bibin
/
cphb
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

Chapter 1 first version ready

This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen 2016-12-29 18:53:58 +02:00
parent 189dfcf070
commit fb34683355
1 changed files with 223 additions and 216 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

437
luku01.tex
View File

@ -77,7 +77,7 @@ is not an unfair advantage in the contest.
All examples in this book are written in C++, All examples in this book are written in C++,
and the data structures and algorithms in and the data structures and algorithms in
the standard library are often used. the standard library are often used.
The book follows the C++11 standard The book follows the C++11 standard,
that can be used in most contests nowadays. that can be used in most contests nowadays.
If you can't program in C++ yet, If you can't program in C++ yet,
now it is a good time to start learning. now it is a good time to start learning.
@ -106,7 +106,8 @@ libraries such as \texttt{iostream},
but they are available automatically. but they are available automatically.
The \texttt{using} line determines The \texttt{using} line determines
that the standard library can be used directly that the classes and functions
of the standard library can be used directly
in the code. in the code.
Without the \texttt{using} line we should write, Without the \texttt{using} line we should write,
for example, \texttt{std::cout}, for example, \texttt{std::cout},
@ -514,182 +515,184 @@ This section covers some important
mathematical concepts and formulas that mathematical concepts and formulas that
are needed later in the book. are needed later in the book.
\subsubsection{Summakaavat} \subsubsection{Sum formulas}
Jokaiselle summalle muotoa Each sum of the form
\[\sum_{x=1}^n x^k = 1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k\] \[\sum_{x=1}^n x^k = 1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k\]
on olemassa laskukaava, where $k$ is a positive integer,
kun $k$ on jokin positiivinen kokonaisluku. has a closed-form formula that is a
Tällainen laskukaava on aina astetta $k+1$ polynomial of degree $k+1$.
oleva polynomi. Esimerkiksi For example,
\[\sum_{x=1}^n x = 1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\] \[\sum_{x=1}^n x = 1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\]
ja and
\[\sum_{x=1}^n x^2 = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\] \[\sum_{x=1}^n x^2 = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]
\key{Aritmeettinen summa} on summa, \index{aritmeettinen summa@aritmeettinen summa} An \key{arithmetic sum} is a sum \index{arithmetic sum}
jossa jokaisen vierekkäisen luvun erotus on vakio. where the difference between any two consecutive
Esimerkiksi numbers is constant.
For example,
\[3+7+11+15\] \[3+7+11+15\]
on aritmeettinen summa, is an arithmetic sum with constant 4.
jossa vakio on 4. An arithmetic sum can be calculated
Aritmeettinen summa voidaan laskea kaavalla using the formula
\[\frac{n(a+b)}{2},\] \[\frac{n(a+b)}{2}\]
jossa summan ensimmäinen luku on $a$, where $a$ is the first number,
viimeinen luku on $b$ ja lukujen määrä on $n$. $b$ is the last number and
Esimerkiksi $n$ is the amount of numbers.
For example,
\[3+7+11+15=\frac{4 \cdot (3+15)}{2} = 36.\] \[3+7+11+15=\frac{4 \cdot (3+15)}{2} = 36.\]
Kaava perustuu siihen, että summa muodostuu $n$ luvusta The formula is based on the fact
ja luvun suuruus on keskimäärin $(a+b)/2$. that the sum consists of $n$ numbers and
the value of each number is $(a+b)/2$ on average.
\index{geometrinen summa@geometrinen summa} \index{geometric sum}
\key{Geometrinen summa} on summa, A \key{geometric sum} is a sum
jossa jokaisen vierekkäisen luvun suhde on vakio. where the ratio between any two consecutive
Esimerkiksi numbers is constant.
For example,
\[3+6+12+24\] \[3+6+12+24\]
on geometrinen summa, is a geometric sum with constant 2.
jossa vakio on 2. A geometric sum can be calculated
Geometrinen summa voidaan laskea kaavalla using the formula
\[\frac{bx-a}{x-1},\] \[\frac{bx-a}{x-1}\]
jossa summan ensimmäinen luku on $a$, where $a$ is the first number,
viimeinen luku on $b$ ja vierekkäisten lukujen suhde on $x$. $b$ is the last number and the
Esimerkiksi ratio between consecutive numbers is $x$.
For example,
\[3+6+12+24=\frac{24 \cdot 2 - 3}{2-1} = 45.\] \[3+6+12+24=\frac{24 \cdot 2 - 3}{2-1} = 45.\]
Geometrisen summan kaavan voi johtaa merkitsemällä This formula can be derived as follows. Let
\[ S = a + ax + ax^2 + \cdots + b .\] \[ S = a + ax + ax^2 + \cdots + b .\]
Kertomalla molemmat puolet $x$:llä saadaan By multiplying both sides by $x$, we get
\[ xS = ax + ax^2 + ax^3 + \cdots + bx,\] \[ xS = ax + ax^2 + ax^3 + \cdots + bx,\]
josta kaava seuraa ratkaisemalla yhtälön and solving the equation
\[ xS-S = bx-a.\] \[ xS-S = bx-a.\]
yields the formula.
Geometrisen summan erikoistapaus on usein kätevä kaava A special case of a geometric sum is the formula
\[1+2+4+8+\ldots+2^{n-1}=2^n-1.\] \[1+2+4+8+\ldots+2^{n-1}=2^n-1.\]
% Geometrisen summan sukulainen on \index{harmonic sum}
% \[x+2x^2+3x^3+\cdots+k x^k = \frac{kx^{k+2}-(k+1)x^{k+1}+x}{(x-1)^2}. \]
\index{harmoninen summa@harmoninen summa} A \key{harmonic sum} is a sum of the form
\key{Harmoninen summa} on summa muotoa
\[ \sum_{x=1}^n \frac{1}{x} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}.\] \[ \sum_{x=1}^n \frac{1}{x} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}.\]
Yläraja harmonisen summan suuruudelle on $\log_2(n)+1$. An upper bound for the harmonic sum is $\log_2(n)+1$.
Summaa voi näet arvioida ylöspäin The reason for this is that we can
muuttamalla jokaista termiä $1/k$ niin, change each term $1/k$ so that $k$ becomes
että $k$:ksi tulee alempi 2:n potenssi. a power of two that doesn't exceed $k$.
Esimerkiksi tapauksessa $n=6$ arvioksi tulee For example, when $n=6$, we can estimate
the sum as follows:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} \le \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} \le
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\] 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\]
Tämän seurauksena summa jakaantuu $\log_2(n)+1$ osaan This upper bound consists of $\log_2(n)+1$ parts
($1$, $2 \cdot 1/2$, $4 \cdot 1/4$, jne.), ($1$, $2 \cdot 1/2$, $4 \cdot 1/4$, etc.),
joista jokaisen summa on enintään 1. and the sum of each part is at most 1.
\subsubsection{Joukko-oppi} \subsubsection{Set theory}
\index{joukko-oppi} \index{set theory}
\index{joukko@joukko} \index{set}
\index{leikkaus@leikkaus} \index{intersection}
\index{yhdiste@yhdiste} \index{union}
\index{erotus@erotus} \index{difference}
\index{osajoukko@osajoukko} \index{subset}
\index{perusjoukko} \index{universal set}
\index{complement}
\key{Joukko} on kokoelma alkioita. A \key{set} is a collection of elements.
Esimerkiksi joukko For example, the set
\[X=\{2,4,7\}\] \[X=\{2,4,7\}\]
sisältää alkiot 2, 4 ja 7. contains elements 2, 4 and 7.
Merkintä $\emptyset$ tarkoittaa tyhjää joukkoa. The symbol $\emptyset$ denotes an empty set,
Joukon $S$ koko eli alkoiden määrä on $|S|$. and $|S|$ denotes the size of set $S$,
Esimerkiksi äskeisessä joukossa $|X|=3$. i.e., the number of elements in the set.
For example, in the above set, $|X|=3$.
Merkintä $x \in S$ tarkoittaa, If set $S$ contains element $x$,
että alkio $x$ on joukossa $S$, we write $x \in S$,
ja merkintä $x \notin S$ tarkoittaa, and otherwise we write $x \notin S$.
että alkio $x$ ei ole joukossa $S$. For example, in the above set
Esimerkiksi äskeisessä joukossa \[4 \in X \hspace{10px}\textrm{and}\hspace{10px} 5 \notin X.\]
\[4 \in X \hspace{10px}\textrm{ja}\hspace{10px} 5 \notin X.\]
\begin{samepage} \begin{samepage}
Uusia joukkoja voidaan muodostaa joukko-operaatioilla New sets can be constructed as follows using set operations:
seuraavasti:
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item \key{Leikkaus} $A \cap B$ sisältää alkiot, \item The \key{intersection} $A \cap B$ consists of elements
jotka ovat molemmissa joukoista $A$ ja $B$. that are both in $A$ and $B$.
Esimerkiksi jos $A=\{1,2,5\}$ ja $B=\{2,4\}$, For example, if $A=\{1,2,5\}$ and $B=\{2,4\}$,
niin $A \cap B = \{2\}$. then $A \cap B = \{2\}$.
\item \key{Yhdiste} $A \cup B$ sisältää alkiot, \item The \key{union} $A \cup B$ consists of elements
jotka ovat ainakin toisessa joukoista $A$ ja $B$. that are in $A$ or $B$ or both.
Esimerkiksi jos $A=\{3,7\}$ ja $B=\{2,3,8\}$, For example, if $A=\{3,7\}$ and $B=\{2,3,8\}$,
niin $A \cup B = \{2,3,7,8\}$. then $A \cup B = \{2,3,7,8\}$.
\item \key{Komplementti} $\bar A$ sisältää alkiot, \item The \key{complement} $\bar A$ consists of elements
jotka eivät ole joukossa $A$. that are not in $A$.
Komplementin tulkinta riippuu siitä, mikä on The interpretation of a complement depends on
\key{perusjoukko} eli joukko, jossa on kaikki the \key{universal set} that contains all possible elements.
mahdolliset alkiot. Esimerkiksi jos For example, if $A=\{1,2,5,7\}$ and the universal set is
$A=\{1,2,5,7\}$ ja perusjoukko on $P=\{1,2,\ldots,10\}$, $P=\{1,2,\ldots,10\}$, then $\bar A = \{3,4,6,8,9,10\}$.
niin $\bar A = \{3,4,6,8,9,10\}$. \item The \key{difference} $A \setminus B = A \cap \bar B$
\item \key{Erotus} $A \setminus B = A \cap \bar B$ sisältää alkiot, consists of elements that are in $A$ but not in $B$.
jotka ovat joukossa $A$ mutta eivät joukossa $B$. Note that $B$ can contain elements that are not in $A$.
Huomaa, että $B$:ssä voi olla alkioita, For example, if $A=\{2,3,7,8\}$ and $B=\{3,5,8\}$,
joita ei ole $A$:ssa. then $A \setminus B = \{2,7\}$.
Esimerkiksi jos $A=\{2,3,7,8\}$ ja $B=\{3,5,8\}$,
niin $A \setminus B = \{2,7\}$.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{samepage} \end{samepage}
If each element of $A$ also belongs to $S$,
Merkintä $A \subset S$ tarkoittaa, we say that $A$ is a \key{subset} of $S$,
että $A$ on $S$:n \key{osajoukko} denoted by $A \subset S$.
eli jokainen $A$:n alkio esiintyy $S$:ssä. Set $S$ always has $2^{|S|}$ subsets,
Joukon $S$ osajoukkojen yhteismäärä on $2^{|S|}$. including the empty set.
Esimerkiksi joukon $\{2,4,7\}$ For example, the subsets of the set $\{2,4,7\}$ are
osajoukot ovat
\begin{center} \begin{center}
$\emptyset$, $\emptyset$,
$\{2\}$, $\{4\}$, $\{7\}$, $\{2,4\}$, $\{2,7\}$, $\{4,7\}$ ja $\{2,4,7\}$. $\{2\}$, $\{4\}$, $\{7\}$, $\{2,4\}$, $\{2,7\}$, $\{4,7\}$ ja $\{2,4,7\}$.
\end{center} \end{center}
Usein esiintyviä joukkoja ovat Often used sets are
\begin{itemize}[noitemsep] \begin{itemize}[noitemsep]
\item $\mathbb{N}$ (luonnolliset luvut), \item $\mathbb{N}$ (natural numbers),
\item $\mathbb{Z}$ (kokonaisluvut), \item $\mathbb{Z}$ (integers),
\item $\mathbb{Q}$ (rationaaliluvut) ja \item $\mathbb{Q}$ (rational numbers) and
\item $\mathbb{R}$ (reaaliluvut). \item $\mathbb{R}$ (real numbers).
\end{itemize} \end{itemize}
Luonnollisten lukujen joukko $\mathbb{N}$ voidaan määritellä The set $\mathbb{N}$ of natural numbers
tilanteesta riippuen kahdella tavalla: can be defined in two ways, depending
joko $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ on the situation:
tai $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$. either $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$
or $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$.
Joukon voi muodostaa myös säännöllä muotoa We can also construct a set using a rule of the form
\[\{f(n) : n \in S\},\] \[\{f(n) : n \in S\},\]
missä $f(n)$ on jokin funktio. where $f(n)$ is some function.
Tällainen joukko sisältää kaikki alkiot This set contains all elements $f(n)$
$f(n)$, jossa $n$ on valittu joukosta $S$. where $n$ is an element in $S$.
Esimerkiksi joukko For example, the set
\[X=\{2n : n \in \mathbb{Z}\}\] \[X=\{2n : n \in \mathbb{Z}\}\]
sisältää kaikki parilliset kokonaisluvut. contains all even integers.
\subsubsection{Logiikka} \subsubsection{Logic}
\index{logiikka@logiikka} \index{logic}
\index{negaatio@negaatio} \index{negation}
\index{konjunktio@konjunktio} \index{conjuction}
\index{disjunktio@disjunktio} \index{disjunction}
\index{implikaatio@implikaatio} \index{implication}
\index{ekvivalenssi@ekvivalenssi} \index{equivalence}
Loogisen lausekkeen arvo on joko \key{tosi} (1) tai The value of a logical expression is either
\key{epätosi} (0). \key{true} (1) or \key{false} (0).
Tärkeimmät loogiset operaatiot ovat The most important logical operators are
$\lnot$ (\key{negaatio}), $\lnot$ (\key{negation}),
$\land$ (\key{konjunktio}), $\land$ (\key{conjunction}),
$\lor$ (\key{disjunktio}), $\lor$ (\key{disjunction}),
$\Rightarrow$ (\key{implikaatio}) sekä $\Rightarrow$ (\key{implication}) and
$\Leftrightarrow$ (\key{ekvivalenssi}). $\Leftrightarrow$ (\key{equivalence}).
Seuraava taulukko näyttää operaatioiden merkityksen: The following table shows the meaning of the operators:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tabular}{rr|rrrrrrr} \begin{tabular}{rr|rrrrrrr}
@ -702,67 +705,69 @@ $A$ & $B$ & $\lnot A$ & $\lnot B$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \Rightarrow B$
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
Negaatio $\lnot A$ muuttaa lausekkeen käänteiseksi. The negation $\lnot A$ reverses the value of an expression.
Lauseke $A \land B$ on tosi, jos molemmat $A$ ja $B$ ovat tosia, The expression $A \land B$ is true if both $A$ and $B$
ja lauseke $A \lor B$ on tosi, jos $A$ tai $B$ on tosi. are true,
Lauseke $A \Rightarrow B$ on tosi, and the expression $A \lor B$ is true if $A$ or $B$ or both
jos $A$:n ollessa tosi myös $B$ on aina tosi. are true.
Lauseke $A \Leftrightarrow B$ on tosi, The expression $A \Rightarrow B$ is true
jos $A$:n ja $B$:n totuusarvo on sama. if whenever $A$ is true, also $B$ is true.
The expression $A \Leftrightarrow B$ is true
if $A$ and $B$ are both true or both false.
\index{predikaatti@predikaatti} \index{predicate}
\key{Predikaatti} on lauseke, jonka arvo on tosi tai epätosi A \key{predicate} is an expression that is true or false
riippuen sen parametreista. depending on its parameters.
Yleensä predikaattia merkitään suurella kirjaimella. Predicates are usually denoted by capital letters.
Esimerkiksi voimme määritellä predikaatin $P(x)$, For example, we can define a predicate $P(x)$
joka on tosi tarkalleen silloin, kun $x$ on alkuluku. that is true exactly when $x$ is a prime number.
Tällöin esimerkiksi $P(7)$ on tosi, kun taas $P(8)$ on epätosi. Using this definition, $P(7)$ is true but $P(8)$ is false.
\index{kvanttori@kvanttori} \index{quantifier}
\key{Kvanttori} ilmaisee, että looginen A \key{quantifier} connects a logical expression
lauseke liittyy jollakin tavalla joukon alkioihin. to elements in a set.
Tavalliset kvanttorit The most important quantifiers are
ovat $\forall$ (\key{kaikille}) ja $\exists$ (\key{on olemassa}). $\forall$ (\key{for all}) and $\exists$ (\key{there is}).
Esimerkiksi For example,
\[\forall x (\exists y (y < x))\] \[\forall x (\exists y (y < x))\]
tarkoittaa, että jokaiselle joukon means that for each element $x$ in the set,
alkiolle $x$ on olemassa there is an element $y$ in the set
jokin joukon alkio $y$ niin, että $y$ on $x$:ää pienempi. such that $y$ is smaller than $x$.
Tämä pätee kokonaislukujen joukossa, This is true in the set of integers,
mutta ei päde luonnollisten lukujen joukossa. but false in the set of natural numbers.
Yllä esitettyjen merkintöjä avulla on mahdollista esittää Using the notation described above,
monenlaisia loogisia väitteitä. we can express many kinds of logical propositions.
Esimerkiksi For example,
\[\forall x ((x>2 \land \lnot P(x)) \Rightarrow (\exists a (\exists b (x = ab \land a > 1 \land b > 1))))\] \[\forall x ((x>2 \land \lnot P(x)) \Rightarrow (\exists a (\exists b (x = ab \land a > 1 \land b > 1))))\]
tarkoittaa, että jos luku $x$ on suurempi means that if a number $x$ is larger than 2
kuin 2 eikä ole alkuluku, and not a prime number,
niin on olemassa luvut $a$ ja $b$, there are numbers $a$ and $b$
joiden tulo on $x$ ja jotka molemmat ovat suurempia kuin 1. that are larger than $1$ and whose product is $x$.
Tämä väite pitää paikkansa kokonaislukujen joukossa. This proposition is true in the set of integers.
\subsubsection{Funktioita} \subsubsection{Functions}
Funktio $\lfloor x \rfloor$ pyöristää luvun $x$ The function $\lfloor x \rfloor$ rounds the number $x$
alaspäin kokonaisluvuksi ja down to an integer, and the function
funktio $\lceil x \rceil$ pyöristää luvun $x$ $\lceil x \rceil$ rounds the number $x$
ylöspäin kokonaisluvuksi. Esimerkiksi up to an integer. For example,
\[ \lfloor 3/2 \rfloor = 1 \hspace{10px} \textrm{ja} \hspace{10px} \lceil 3/2 \rceil = 2.\] \[ \lfloor 3/2 \rfloor = 1 \hspace{10px} \textrm{and} \hspace{10px} \lceil 3/2 \rceil = 2.\]
Funktiot $\min(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ The functions $\min(x_1,x_2,\ldots,x_n)$
ja $\max(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ and $\max(x_1,x_2,\ldots,x_n)$
palauttavat pienimmän ja suurimman return the smallest and the largest of values
arvoista $x_1,x_2,\ldots,x_n$. $x_1,x_2,\ldots,x_n$.
Esimerkiksi For example,
\[ \min(1,2,3)=1 \hspace{10px} \textrm{ja} \hspace{10px} \max(1,2,3)=3.\] \[ \min(1,2,3)=1 \hspace{10px} \textrm{and} \hspace{10px} \max(1,2,3)=3.\]
\index{kertoma@kertoma} \index{factorial}
\key{Kertoma} $n!$ määritellään The \key{factorial} $n!$ is defined
\[\prod_{x=1}^n x = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\] \[\prod_{x=1}^n x = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\]
tai vaihtoehtoisesti rekursiivisesti or recursively
\[ \[
\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl}
0! & = & 1 \\ 0! & = & 1 \\
@ -770,10 +775,10 @@ n! & = & n \cdot (n-1)! \\
\end{array} \end{array}
\] \]
\index{Fibonaccin luku@Fibonaccin luku} \index{Fibonacci number}
\key{Fibonaccin luvut} esiintyvät monissa erilaisissa yhteyksissä. The \key{Fibonacci numbers} arise in several situations.
Ne määritellään seuraavasti rekursiivisesti: They can be defined recursively as follows:
\[ \[
\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl}
f(0) & = & 0 \\ f(0) & = & 0 \\
@ -781,56 +786,58 @@ f(1) & = & 1 \\
f(n) & = & f(n-1)+f(n-2) \\ f(n) & = & f(n-1)+f(n-2) \\
\end{array} \end{array}
\] \]
Ensimmäiset Fibonaccin luvut ovat The first Fibonacci numbers are
\[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots\] \[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots\]
Fibonaccin lukujen laskemiseen on olemassa myös There is also a closed-form formula
suljetun muodon kaava for calculating Fibonacci numbers:
\[f(n)=\frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}.\] \[f(n)=\frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}.\]
\subsubsection{Logaritmi} \subsubsection{Logarithm}
\index{logaritmi@logaritmi} \index{logarithm}
Luvun $x$ The \key{logarithm} of a number $x$
\key{logaritmi} merkitään $\log_k(x)$, missä $k$ on logaritmin kantaluku. is denoted $\log_k(x)$ where $k$ is the base
Logaritmin määritelmän mukaan of the logarithm.
$\log_k(x)=a$ tarkalleen silloin, kun $k^a=x$. The logarithm is defined so that
$\log_k(x)=a$ exactly when $k^a=x$.
Algoritmiikassa hyödyllinen tulkinta on, A useful interpretation in algorithmics is
että logaritmi $\log_k(x)$ ilmaisee, montako kertaa lukua $x$ that $\log_k(x)$ equals the number of times
täytyy jakaa $k$:lla, ennen kuin tulos on 1. we have to divide $x$ by $k$ before we reach
Esimerkiksi $\log_2(32)=5$, the number 1.
koska lukua 32 täytyy jakaa 2:lla 5 kertaa: For example, $\log_2(32)=5$
because 5 divisions are needed:
\[32 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \] \[32 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \]
Logaritmi tulee usein vastaan algoritmien analyysissa, Logarithms are often needed in the analysis of
koska monessa tehokkaassa algoritmissa jokin asia puolittuu algorithms because many efficient algorithms
joka askeleella. divide in half something at each step.
Niinpä logaritmin avulla voi arvioida algoritmin tehokkuutta. Thus, we can estimate the efficiency of those algorithms
using the logarithm.
Logaritmille pätee kaava The logarithm of a product is
\[\log_k(ab) = \log_k(a)+\log_k(b),\] \[\log_k(ab) = \log_k(a)+\log_k(b),\]
josta seuraa edelleen and consequently,
\[\log_k(x^n) = n \cdot \log_k(x).\] \[\log_k(x^n) = n \cdot \log_k(x).\]
Samoin logaritmille pätee In addition, the logarithm of a quotient is
\[\log_k\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log_k(a)-\log_k(b).\] \[\log_k\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log_k(a)-\log_k(b).\]
Lisäksi on voimassa kaava Another useful formula is
\[\log_u(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(u)},\] \[\log_u(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(u)},\]
minkä ansiosta logaritmeja voi laskea mille tahansa kantaluvulle, and using this, it is possible to calculate
jos on keino laskea logaritmeja jollekin kantaluvulle. logarithms to any base if there is a way to
calculate logarithms to some fixed base.
\index{luonnollinen logaritmi@luonnollinen logaritmi} \index{natural logarithm}
\index{Neperin luku@Neperin luku}
Luvun $x$ \key{luonnollinen logaritmi} $\ln(x)$ on logaritmi, jonka kantaluku on The \key{natural logarithm} $\ln(x)$ of a number $x$
\key{Neperin luku} $e \approx 2{,}71828$. is a logarithm whose base is $e \approx 2{,}71828$.
Vielä yksi logaritmin ominaisuus on, että Another property of the logarithm is that
luvun $x$ numeroiden määrä $b$-kantaisessa the number of digits of a number $x$ in base $b$ is
lukujärjestelmässä $\lfloor \log_b(x)+1 \rfloor$.
on $\lfloor \log_b(x)+1 \rfloor$. For example, the representation of
Esimerkiksi luvun $123$ esitys the number $123$ in base $2$ is 1111011 and
2-järjestelmässä on 1111011 ja
$\lfloor \log_2(123)+1 \rfloor = 7$. $\lfloor \log_2(123)+1 \rfloor = 7$.