,thick,-] (2,1) -- (2,6);
|
||||
\path[draw,thick,-] (8,2) -- (8,5);
|
||||
|
||||
\draw[fill] (2,2) circle [radius=0.15];
|
||||
\draw[fill] (2,4) circle [radius=0.15];
|
||||
\draw[fill] (8,3) circle [radius=0.15];
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
|
||||
Tehtävä on helppoa ratkaista ajassa $O(n^2)$,
|
||||
koska riittää käydä läpi kaikki mahdolliset janaparit
|
||||
ja tarkistaa, moniko leikkaa toisiaan.
|
||||
Seuraavaksi ratkaisemme tehtävän
|
||||
ajassa $O(n \log n)$ pyyhkäisyviivan avulla.
|
||||
|
||||
Ideana on luoda janoista kolmenlaisia tapahtumia:
|
||||
\begin{enumerate}[noitemsep]
|
||||
\item[(1)] vaakajana alkaa
|
||||
\item[(2)] vaakajana päättyy
|
||||
\item[(3)] pystyjana
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Esimerkkitilannetta vastaava pistejoukko on seuraava:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
|
||||
\path[draw,dashed] (0,2) -- (5,2);
|
||||
\path[draw,dashed] (1,4) -- (6,4);
|
||||
\path[draw,dashed] (6,3) -- (10,3);
|
||||
\path[draw,dashed] (2,1) -- (2,6);
|
||||
\path[draw,dashed] (8,2) -- (8,5);
|
||||
|
||||
\node at (0,2) {$1$};
|
||||
\node at (5,2) {$2$};
|
||||
\node at (1,4) {$1$};
|
||||
\node at (6,4) {$2$};
|
||||
\node at (6,3) {$1$};
|
||||
\node at (10,3) {$2$};
|
||||
|
||||
\node at (2,3.5) {$3$};
|
||||
\node at (8,3.5) {$3$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Algoritmi käy läpi pisteet vasemmalta oikealle
|
||||
ja pitää yllä tietorakennetta y-koordinaateista,
|
||||
joissa on tällä hetkellä aktiivinen vaakajana.
|
||||
Tapahtuman 1 kohdalla vaakajanan y-koordinaatti
|
||||
lisätään joukkoon ja tapahtuman 2 kohdalla
|
||||
vaakajanan y-koordinaatti poistetaan joukosta.
|
||||
|
||||
Algoritmi laskee janojen leikkauspisteet
|
||||
tapahtumien 3 kohdalla.
|
||||
Kun pystyjana kulkee y-koordinaattien
|
||||
$y_1 \ldots y_2$ välillä,
|
||||
algoritmi laskee tietorakenteesta,
|
||||
monessako vaakajanassa on y-koordinaatti
|
||||
välillä $y_1 \ldots y_2$ ja kasvattaa
|
||||
leikkauspisteiden määrää tällä arvolla.
|
||||
|
||||
Sopiva tietorakenne vaakajanojen y-koordinaattien
|
||||
tallentamiseen on bi\-nää\-ri-indeksipuu tai segmenttipuu,
|
||||
johon on tarvittaessa yhdistetty indeksien pakkaus.
|
||||
Tällöin jokaisen pisteen käsittely
|
||||
vie aikaa $O(\log n)$, joten algoritmin
|
||||
kokonaisaikavaativuus on $O(n \log n)$.
|
||||
|
||||
\section{Lähin pistepari}
|
||||
|
||||
\index{lzhin pistepari@lähin pistepari}
|
||||
|
||||
Seuraava tehtävämme on etsiä $n$ pisteen
|
||||
joukosta kaksi pistettä, jotka ovat
|
||||
mahdollisimman lähellä toisiaan.
|
||||
Esimerkiksi tilanteessa
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0)--(12,0)--(12,4)--(0,4)--(0,0);
|
||||
|
||||
\draw (1,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5.5,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,2.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (9,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (10,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (1.5,3.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (1.5,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2.5,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4.5,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5.25,0.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6.5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
lähin pistepari on seuraava:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0)--(12,0)--(12,4)--(0,4)--(0,0);
|
||||
|
||||
\draw (1,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5.5,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw[fill] (6,2.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (9,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (10,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (1.5,3.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (1.5,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2.5,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4.5,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5.25,0.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw[fill] (6.5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
|
||||
Tämäkin tehtävä ratkeaa
|
||||
$O(n \log n)$-ajassa pyyhkäisyviivan avulla.
|
||||
Algoritmi käy pisteet läpi vasemmalta oikealle
|
||||
ja pitää yllä arvoa $d$,
|
||||
joka on pienin kahden
|
||||
pisteen etäisyys.
|
||||
Kunkin pisteen kohdalla algoritmi
|
||||
etsii lähimmän toisen pisteen vasemmalta.
|
||||
Jos etäisyys tähän pisteeseen on alle $d$,
|
||||
tämä on uusi pienin kahden pisteen etäisyys
|
||||
ja algoritmi päivittää $d$:n arvon.
|
||||
|
||||
Jos käsiteltävä piste on $(x,y)$
|
||||
ja jokin vasemmalla oleva piste on
|
||||
alle $d$:n etäisyydellä,
|
||||
sen x-koordinaatin
|
||||
tulee olla välillä $[x-d,x]$
|
||||
ja y-koordinaatin tulee olla välillä $[y-d,y+d]$.
|
||||
Algoritmin riittää siis tarkistaa
|
||||
ainoastaan pisteet, jotka osuvat tälle välille,
|
||||
mikä tehostaa hakua merkittävästi.
|
||||
|
||||
Esimerkiksi seuraavassa kuvassa
|
||||
katkoviiva-alue sisältää pisteet,
|
||||
jotka voivat olla alle $d$:n etäisyydellä
|
||||
tummennetusta pisteestä.
|
||||
\\
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0)--(12,0)--(12,4)--(0,4)--(0,0);
|
||||
|
||||
\draw (1,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5.5,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,2.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (9,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (10,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (1.5,3.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (1.5,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2.5,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4.5,1.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5.25,0.5) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw[fill] (6.5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw[dashed] (6.5,0.75)--(6.5,3.25);
|
||||
\draw[dashed] (5.25,0.75)--(5.25,3.25);
|
||||
\draw[dashed] (5.25,0.75)--(6.5,0.75);
|
||||
\draw[dashed] (5.25,3.25)--(6.5,3.25);
|
||||
|
||||
\draw [decoration={brace}, decorate, line width=0.3mm] (5.25,3.5) -- (6.5,3.5);
|
||||
\node at (5.875,4) {$d$};
|
||||
\draw [decoration={brace}, decorate, line width=0.3mm] (6.75,3.25) -- (6.75,2);
|
||||
\node at (7.25,2.625) {$d$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Algoritmin tehokkuus perustuu siihen,
|
||||
että $d$:n rajoittamalla alueella
|
||||
on aina vain $O(1)$ pistettä.
|
||||
Nämä pisteet pystyy käymään läpi
|
||||
$O(\log n)$-aikaisesti
|
||||
pitämällä algoritmin aikana yllä joukkoa pisteistä,
|
||||
joiden x-koordinaatti on välillä $[x-d,x]$
|
||||
ja jotka on järjestetty y-koordinaatin mukaan.
|
||||
|
||||
Algoritmin aikavaativuus on $O(n \log n)$,
|
||||
koska se käy läpi $n$ pistettä
|
||||
ja etsii jokaiselle lähimmän
|
||||
edeltävän pisteen ajassa $O(\log n)$.
|
||||
|
||||
\section{Konveksi peite}
|
||||
|
||||
\key{Konveksi peite}
|
||||
on pienin konveksi monikulmio,
|
||||
joka ympäröi kaikki pistejoukon pisteet.
|
||||
Konveksius tarkoittaa,
|
||||
että minkä tahansa kahden kärkipisteen välinen jana
|
||||
kulkee monikulmion sisällä.
|
||||
Hyvä mielikuva asiasta on,
|
||||
että pistejoukko ympäröidään tiukasti
|
||||
viritetyllä narulla.
|
||||
|
||||
\begin{samepage}
|
||||
Esimerkiksi pistejoukon
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{samepage}
|
||||
konveksi peite on seuraava:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\draw (0,0)--(4,-1)--(7,1)--(6,3)--(2,4)--(0,2)--(0,0);
|
||||
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\index{Andrew'n algoritmi}
|
||||
|
||||
Tehokas ja helposti toteutettava menetelmä
|
||||
konveksin peitteen muodostamiseen
|
||||
on \key{Andrew'n algoritmi},
|
||||
jonka aikavaativuus on $O(n \log n)$.
|
||||
Algoritmi muodostaa konveksin peitteen kahdessa
|
||||
osassa: ensin peitteen yläosan ja sitten peitteen alaosan.
|
||||
Kummankin osan muodostaminen tapahtuu samalla tavalla,
|
||||
minkä vuoksi voimme keskittyä yläosan muodostamiseen.
|
||||
|
||||
Algoritmi järjestää ensin pisteet ensisijaisesti x-koordinaatin
|
||||
ja toissijaisesti y-koordinaatin mukaan.
|
||||
Tämän jälkeen se käy pisteet läpi järjestyksessä
|
||||
ja lisää aina uuden pisteen osaksi peitettä.
|
||||
Aina pisteen lisäämisen jälkeen algoritmi tarkastaa
|
||||
ristitulon avulla,
|
||||
muodostavatko kolme viimeistä pistettä peitteessä
|
||||
vasemmalle kääntyvän osan.
|
||||
Jos näin on,
|
||||
algoritmi poistaa näistä keskimmäisen pisteen.
|
||||
Tämän jälkeen algoritmi tarkastaa uudestaan
|
||||
kolme viimeistä pistettä ja poistaa taas tarvittaessa
|
||||
keskimmäisen pisteen.
|
||||
Sama jatkuu, kunnes kolme viimeistä pistettä
|
||||
eivät muodosta vasemmalle kääntyvää osaa.
|
||||
|
||||
Seuraava kuvasarja esittää Andrew'n algoritmin toimintaa:
|
||||
\\
|
||||
\begin{tabular}{ccccccc}
|
||||
\\
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(1,1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(1,1)--(2,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
1 & & 2 & & 3 & & 4 \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\\
|
||||
\begin{tabular}{ccccccc}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,2)--(2,4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,-1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
5 & & 6 & & 7 & & 8 \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\\
|
||||
\begin{tabular}{ccccccc}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,-1)--(4,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,0)--(4,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
9 & & 10 & & 11 & & 12 \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\\
|
||||
\begin{tabular}{ccccccc}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(4,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(4,3)--(5,2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(4,3)--(5,2)--(6,1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(4,3)--(5,2)--(6,1)--(6,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
13 & & 14 & & 15 & & 16 \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\\
|
||||
\begin{tabular}{ccccccc}
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(4,3)--(5,2)--(6,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(4,3)--(6,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(6,3);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
& \hspace{0.1cm} &
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
|
||||
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
|
||||
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (0,2) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (1,1) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
|
||||
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
|
||||
|
||||
\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(6,3)--(7,1);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\\
|
||||
17 & & 18 & & 19 & & 20
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue