From d348ef22ce66e64bbcb1506472e2c2af2f7a9f93 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Antti H S Laaksonen Date: Wed, 11 Jan 2017 19:56:44 +0200 Subject: [PATCH] Primes and factors --- luku21.tex | 444 ++++++++++++++++++++++++++--------------------------- 1 file changed, 221 insertions(+), 223 deletions(-) diff --git a/luku21.tex b/luku21.tex index f4c973d..f5279d7 100644 --- a/luku21.tex +++ b/luku21.tex @@ -1,19 +1,19 @@ \chapter{Number theory} -\index{lukuteoria@lukuteoria} +\index{number theory} -\key{Lukuteoria} on kokonaislukuja tutkiva -matematiikan ala, jonka keskeinen -käsite on lukujen jaollisuus. -Lukuteoriassa on kiehtovaa, että monet kokonaislukuihin -liittyvät kysymykset ovat hyvin vaikeita ratkaista, -vaikka ne saattavat näyttää päältä päin yksinkertaisilta. +\key{Number theory} is a branch of mathematics +that studies integers. +Number theory is a fascinating field, +because many questions involving integers +are very difficult to solve even if they +seem simple at first glance. -Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa yhtälöä: +As an example, let's consider the following equation: \[x^3 + y^3 + z^3 = 33\] -On helppoa löytää kolme reaalilukua $x$, $y$ ja $z$, -jotka toteuttavat yhtälön. Voimme valita -esimerkiksi +It's easy to find three real numbers $x$, $y$ and $z$ +that satisfy the equation. +For example, we can choose \[ \begin{array}{lcl} x = 3, \\ @@ -21,152 +21,151 @@ y = \sqrt[3]{3}, \\ z = \sqrt[3]{3}.\\ \end{array} \] -Sen sijaan kukaan ei tiedä, onko olemassa -kolmea \emph{kokonaislukua} $x$, $y$ ja $z$, -jotka toteuttaisivat yhtälön, vaan kyseessä -on avoin lukuteorian ongelma. +However, nobody knows if there are any three +\emph{integers} $x$, $y$ and $z$ +that would satisfy the equation, but this +is an open problem in number theory. -Tässä luvussa tutustumme lukuteorian peruskäsitteisiin ja --algoritmeihin. -Lähdemme liikkeelle lukujen jaollisuudesta, -johon liittyvät keskeiset algoritmit ovat -alkuluvun tarkastaminen sekä luvun jakaminen tekijöihin. +In this chapter, we will focus on basic concepts +and algorithms in number theory. +We will start by discussing divisibility of numbers +and important algorithms for primality testing +and factorization. -\section{Alkuluvut ja tekijät} +\section{Primes and factors} -\index{jaollisuus@jaollisuus} -\index{jakaja@jakaja} -\index{tekijx@tekijä} +\index{divisibility} +\index{factor} +\index{divisor} -Luku $a$ on luvun $b$ \key{jakaja} eli \key{tekijä}, -jos $b$ on jaollinen $a$:lla. -Jos $a$ on $b$:n jakaja, -niin merkitään $a \mid b$, -ja muuten merkitään $a \nmid b$. -Esimerkiksi luvun 24 jakajat ovat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24. -\index{alkuluku@alkuluku} -\index{alkutekijxhajotelma@alkutekijähajotelma} +A number $a$ is a \key{factor} or \key{divisor} of a number $b$ +if $b$ is divisible by $a$. +If $a$ is a factor of $b$, +we write $a \mid b$, and otherwise we write $a \nmid b$. +For example, the factors of the number 24 are +1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 and 24. -Luku $n$ on \key{alkuluku}, jos sen ainoat -positiiviset jakajat ovat 1 ja $n$. -Esimerkiksi luvut 7, 19 ja 41 ovat alkulukuja. -Luku 35 taas ei ole alkuluku, koska se voidaan -jakaa tekijöihin $5 \cdot 7 = 35$. -Jokaiselle luvulle $n>1$ on olemassa yksikäsitteinen -\key{alkutekijähajotelma} +\index{prime} +\index{prime decomposition} + +A number $n>1$ is a \key{prime} +if its only positive factors are 1 and $n$. +For example, the numbers 7, 19 and 41 are primes. +The number 35 is not a prime because it can be +divided into factors $5 \cdot 7 = 35$. +For each number $n>1$, there is a unique +\key{prime factorization} \[ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k},\] -missä $p_1,p_2,\ldots,p_k$ ovat alkulukuja -ja $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ ovat positiivisia -lukuja. Esimerkiksi luvun 84 alkutekijähajotelma on +where $p_1,p_2,\ldots,p_k$ are primes and +$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ are positive numbers. +For example, the prime factorization for the number 84 is \[84 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1.\] -Luvun $n$ \key{jakajien määrä} on +The \key{number of factors} of a number $n$ is \[\tau(n)=\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1),\] -koska alkutekijän $p_i$ kohdalla on $\alpha_i+1$ -tapaa valita, montako kertaa alkutekijä -esiintyy jakajassa. -Esimerkiksi luvun 84 jakajien määrä -on $\tau(84)=3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$. -Jakajat ovat -1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 ja 84. +because for each prime $p_i$, there are +$\alpha_i+1$ ways to choose how many times +it appears in the factor. +For example, the number of factors +of the number 84 is +$\tau(84)=3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$. +The factors are +1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 and 84. -Luvun $n$ \key{jakajien summa} on +The \key{sum of factors} of $n$ is \[\sigma(n)=\prod_{i=1}^k (1+p_i+\ldots+p_i^{\alpha_i}) = \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1},\] -missä jälkimmäinen muoto perustuu geometriseen summaan. -Esimerkiksi luvun 84 jakajien summa on +where the latter form is based on the geometric sum formula. +For example, the sum of factors of the number 84 is \[\sigma(84)=\frac{2^3-1}{2-1} \cdot \frac{3^2-1}{3-1} \cdot \frac{7^2-1}{7-1} = 7 \cdot 4 \cdot 8 = 224.\] -Luvun $n$ \key{jakajien tulo} on +The \key{product of factors} of $n$ is \[\mu(n)=n^{\tau(n)/2},\] -koska jakajista voidaan muodostaa -$\tau(n)/2$ paria, joiden jokaisen tulona on $n$. -Esimerkiksi luvun 84 jakajista muodostuvat parit -$1 \cdot 84$, $2 \cdot 42$, $3 \cdot 28$, jne., -ja jakajien tulo on $\mu(84)=84^6=351298031616$. +because we can form $\tau(n)/2$ pairs from the factors, +each with product $n$. +For example, the factors of the number 84 +produce the pairs +$1 \cdot 84$, $2 \cdot 42$, $3 \cdot 28$, etc., +and the product of the factors is $\mu(84)=84^6=351298031616$. -%\index{tzydellinen luku@täydellinen luku} -\index{txydellinen luku@täydellinen luku} +\index{perfect number} -Luku $n$ on \key{täydellinen}, jos $n=\sigma(n)-n$ -eli luku on yhtä suuri kuin summa sen jakajista -välillä $1 \ldots n-1$. -Esimerkiksi luku 28 on täydellinen, koska -se muodostuu summana $1+2+4+7+14$. +A number $n$ is \key{perfect} if $n=\sigma(n)-n$, +i.e., the number equals the sum of its divisors +between $1 \ldots n-1$. +For example, the number 28 is perfect because +it equals the sum $1+2+4+7+14$. -\subsubsection{Alkulukujen määrä} +\subsubsection{Number of primes} -On helppoa osoittaa, että alkulukuja on äärettömästi. -Jos nimittäin alkulukuja olisi äärellinen määrä, -voisimme muodostaa joukon $P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$, -joka sisältää kaikki alkuluvut. -Esimerkiksi $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, jne. -Nyt kuitenkin voisimme muodostaa uuden alkuluvun -\[p_1 p_2 \cdots p_n+1,\] -joka on kaikkia $P$:n lukuja suurempi. -Koska tätä lukua ei ole joukossa $P$, -syntyy ristiriita ja alkulukujen määrän on -pakko olla ääretön. +It is easy to show that there is an infinite number +of primes. +If the number would be finite, +we could construct a set $P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$ +that contains all the primes. +For example, $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, and so on. +However, using this set, we could form a new prime +\[p_1 p_2 \cdots p_n+1\] +that is larger than all elements in $P$. +This is a contradiction, and the number of the primes +has to be infinite. -\subsubsection{Alkulukujen tiheys} +\subsubsection{Density of primes} -Alkulukujen tiheys tarkoittaa, kuinka usein alkulukuja -esiintyy muiden lukujen joukossa. -Merkitään funktiolla $\pi(n)$, -montako alkulukua on välillä $1 \ldots n$. -Esimerkiksi $\pi(10)=4$, koska välillä $1 \ldots 10$ -on alkuluvut 2, 3, 5 ja 7. +The density of primes means how often there are primes +among the numbers. +Let $\pi(n)$ denote the number of primes between +$1 \ldots n$. For example, $\pi(10)=4$ because +there are 4 primes between $1 \ldots 10$: 2, 3, 5 and 7. -On mahdollista osoittaa, että +It's possible to show that \[\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n},\] -mikä tarkoittaa, että alkulukuja esiintyy -varsin usein. Esimerkiksi alkulukujen määrä -välillä $1 \ldots 10^6$ on $\pi(10^6)=78498$ -ja $10^6 / \ln 10^6 \approx 72382$. +which means that primes appear quite often. +For example, the number of primes between +$1 \ldots 10^6$ is $\pi(10^6)=78498$, +and $10^6 / \ln 10^6 \approx 72382$. -\subsubsection{Konjektuureja} +\subsubsection{Conjectures} -Alkulukuihin liittyy useita \emph{konjektuureja} -eli lauseita, joiden uskotaan olevan tosia mutta -joita kukaan ei ole onnistunut todistamaan tähän mennessä. -Kuuluisia konjektuureja ovat seuraavat: +There are many \emph{conjectures} involving primes. +Most people think that the conjectures are true, +but nobody has been able to prove them. +For example, the following conjectures are famous: \begin{itemize} -\index{Goldbachin konjektuuri@Goldbachin konjektuuri} -\item \key{Goldbachin konjektuuri}: -Jokainen parillinen kokonaisluku $n>2$ voidaan esittää -muodossa $n=a+b$ niin, että $a$ ja $b$ -ovat alkulukuja. -\index{alkulukupari@alkulukupari} -\item \key{Alkulukuparit}: -On olemassa äärettömästi pareja muotoa $\{p,p+2\}$, -joissa sekä $p$ että $p+2$ on alkuluku. -\index{Legendren konjektuuri@Legendren konjektuuri} -\item \key{Legendren konjektuuri}: -Lukujen $n^2$ ja $(n+1)^2$ välillä on aina alkuluku, -kun $n$ on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. +\index{Goldbach's conjecture} +\item \key{Goldbach's conjecture}: +Each even integer $n>2$ can be represented as a +sum $n=a+b$ so that both $a$ and $b$ are primes. +\index{twin prime} +\item \key{twin prime}: +There is an infinite number of pairs +of the form $\{p,p+2\}$, +where both $p$ and $p+2$ are primes. +\index{Legendre's conjecture} +\item \key{Legendre's conjecture}: +There is always a prime between numbers +$n^2$ and $(n+1)^2$, where $n$ is any positive integer. \end{itemize} -\subsubsection{Perusalgoritmit} +\subsubsection{Basic algorithms} -Jos luku $n$ ei ole alkuluku, -niin sen voi esittää muodossa $a \cdot b$, -missä $a \le \sqrt n$ tai $b \le \sqrt n$, -minkä ansiosta sillä on varmasti -tekijä välillä $2 \ldots \sqrt n$. -Tämän havainnon avulla voi tarkastaa ajassa $O(\sqrt n)$, -onko luku alkuluku, -sekä myös selvittää ajassa $O(\sqrt n)$ -luvun alkutekijät. +If a number $n$ is not prime, +it can be represented as a product $a \cdot b$, +where $a \le \sqrt n$ or $b \le \sqrt n$, +so it certainly has a factor between $2 \ldots \sqrt n$. +Using this observation, we can both test +if a number is prime and find the prime factorization +of a number in $O(\sqrt n)$ time. -Seuraava funktio \texttt{alkuluku} tutkii, -onko annettu luku $n$ alkuluku. -Funktio koettaa jakaa lukua kaikilla luvuilla -välillä $2 \ldots \sqrt n$, ja jos mikään -luvuista ei jaa $n$:ää, niin $n$ on alkuluku. +The following function \texttt{prime} checks +if the given number $n$ is prime. +The function tries to divide the number by +all numbers between $2 \ldots \sqrt n$, +and if none of them divides $n$, then $n$ is prime. \begin{lstlisting} -bool alkuluku(int n) { +bool prime(int n) { if (n < 2) return false; for (int x = 2; x*x <= n; x++) { if (n%x == 0) return false; @@ -176,17 +175,17 @@ bool alkuluku(int n) { \end{lstlisting} \noindent -Seuraava funktio \texttt{tekijat} muodostaa -vektorin, joka sisältää luvun $n$ -alkutekijät. -Funktio jakaa $n$:ää sen alkutekijöillä ja lisää -niitä samaan aikaan vektoriin. -Prosessi päättyy, kun jäljellä on luku $n$, -jolla ei ole tekijää välillä $2 \ldots \sqrt n$. -Jos $n>1$, se on alkuluku ja viimeinen tekijä. +The following function \texttt{factors} +constructs a vector that contains the prime +factorization of $n$. +The function divides $n$ by its prime factors, +and adds them to the vector. +The process ends when the remaining number $n$ +has no factors between $2 \ldots \sqrt n$. +If $n>1$, it is prime and the last factor. \begin{lstlisting} -vector tekijat(int n) { +vector factors(int n) { vector f; for (int x = 2; x*x <= n; x++) { while (n%x == 0) { @@ -199,42 +198,36 @@ vector tekijat(int n) { } \end{lstlisting} -Huomaa, että funktio lisää jokaisen -alkutekijän vektoriin -niin monta kertaa, kuin kyseinen -alkutekijä jakaa luvun. -Esimerkiksi $24=2^3 \cdot 3$, -joten funktio muodostaa vektorin $[2,2,2,3]$. +Note that each prime factor appears in the vector +as many times as it divides the number. +For example, $24=2^3 \cdot 3$, +so the result of the function is $[2,2,2,3]$. -\subsubsection{Eratostheneen seula} +\subsubsection{Sieve of Eratosthenes} -\index{Eratostheneen seula@Eratostheneen seula} +\index{sieve of Eratosthenes} -\key{Eratostheneen seula} on esilaskenta-algoritmi, -jonka suorituksen jälkeen mistä tahansa -välin $2 \ldots n$ luvusta pystyy tarkastamaan -nopeasti, onko se alkuluku, -sekä etsimään yhden luvun alkutekijän, -jos luku ei ole alkuluku. +The \key{sieve of Eratosthenes} is a preprocessing +algorithm that builds an array using which we +can efficiently check if a given number between $2 \ldots n$ +is prime and find one prime factor of the number. -Algoritmi luo taulukon $\texttt{a}$, -jossa on käytössä indeksit $2,3,\ldots,n$. -Taulukossa $\texttt{a}[k]=0$ tarkoittaa, -että $k$ on alkuluku, -ja $\texttt{a}[k] \neq 0$ tarkoittaa, -että $k$ ei ole alkuluku. -Jälkimmäisessä tapauksessa $\texttt{a}[k]$ -on yksi $k$:n alkutekijöistä. +The algorithm builds an array $\texttt{a}$ +where indices $2,3,\ldots,n$ are used. +The value $\texttt{a}[k]=0$ means +that $k$ is prime, +and the value $\texttt{a}[k] \neq 0$ +means that $k$ is not a prime but one +of its prime factors is $\texttt{a}[k]$. -Algoritmi käy läpi välin -$2 \ldots n$ luvut yksi kerrallaan. -Aina kun vastaan tulee uusi alkuluku $x$, -niin algoritmi merkitsee taulukkoon, että $x$:n moninkerrat -$2x,3x,4x,\ldots$ eivät ole alkulukuja, -koska niillä on alkutekijä $x$. +The algorithm iterates through the numbers +$2 \ldots n$ one by one. +Always when a new prime $x$ is found, +the algorithm records that the multiples +of $x$ ($2x,3x,4x,\ldots$) are not primes +because the number $x$ divides them. -Esimerkiksi jos $n=20$, -taulukosta tulee: +For example, if $n=20$, the array becomes: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] @@ -285,10 +278,10 @@ taulukosta tulee: \end{tikzpicture} \end{center} -Seuraava koodi toteuttaa -Eratostheneen seulan. -Koodi olettaa, että jokainen taulukon \texttt{a} -alkio on aluksi 0. +The following code implements the sieve of +Eratosthenes. +The code assumes that each element in +\texttt{a} is initially zero. \begin{lstlisting} for (int x = 2; x <= n; x++) { @@ -299,80 +292,85 @@ for (int x = 2; x <= n; x++) { } \end{lstlisting} -Algoritmin sisäsilmukka suoritetaan -$n/x$ kertaa tietyllä $x$:n arvolla, -joten yläraja algoritmin ajankäytölle -on harmoninen summa +The inner loop of the algorithm will be executed +$n/x$ times for any $x$. +Thus, an upper bound for the running time +of the algorithm is the harmonic sum -\index{harmoninen summa@harmoninen summa} +\index{harmonic sum} \[\sum_{x=2}^n n/x = n/2 + n/3 + n/4 + \cdots + n/n = O(n \log n).\] -Todellisuudessa algoritmi on vielä nopeampi, -koska sisäsilmukka suoritetaan vain, -jos luku $x$ on alkuluku. -Voidaan osoittaa, että algoritmin aikavaativuus -on vain $O(n \log \log n)$ eli hyvin lähellä vaativuutta $O(n)$. +In fact, the algorithm is even more efficient +because the inner loop will be executed only if +the number $x$ is prime. +It can be shown that the time complexity of the +algorithm is only $O(n \log \log n)$ +that is very near to $O(n)$. -\subsubsection{Eukleideen algoritmi} +\subsubsection{Euclid's algorithm} -\index{suurin yhteinen tekijx@suurin yhteinen tekijä} -\index{pienin yhteinen moninkerta@pienin yhteinen moninkerta} -\index{Eukleideen algoritmi@Eukleideen algoritmi} +\index{greatest common divisor} +\index{least common multiple} +\index{Euclid's algorithm} -Lukujen $a$ ja $b$ \key{suurin yhteinen tekijä} eli $\textrm{syt}(a,b)$ -on suurin luku, jolla sekä $a$ että $b$ on jaollinen. -Lukujen $a$ ja $b$ \key{pienin yhteinen moninkerta} eli $\textrm{pym}(a,b)$ -on puolestaan pienin luku, joka on jaollinen sekä $a$:lla että $b$:llä. -Esimerkiksi $\textrm{syt}(24,36)=12$ ja -$\textrm{pym}(24,36)=72$. +The \key{greatest common divisor} of +numbers $a$ and $b$, $\gcd(a,b)$, +is the greatest number that divides both $a$ and $b$, +and the \key{least common multiple} of +$a$ and $b$, $\textrm{lcm}(a,b)$, +is the smallest number that is divisible by +both $a$ and $b$. +For example, +$\gcd(24,36)=12$ and +$\textrm{lcm}(24,36)=72$. -Suurimman yhteisen tekijän ja pienimmän yhteisen -moninkerran välillä on yhteys -\[\textrm{pym}(a,b)=\frac{ab}{\textrm{syt}(a,b)}.\] +The greatest common divisor and the least common multiple +are connected as follows: +\[\textrm{lcm}(a,b)=\frac{ab}{\textrm{gcd}(a,b)}\] -\key{Eukleideen algoritmi} on tehokas tapa etsiä -suurin yhteinen tekijä. -Se laskee suurimman yhteisen tekijän kaavalla +\key{Euclid's algorithm} provides an efficient way +to find the greatest common divisor of two numbers. +The algorithm is based on the formula \begin{equation*} - \textrm{syt}(a,b) = \begin{cases} + \textrm{gcd}(a,b) = \begin{cases} a & b = 0\\ - \textrm{syt}(b,a \bmod b) & b \neq 0\\ + \textrm{gcd}(b,a \bmod b) & b \neq 0\\ \end{cases} \end{equation*} -Esimerkiksi -\[\textrm{syt}(24,36) = \textrm{syt}(36,24) -= \textrm{syt}(24,12) = \textrm{syt}(12,0)=12.\] -Eukleideen algoritmin aikavaativuus -on $O(\log n)$, kun $n=\min(a,b)$. -Pahin tapaus algoritmille on, jos luvut ovat -peräkkäiset Fibonaccin luvut. -Silloin algoritmi käy läpi kaikki pienemmät -peräkkäiset Fibonaccin luvut. -Esimerkiksi -\[\textrm{syt}(13,8)=\textrm{syt}(8,5) -=\textrm{syt}(5,3)=\textrm{syt}(3,2)=\textrm{syt}(2,1)=\textrm{syt}(1,0)=1.\] +For example, +\[\textrm{gcd}(24,36) = \textrm{gcd}(36,24) += \textrm{gcd}(24,12) = \textrm{gcd}(12,0)=12.\] +The time complexity of Euclid's algorithm +is $O(\log n)$ where $n=\min(a,b)$. +The worst case is when +$a$ and $b$ are successive Fibonacci numbers. +In this case, the algorithm goes through +all smaller Fibonacci numbers. +For example, +\[\textrm{gcd}(13,8)=\textrm{gcd}(8,5) +=\textrm{gcd}(5,3)=\textrm{gcd}(3,2)=\textrm{gcd}(2,1)=\textrm{gcd}(1,0)=1.\] -\subsubsection{Eulerin totienttifunktio} +\subsubsection{Euler's totient function} -\index{suhteellinen alkuluku@suhteellinen alkuluku} -\index{Eulerin totienttifunktio@Eulerin totienttifunktio} +\index{coprime} +\index{Euler's totient function} -Luvut $a$ ja $b$ ovat suhteelliset alkuluvut, -jos $\textrm{syt}(a,b)=1$. -\key{Eulerin totienttifunktio} $\varphi(n)$ -laskee luvun $n$ suhteellisten alkulukujen -määrän välillä $1 \ldots n$. -Esimerkiksi $\varphi(12)=4$, -koska luvut 1, 5, 7 ja 11 ovat suhteellisia -alkulukuja luvun 12:n kanssa. +Numbers $a$ and $b$ are coprime +if $\textrm{gcd}(a,b)=1$. +\key{Euler's totient function} $\varphi(n)$ +returns the number of coprime numbers to $n$ +between $1 \ldots n$. +For example, $\varphi(12)=4$, +because the numbers 1, 5, 7 and 11 +are coprime to the number 12. -Totienttifunktion arvon $\varphi(n)$ pystyy laskemaan -luvun $n$ alkutekijähajotelmasta kaavalla +The value of $\varphi(n)$ can be calculated +using the prime factorization of $n$ +by the formula \[ \varphi(n) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1). \] -Esimerkiksi $\varphi(12)=2^1 \cdot (2-1) \cdot 3^0 \cdot (3-1)=4$. -Huomaa myös, että $\varphi(n)=n-1$, -jos $n$ on alkuluku. +For example, $\varphi(12)=2^1 \cdot (2-1) \cdot 3^0 \cdot (3-1)=4$. +Note that $\varphi(n)=n-1$ if $n$ is prime. \section{Modulolaskenta}