diff --git a/luku27.tex b/luku27.tex index 1d46b0c..599a786 100644 --- a/luku27.tex +++ b/luku27.tex @@ -1,37 +1,37 @@ \chapter{Square root algorithms} -\index{nelizjuurialgoritmi@neliöjuurialgoritmi} +\index{square root algorithm} -\key{Neliöjuurialgoritmi} on algoritmi, -jonka aikavaativuudessa esiintyy neliöjuuri. -Neliöjuurta voi ajatella ''köyhän miehen logaritmina'': -aikavaativuus $O(\sqrt n)$ on parempi kuin $O(n)$ -mutta huonompi kuin $O(\log n)$. -Toisaalta neliöjuurialgoritmit toimivat -käytännössä hyvin ja niiden vakiokertoimet ovat pieniä. +A \key{square root algorithm} is an algorithm +that has a square root in its time complexity. +A square root can be seen as a ''poor man's logarithm'': +the complexity $O(\sqrt n)$ is better than $O(n)$ +but worse than $O(\log n)$. +Still, many square root algorithms are fast in practice +and have small constant factors. -Tarkastellaan esimerkkinä tuttua ongelmaa, -jossa toteutettavana on summakysely taulukkoon. -Halutut operaatiot ovat: +As an example, let's consider the problem of +handling sum queries in an array. +The required operations are: \begin{itemize} -\item muuta kohdassa $x$ olevaa lukua -\item laske välin $[a,b]$ lukujen summa +\item change the value at index $x$ +\item calculate the sum in the range $[a,b]$ \end{itemize} -Olemme aiemmin ratkaisseet tehtävän -binääri-indeksipuun ja segmenttipuun avulla, -jolloin kummankin operaation aikavaativuus on $O(\log n)$. -Nyt ratkaisemme tehtävän toisella -tavalla neliöjuurirakennetta käyttäen, -jolloin summan laskenta vie aikaa $O(\sqrt n)$ -ja luvun muuttaminen vie aikaa $O(1)$. +We have previously solved the problem using +a binary indexed tree and a segment tree, +that support both operations in $O(\log n)$ time. +However, now we will solve the problem +in another way using a square root structure +so that we can calculate sums in $O(\sqrt n)$ time +and modify values in $O(1)$ time. -Ideana on jakaa taulukko $\sqrt n$-kokoisiin -väleihin niin, että jokaiseen väliin -tallennetaan lukujen summa välillä. -Seuraavassa on esimerkki taulukosta ja -sitä vastaavista $\sqrt n$-väleistä: +The idea is to divide the array into segments +of size $\sqrt n$ so that each segment contains +the sum of values inside the segment. +The following example shows an array and the +corresponding segments: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] @@ -67,9 +67,9 @@ sitä vastaavista $\sqrt n$-väleistä: \end{tikzpicture} \end{center} -Kun taulukon luku muuttuu, -tämän yhteydessä täytyy laskea uusi summa -vastaavalle $\sqrt n$-välille: +When a value in the array changes, +we have to calculate the sum in the corresponding +segment again: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] @@ -107,9 +107,9 @@ vastaavalle $\sqrt n$-välille: \end{tikzpicture} \end{center} -Välin summan laskeminen taas tapahtuu muodostamalla -summa reunoissa olevista yksittäisistä luvuista -sekä keskellä olevista $\sqrt n$-väleistä: +Any sum in the array can be calculated as a combination +of single values in the array and the sums of the +segments between them: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] @@ -152,207 +152,213 @@ sekä keskellä olevista $\sqrt n$-väleistä: \end{tikzpicture} \end{center} -Luvun muuttamisen aikavaativuus on -$O(1)$, koska riittää muuttaa yhden $\sqrt n$-välin summaa. -Välin summa taas lasketaan kolmessa osassa: +We can change a value in $O(1)$ time, +because we only have to change the sum of a single segment. +A sum in a range consists of three parts: \begin{itemize} -\item vasemmassa reunassa on $O(\sqrt n)$ yksittäistä lukua -\item keskellä on $O(\sqrt n)$ peräkkäistä $\sqrt n$-väliä -\item oikeassa reunassa on $O(\sqrt n)$ yksittäistä lukua +\item first, there are $O(\sqrt n)$ single values +\item then, there are $O(\sqrt n)$ consecutive segments +\item finally, there are $O(\sqrt n)$ single values \end{itemize} -Jokaisen osan summan laskeminen vie aikaa $O(\sqrt n)$, -joten summan laskemisen aikavaativuus on yhteensä $O(\sqrt n)$. +Calculating each sum takes $O(\sqrt n)$ time, +so the total complexity for calculating the sum +of values in any range is $O(\sqrt n)$. -Neliöjuurialgoritmeissa parametri $\sqrt n$ -johtuu siitä, että se saattaa kaksi asiaa tasapainoon: -esimerkiksi $n$ alkion taulukko jakautuu -$\sqrt n$ osaan, joista jokaisessa on $\sqrt n$ alkiota. -Käytännössä algoritmeissa -ei ole kuitenkaan pakko käyttää -tarkalleen parametria $\sqrt n$, -vaan voi olla parempi valita toiseksi -parametriksi $k$ ja toiseksi $n/k$, -missä $k$ on pienempi tai suurempi kuin $\sqrt n$. +The reason why we use the parameter $\sqrt n$ is that +it balances two things: +for example, an array of $n$ elements is divided +into $\sqrt n$ segments, each of which contains +$\sqrt n$ elements. +In practice, it is not needed to use exactly +the parameter $\sqrt n$ in algorithms, but it may be better to +use parameters $k$ and $n/k$ where $k$ is +larger or smaller than $\sqrt n$. -Paras parametri selviää usein kokeilemalla -ja riippuu tehtävästä ja syötteestä. -Esimerkiksi jos taulukkoa käsittelevä algoritmi -käy usein läpi välit mutta harvoin välin sisällä -olevia alkioita, taulukko voi olla järkevää -jakaa $k < \sqrt n$ väliin, -joista jokaisella on $n/k > \sqrt n$ alkiota. +The best parameter depends on the problem +and input. +For example, if an algorithm often goes through +segments but rarely iterates the elements inside +the segments, it may be good to divide the array into +$k < \sqrt n$ segments, each of which contains $n/k > \sqrt n$ +elements. -\section{Eräkäsittely} +\section{Batch processing} -\index{erxkxsittely@eräkäsittely} +\index{batch processing} -\key{Eräkäsittelyssä} algoritmin suorittamat -operaatiot jaetaan eriin, -jotka käsitellään omina kokonaisuuksina. -Erien välissä tehdään yksittäinen työläs toimenpide, -joka auttaa tulevien operaatioiden käsittelyä. +In \key{batch processing}, the operations in the +algorithm are divided into batches, +and each batch will be processed separately. +Between the batches some precalculation is done +to process the future operations more efficiently. -Neliöjuurialgoritmi syntyy, kun $n$ operaatiota -jaetaan $O(\sqrt n)$-kokoisiin eriin, -jolloin sekä eriä että operaatioita kunkin erän -sisällä on $O(\sqrt n)$. -Tämä tasapainottaa sitä, miten usein erien välinen -työläs toimenpide tapahtuu sekä miten paljon työtä -erän sisällä täytyy tehdä. +In a square root algorithm, $n$ operations are +divided into batches of size $O(\sqrt n)$, +and the number of both batches and operations in each +batch is $O(\sqrt n)$. +This balances the precalculation time between +the batches and the time needed for processing +the batches. -Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää, jossa -ruudukossa on $k \times k$ ruutua, -jotka ovat aluksi valkoisia. -Tehtävänä on suorittaa ruudukkoon -$n$ operaatiota, -joista jokainen on jompikumpi seuraavista: +As an example, let's consider a problem +where a grid of size $k \times k$ +initially consists of white squares. +Our task is to perform $n$ operations, +each of which is one of the following: \begin{itemize} \item -väritä ruutu $(y,x)$ mustaksi +paint square $(y,x)$ black \item -etsi ruudusta $(y,x)$ lähin -musta ruutu, kun -ruutujen $(y_1,x_1)$ ja $(y_2,x_2)$ -etäisyys on $|y_1-y_2|+|x_1-x_2|$ +find the nearest black square to +square $(y,x)$ where the distance +between squares $(y_1,x_1)$ and $(y_2,x_2)$ +is $|y_1-y_2|+|x_1-x_2|$ \end{itemize} -Ratkaisuna on jakaa operaatiot $O(\sqrt n)$ erään, -joista jokaisessa on $O(\sqrt n)$ operaatiota. -Kunkin erän alussa jokaiseen ruudukon ruutuun -lasketaan pienin etäisyys mustaan ruutuun. -Tämä onnistuu ajassa $O(k^2)$ leveyshaun avulla. +The solution is to divide the operations into +$O(\sqrt n)$ batches, each of which consists +of $O(\sqrt n)$ operations. +At the beginning of each batch, +we calculate for each square in the grid +the smallest distance to a black square. +This can be done in $O(k^2)$ time using breadth-first search. -Kunkin erän käsittelyssä pidetään yllä listaa ruuduista, -jotka on muutettu mustaksi tässä erässä. -Nyt etäisyys ruudusta lähimpään mustaan ruutuun -on joko erän alussa laskettu etäisyys tai sitten -etäisyys johonkin listassa olevaan tämän erän aikana mustaksi -muutettuun ruutuun. +When processing a batch, we maintain a list of squares +that have been painted black in the current batch. +Now, the distance from a square to the nearest black +square is either the precalculated distance or the distance +to a square that has been painted black in the current batch. -Algoritmi vie aikaa $O((k^2+n) \sqrt n)$, -koska erien välissä tehdään $O(\sqrt n)$ kertaa -$O(k^2)$-aikainen läpikäynti, ja -erissä käsitellään yhteensä $O(n)$ solmua, -joista jokaisen kohdalla käydään läpi -$O(\sqrt n)$ solmua listasta. +The algorithm works in +$O((k^2+n) \sqrt n)$ time. +First, between the batches, +there are $O(\sqrt n)$ searches that each take +$O(k^2)$ time. +Second, the total number of processed +squares is $O(n)$, and at each square, +we go through a list of $O(\sqrt n)$ squares +in a batch. -Jos algoritmi tekisi leveyshaun jokaiselle operaatiolle, -aikavaativuus olisi $O(k^2 n)$. -Jos taas algoritmi kävisi kaikki muutetut ruudut läpi -jokaisen operaation kohdalla, -aikavaativuus olisi $O(n^2)$. -Neliöjuurialgoritmi yhdistää nämä aikavaativuudet -ja muuttaa kertoimen $n$ kertoimeksi $\sqrt n$. +If the algorithm would perform a breadth-first search +at each operation, the complexity would be +$O(k^2 n)$. +And if the algorithm would go through all painted +squares at each operation, +the complexity would be $O(n^2)$. +The square root algorithm combines these complexities, +and turns the factor $n$ into $\sqrt n$. -\section{Tapauskäsittely} +\section{Case processing} -\index{tapauskxsittely@tapauskäsittely} +\index{case processing} -\key{Tapauskäsittelyssä} algoritmissa on useita -toimintatapoja, jotka aktivoituvat syötteen -ominaisuuksista riippuen. -Tyypillisesti yksi algoritmin osa on tehokas -pienellä parametrilla -ja toinen osa on tehokas suurella parametrilla, -ja sopiva jakokohta kulkee suunnilleen arvon $\sqrt n$ kohdalla. +In \key{case processing}, an algorithm has +specialized subalgorithms for different cases that +may appear during the algorithm. +Typically, one part is efficient for +small parameters, and another part is efficient +for large parameters, and the turning point is +about $\sqrt n$. -Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää, jossa -puussa on $n$ solmua, joista jokaisella on tietty väri. -Tavoitteena on etsiä puusta kaksi solmua, -jotka ovat samanvärisiä ja mahdollisimman -kaukana toisistaan. +As an example, let's consider a problem where +we are given a tree that contains $n$ nodes, +each with some color. Our task is to find two nodes +that have the same color and the distance +between them is as large as possible. -Tehtävän voi ratkaista -käymällä läpi värit yksi kerrallaan ja -etsimällä kullekin värille kaksi solmua, jotka ovat -mahdollisimman kaukana toisistaan. -Tietyllä värillä algoritmin toiminta riippuu siitä, -montako kyseisen väristä solmua puussa on. -Oletetaan nyt, että käsittelyssä on väri $x$ -ja puussa on $c$ solmua, joiden väri on $x$. -Tapaukset ovat seuraavat: +The problem can be solved by going through all +colors one after another, and for each color, +finding two nodes of that color whose distance is +maximum. +For a fixed color, a subalgorithm will be used +that depends on the number of nodes of that color. +Let's assume that the current color is $x$ +and there are $c$ nodes whose color is $x$. +There are two cases: -\subsubsection*{Tapaus 1: $c \le \sqrt n$} +\subsubsection*{Case 1: $c \le \sqrt n$} -Jos $x$-värisiä solmuja on vähän, -käydään läpi kaikki $x$-väristen solmujen parit -ja valitaan pari, jonka etäisyys on suurin. -Jokaisesta solmusta täytyy -laskea etäisyys $O(\sqrt n)$ muuhun solmuun (ks. luku 18.3), -joten kaikkien tapaukseen 1 osuvien solmujen -käsittely vie aikaa yhteensä $O(n \sqrt n)$. +If the number of nodes is small, +we go through all pairs of nodes whose +color is $x$ and select the pair that +has the maximum distance. +For each node, we have calculate the distance +to $O(\sqrt n)$ other nodes (see 18.3), +so the total time needed for processing all +nodes in case 1 is $O(n \sqrt n)$. -\subsubsection*{Tapaus 2: $c > \sqrt n$} +\subsubsection*{Case 2: $c > \sqrt n$} -Jos $x$-värisiä solmuja on paljon, -käydään koko puu läpi ja -lasketaan suurin etäisyys kahden -$x$-värisen solmun välillä. -Läpikäynnin aikavaativuus on $O(n)$, -ja tapaus 2 aktivoituu korkeintaan $O(\sqrt n)$ -värille, joten tapauksen 2 solmut -tuottavat aikavaativuuden $O(n \sqrt n)$.\\\\ +If the number of nodes is large, +we traverse through the whole tree +and calculate the maximum distance between +two nodes with color $x$. +The time complexity of the tree traversal is $O(n)$, +and this will be done at most $O(\sqrt n)$ times, +so the total time needed for case 2 is +$O(n \sqrt n)$.\\\\ \noindent -Algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n \sqrt n)$, -koska sekä tapaus 1 että tapaus 2 vievät aikaa -yhteensä $O(n \sqrt n)$. +The time complexity of the algorithm is $O(n \sqrt n)$, +because both case 1 and case 2 take $O(n \sqrt n)$ time. -\section{Mo'n algoritmi} +\section{Mo's algorithm} -\index{Mo'n algoritmi} +\index{Mo's algorithm} -\key{Mo'n algoritmi} soveltuu tehtäviin, -joissa taulukkoon tehdään välikyselyitä ja -taulukon sisältö kaikissa kyselyissä on sama. -Algoritmi järjestää -kyselyt uudestaan niin, -että niiden käsittely on tehokasta. +\key{Mo's algorithm} can be used in many problems +where we are asked to process range queries in +a \emph{static} array. +The algorithm handles the queries in a special order +so that it is efficient to process them. -Algoritmi pitää yllä taulukon väliä, -jolle on laskettu kyselyn vastaus. -Kyselystä toiseen siirryttäessä algoritmi -muuttaa väliä askel kerrallaan niin, -että vastaus uuteen kyselyyn saadaan laskettua. -Algoritmin aikavaativuus on $O(n \sqrt n f(n))$, -kun kyselyitä on $n$ ja -yksi välin muutosaskel vie aikaa $f(n)$. +The algorithm maintains a range in the array, +and the answer for a query for that range. +When moving from a range to another range, +the algorithm modifies the range step by step +so that the answer for the next range can be +calculated. +The time complexity of the algorithm is +$O(n \sqrt n f(n))$ when there are $n$ queries +and each step takes $f(n)$ time. -Algoritmin toiminta perustuu järjestykseen, -jossa kyselyt käsitellään. -Kun kyselyjen välit ovat muotoa $[a,b]$, -algoritmi järjestää ne ensisijaisesti arvon -$\lfloor a/\sqrt n \rfloor$ mukaan ja toissijaisesti arvon $b$ mukaan. -Algoritmi suorittaa siis peräkkäin kaikki kyselyt, -joiden alkukohta on tietyllä $\sqrt n$-välillä. +The algorithm processes the queries in a special +order which makes the algorithm efficient. +When the queries correspond to ranges of the form $[a,b]$, +they are primarily sorted according to +the value $\lfloor a/\sqrt n \rfloor$, +and secondarily according to the value $b$. +Hence, all queries whose starting index +is in a fixed segment +are processed after each other. -Osoittautuu, että tämän järjestyksen ansiosta -algoritmi tekee yhteensä vain $O(n \sqrt n)$ muutosaskelta. -Tämä johtuu siitä, että välin vasen reuna liikkuu -$n$ kertaa $O(\sqrt n)$ askelta, -kun taas välin oikea reuna liikkuu $\sqrt n$ -kertaa $O(n)$ askelta. Molemmat reunat liikkuvat -siis yhteensä $O(n \sqrt n)$ askelta. +It turns out that using this order, the algorithm +only performs $O(n \sqrt n)$ steps. +The reason for this is that the left border of +the range moves $n$ times $O(\sqrt n)$ steps, +and the right border of the range moves +$\sqrt n$ times $O(n)$ steps. Thus, both the +borders move a total of $O(n \sqrt n)$ steps. -\subsubsection*{Esimerkki} +\subsubsection*{Example} -Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää, -jossa annettuna on joukko välejä taulukossa -ja tehtävänä on selvittää kullekin välille, -montako eri lukua taulukossa on kyseisellä välillä. +As an example, let's consider a problem +where we are given a set of ranges in an array, +and our task is to calculate for each range +the number of distinct elements in the range. -Mo'n algoritmissa kyselyt järjestetään aina samalla -tavalla, ja tehtävästä riippuva osa on, -miten kyselyn vastausta pidetään yllä. -Tässä tehtävässä luonteva tapa on -pitää muistissa kyselyn vastausta sekä -taulukkoa \texttt{c}, jossa $\texttt{c}[x]$ -on alkion $x$ lukumäärä aktiivisella välillä. - -Kyselystä toiseen siirryttäessä taulukon aktiivinen -väli muuttuu. Esimerkiksi jos nykyinen kysely koskee väliä +In Mo's algorithm, the queries are always sorted +in the same way, but it depends on the problem +how the answer for queries is maintained. +In this problem, we can maintain an array +\texttt{c} where $\texttt{c}[x]$ +indicates how many times an element $x$ +occurs in the active range. +When we move from a query to another query, +the active range changes. +For example, if the current range is \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (1,0) rectangle (5,1); @@ -368,7 +374,7 @@ väli muuttuu. Esimerkiksi jos nykyinen kysely koskee väliä \node at (8.5, 0.5) {4}; \end{tikzpicture} \end{center} -ja seuraava kysely koskee väliä +and the next range is \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \fill[color=lightgray] (2,0) rectangle (7,1); @@ -384,22 +390,25 @@ ja seuraava kysely koskee väliä \node at (8.5, 0.5) {4}; \end{tikzpicture} \end{center} -niin tapahtuu kolme muutosaskelta: -välin vasen reuna siirtyy askeleen oikealle -ja välin oikea reuna siirtyy kaksi askelta oikealle. +there will be three steps: +the left border moves one step to the left, +and the right border moves two steps to the right. -Jokaisen muutosaskeleen jälkeen täytyy -päivittää taulukkoa \texttt{c}. -Jos väliin tulee alkio $x$, -arvo $\texttt{c}[x]$ kasvaa 1:llä, -ja jos välistä poistuu alkio $x$, -arvo $\texttt{c}[x]$ vähenee 1:llä. -Jos lisäyksen jälkeen $\texttt{c}[x]=1$, -kyselyn vastaus kasvaa 1:llä, -ja jos poiston jälkeen $\texttt{c}[x]=0$, -kyselyn vastaus vähenee 1:llä. +After each step, we should update the +array \texttt{c}. +If an element $x$ is added to the range, +the value +$\texttt{c}[x]$ increases by one, +and if a value $x$ is removed from the range, +the value $\texttt{c}[x]$ decreases by one. +If after an insertion +$\texttt{c}[x]=1$, +the answer for the query increases by one, +and if after a removel $\texttt{c}[x]=0$, +the answer for the query decreases by one. -Tässä tapauksessa muutosaskeleen aikavaativuus on $O(1)$, -joten algoritmin kokonaisaikavaativuus on $O(n \sqrt n)$. +In this problem, the time needed to perform +each step is $O(1)$, so the total time complexity +of the algorithm is $O(n \sqrt n)$.