\chapter{Number theory} \index{lukuteoria@lukuteoria} \key{Lukuteoria} on kokonaislukuja tutkiva matematiikan ala, jonka keskeinen käsite on lukujen jaollisuus. Lukuteoriassa on kiehtovaa, että monet kokonaislukuihin liittyvät kysymykset ovat hyvin vaikeita ratkaista, vaikka ne saattavat näyttää päältä päin yksinkertaisilta. Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa yhtälöä: \[x^3 + y^3 + z^3 = 33\] On helppoa löytää kolme reaalilukua $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttavat yhtälön. Voimme valita esimerkiksi \[ \begin{array}{lcl} x = 3, \\ y = \sqrt[3]{3}, \\ z = \sqrt[3]{3}.\\ \end{array} \] Sen sijaan kukaan ei tiedä, onko olemassa kolmea \emph{kokonaislukua} $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttaisivat yhtälön, vaan kyseessä on avoin lukuteorian ongelma. Tässä luvussa tutustumme lukuteorian peruskäsitteisiin ja -algoritmeihin. Lähdemme liikkeelle lukujen jaollisuudesta, johon liittyvät keskeiset algoritmit ovat alkuluvun tarkastaminen sekä luvun jakaminen tekijöihin. \section{Alkuluvut ja tekijät} \index{jaollisuus@jaollisuus} \index{jakaja@jakaja} \index{tekijx@tekijä} Luku $a$ on luvun $b$ \key{jakaja} eli \key{tekijä}, jos $b$ on jaollinen $a$:lla. Jos $a$ on $b$:n jakaja, niin merkitään $a \mid b$, ja muuten merkitään $a \nmid b$. Esimerkiksi luvun 24 jakajat ovat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24. \index{alkuluku@alkuluku} \index{alkutekijxhajotelma@alkutekijähajotelma} Luku $n$ on \key{alkuluku}, jos sen ainoat positiiviset jakajat ovat 1 ja $n$. Esimerkiksi luvut 7, 19 ja 41 ovat alkulukuja. Luku 35 taas ei ole alkuluku, koska se voidaan jakaa tekijöihin $5 \cdot 7 = 35$. Jokaiselle luvulle $n>1$ on olemassa yksikäsitteinen \key{alkutekijähajotelma} \[ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k},\] missä $p_1,p_2,\ldots,p_k$ ovat alkulukuja ja $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$ ovat positiivisia lukuja. Esimerkiksi luvun 84 alkutekijähajotelma on \[84 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1.\] Luvun $n$ \key{jakajien määrä} on \[\tau(n)=\prod_{i=1}^k (\alpha_i+1),\] koska alkutekijän $p_i$ kohdalla on $\alpha_i+1$ tapaa valita, montako kertaa alkutekijä esiintyy jakajassa. Esimerkiksi luvun 84 jakajien määrä on $\tau(84)=3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$. Jakajat ovat 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 ja 84. Luvun $n$ \key{jakajien summa} on \[\sigma(n)=\prod_{i=1}^k (1+p_i+\ldots+p_i^{\alpha_i}) = \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1},\] missä jälkimmäinen muoto perustuu geometriseen summaan. Esimerkiksi luvun 84 jakajien summa on \[\sigma(84)=\frac{2^3-1}{2-1} \cdot \frac{3^2-1}{3-1} \cdot \frac{7^2-1}{7-1} = 7 \cdot 4 \cdot 8 = 224.\] Luvun $n$ \key{jakajien tulo} on \[\mu(n)=n^{\tau(n)/2},\] koska jakajista voidaan muodostaa $\tau(n)/2$ paria, joiden jokaisen tulona on $n$. Esimerkiksi luvun 84 jakajista muodostuvat parit $1 \cdot 84$, $2 \cdot 42$, $3 \cdot 28$, jne., ja jakajien tulo on $\mu(84)=84^6=351298031616$. %\index{tzydellinen luku@täydellinen luku} \index{txydellinen luku@täydellinen luku} Luku $n$ on \key{täydellinen}, jos $n=\sigma(n)-n$ eli luku on yhtä suuri kuin summa sen jakajista välillä $1 \ldots n-1$. Esimerkiksi luku 28 on täydellinen, koska se muodostuu summana $1+2+4+7+14$. \subsubsection{Alkulukujen määrä} On helppoa osoittaa, että alkulukuja on äärettömästi. Jos nimittäin alkulukuja olisi äärellinen määrä, voisimme muodostaa joukon $P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$, joka sisältää kaikki alkuluvut. Esimerkiksi $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, jne. Nyt kuitenkin voisimme muodostaa uuden alkuluvun \[p_1 p_2 \cdots p_n+1,\] joka on kaikkia $P$:n lukuja suurempi. Koska tätä lukua ei ole joukossa $P$, syntyy ristiriita ja alkulukujen määrän on pakko olla ääretön. \subsubsection{Alkulukujen tiheys} Alkulukujen tiheys tarkoittaa, kuinka usein alkulukuja esiintyy muiden lukujen joukossa. Merkitään funktiolla $\pi(n)$, montako alkulukua on välillä $1 \ldots n$. Esimerkiksi $\pi(10)=4$, koska välillä $1 \ldots 10$ on alkuluvut 2, 3, 5 ja 7. On mahdollista osoittaa, että \[\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n},\] mikä tarkoittaa, että alkulukuja esiintyy varsin usein. Esimerkiksi alkulukujen määrä välillä $1 \ldots 10^6$ on $\pi(10^6)=78498$ ja $10^6 / \ln 10^6 \approx 72382$. \subsubsection{Konjektuureja} Alkulukuihin liittyy useita \emph{konjektuureja} eli lauseita, joiden uskotaan olevan tosia mutta joita kukaan ei ole onnistunut todistamaan tähän mennessä. Kuuluisia konjektuureja ovat seuraavat: \begin{itemize} \index{Goldbachin konjektuuri@Goldbachin konjektuuri} \item \key{Goldbachin konjektuuri}: Jokainen parillinen kokonaisluku $n>2$ voidaan esittää muodossa $n=a+b$ niin, että $a$ ja $b$ ovat alkulukuja. \index{alkulukupari@alkulukupari} \item \key{Alkulukuparit}: On olemassa äärettömästi pareja muotoa $\{p,p+2\}$, joissa sekä $p$ että $p+2$ on alkuluku. \index{Legendren konjektuuri@Legendren konjektuuri} \item \key{Legendren konjektuuri}: Lukujen $n^2$ ja $(n+1)^2$ välillä on aina alkuluku, kun $n$ on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. \end{itemize} \subsubsection{Perusalgoritmit} Jos luku $n$ ei ole alkuluku, niin sen voi esittää muodossa $a \cdot b$, missä $a \le \sqrt n$ tai $b \le \sqrt n$, minkä ansiosta sillä on varmasti tekijä välillä $2 \ldots \sqrt n$. Tämän havainnon avulla voi tarkastaa ajassa $O(\sqrt n)$, onko luku alkuluku, sekä myös selvittää ajassa $O(\sqrt n)$ luvun alkutekijät. Seuraava funktio \texttt{alkuluku} tutkii, onko annettu luku $n$ alkuluku. Funktio koettaa jakaa lukua kaikilla luvuilla välillä $2 \ldots \sqrt n$, ja jos mikään luvuista ei jaa $n$:ää, niin $n$ on alkuluku. \begin{lstlisting} bool alkuluku(int n) { if (n < 2) return false; for (int x = 2; x*x <= n; x++) { if (n%x == 0) return false; } return true; } \end{lstlisting} \noindent Seuraava funktio \texttt{tekijat} muodostaa vektorin, joka sisältää luvun $n$ alkutekijät. Funktio jakaa $n$:ää sen alkutekijöillä ja lisää niitä samaan aikaan vektoriin. Prosessi päättyy, kun jäljellä on luku $n$, jolla ei ole tekijää välillä $2 \ldots \sqrt n$. Jos $n>1$, se on alkuluku ja viimeinen tekijä. \begin{lstlisting} vector tekijat(int n) { vector f; for (int x = 2; x*x <= n; x++) { while (n%x == 0) { f.push_back(x); n /= x; } } if (n > 1) f.push_back(n); return f; } \end{lstlisting} Huomaa, että funktio lisää jokaisen alkutekijän vektoriin niin monta kertaa, kuin kyseinen alkutekijä jakaa luvun. Esimerkiksi $24=2^3 \cdot 3$, joten funktio muodostaa vektorin $[2,2,2,3]$. \subsubsection{Eratostheneen seula} \index{Eratostheneen seula@Eratostheneen seula} \key{Eratostheneen seula} on esilaskenta-algoritmi, jonka suorituksen jälkeen mistä tahansa välin $2 \ldots n$ luvusta pystyy tarkastamaan nopeasti, onko se alkuluku, sekä etsimään yhden luvun alkutekijän, jos luku ei ole alkuluku. Algoritmi luo taulukon $\texttt{a}$, jossa on käytössä indeksit $2,3,\ldots,n$. Taulukossa $\texttt{a}[k]=0$ tarkoittaa, että $k$ on alkuluku, ja $\texttt{a}[k] \neq 0$ tarkoittaa, että $k$ ei ole alkuluku. Jälkimmäisessä tapauksessa $\texttt{a}[k]$ on yksi $k$:n alkutekijöistä. Algoritmi käy läpi välin $2 \ldots n$ luvut yksi kerrallaan. Aina kun vastaan tulee uusi alkuluku $x$, niin algoritmi merkitsee taulukkoon, että $x$:n moninkerrat $2x,3x,4x,\ldots$ eivät ole alkulukuja, koska niillä on alkutekijä $x$. Esimerkiksi jos $n=20$, taulukosta tulee: \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw (0,0) grid (19,1); \node at (0.5,0.5) {$0$}; \node at (1.5,0.5) {$0$}; \node at (2.5,0.5) {$2$}; \node at (3.5,0.5) {$0$}; \node at (4.5,0.5) {$3$}; \node at (5.5,0.5) {$0$}; \node at (6.5,0.5) {$2$}; \node at (7.5,0.5) {$3$}; \node at (8.5,0.5) {$5$}; \node at (9.5,0.5) {$0$}; \node at (10.5,0.5) {$3$}; \node at (11.5,0.5) {$0$}; \node at (12.5,0.5) {$7$}; \node at (13.5,0.5) {$5$}; \node at (14.5,0.5) {$2$}; \node at (15.5,0.5) {$0$}; \node at (16.5,0.5) {$3$}; \node at (17.5,0.5) {$0$}; \node at (18.5,0.5) {$5$}; \footnotesize \node at (0.5,1.5) {$2$}; \node at (1.5,1.5) {$3$}; \node at (2.5,1.5) {$4$}; \node at (3.5,1.5) {$5$}; \node at (4.5,1.5) {$6$}; \node at (5.5,1.5) {$7$}; \node at (6.5,1.5) {$8$}; \node at (7.5,1.5) {$9$}; \node at (8.5,1.5) {$10$}; \node at (9.5,1.5) {$11$}; \node at (10.5,1.5) {$12$}; \node at (11.5,1.5) {$13$}; \node at (12.5,1.5) {$14$}; \node at (13.5,1.5) {$15$}; \node at (14.5,1.5) {$16$}; \node at (15.5,1.5) {$17$}; \node at (16.5,1.5) {$18$}; \node at (17.5,1.5) {$19$}; \node at (18.5,1.5) {$20$}; \end{tikzpicture} \end{center} Seuraava koodi toteuttaa Eratostheneen seulan. Koodi olettaa, että jokainen taulukon \texttt{a} alkio on aluksi 0. \begin{lstlisting} for (int x = 2; x <= n; x++) { if (a[x]) continue; for (int u = 2*x; u <= n; u += x) { a[u] = x; } } \end{lstlisting} Algoritmin sisäsilmukka suoritetaan $n/x$ kertaa tietyllä $x$:n arvolla, joten yläraja algoritmin ajankäytölle on harmoninen summa \index{harmoninen summa@harmoninen summa} \[\sum_{x=2}^n n/x = n/2 + n/3 + n/4 + \cdots + n/n = O(n \log n).\] Todellisuudessa algoritmi on vielä nopeampi, koska sisäsilmukka suoritetaan vain, jos luku $x$ on alkuluku. Voidaan osoittaa, että algoritmin aikavaativuus on vain $O(n \log \log n)$ eli hyvin lähellä vaativuutta $O(n)$. \subsubsection{Eukleideen algoritmi} \index{suurin yhteinen tekijx@suurin yhteinen tekijä} \index{pienin yhteinen moninkerta@pienin yhteinen moninkerta} \index{Eukleideen algoritmi@Eukleideen algoritmi} Lukujen $a$ ja $b$ \key{suurin yhteinen tekijä} eli $\textrm{syt}(a,b)$ on suurin luku, jolla sekä $a$ että $b$ on jaollinen. Lukujen $a$ ja $b$ \key{pienin yhteinen moninkerta} eli $\textrm{pym}(a,b)$ on puolestaan pienin luku, joka on jaollinen sekä $a$:lla että $b$:llä. Esimerkiksi $\textrm{syt}(24,36)=12$ ja $\textrm{pym}(24,36)=72$. Suurimman yhteisen tekijän ja pienimmän yhteisen moninkerran välillä on yhteys \[\textrm{pym}(a,b)=\frac{ab}{\textrm{syt}(a,b)}.\] \key{Eukleideen algoritmi} on tehokas tapa etsiä suurin yhteinen tekijä. Se laskee suurimman yhteisen tekijän kaavalla \begin{equation*} \textrm{syt}(a,b) = \begin{cases} a & b = 0\\ \textrm{syt}(b,a \bmod b) & b \neq 0\\ \end{cases} \end{equation*} Esimerkiksi \[\textrm{syt}(24,36) = \textrm{syt}(36,24) = \textrm{syt}(24,12) = \textrm{syt}(12,0)=12.\] Eukleideen algoritmin aikavaativuus on $O(\log n)$, kun $n=\min(a,b)$. Pahin tapaus algoritmille on, jos luvut ovat peräkkäiset Fibonaccin luvut. Silloin algoritmi käy läpi kaikki pienemmät peräkkäiset Fibonaccin luvut. Esimerkiksi \[\textrm{syt}(13,8)=\textrm{syt}(8,5) =\textrm{syt}(5,3)=\textrm{syt}(3,2)=\textrm{syt}(2,1)=\textrm{syt}(1,0)=1.\] \subsubsection{Eulerin totienttifunktio} \index{suhteellinen alkuluku@suhteellinen alkuluku} \index{Eulerin totienttifunktio@Eulerin totienttifunktio} Luvut $a$ ja $b$ ovat suhteelliset alkuluvut, jos $\textrm{syt}(a,b)=1$. \key{Eulerin totienttifunktio} $\varphi(n)$ laskee luvun $n$ suhteellisten alkulukujen määrän välillä $1 \ldots n$. Esimerkiksi $\varphi(12)=4$, koska luvut 1, 5, 7 ja 11 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 12:n kanssa. Totienttifunktion arvon $\varphi(n)$ pystyy laskemaan luvun $n$ alkutekijähajotelmasta kaavalla \[ \varphi(n) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1). \] Esimerkiksi $\varphi(12)=2^1 \cdot (2-1) \cdot 3^0 \cdot (3-1)=4$. Huomaa myös, että $\varphi(n)=n-1$, jos $n$ on alkuluku. \section{Modulolaskenta} \index{modulolaskenta@modulolaskenta} \key{Modulolaskennassa} lukualuetta rajoitetaan niin, että käytössä ovat vain kokonaisluvut $0,1,2,\ldots,m-1$, missä $m$ on vakio. Ideana on, että lukua $x$ vastaa luku $x \bmod m$ eli luvun $x$ jakojäännös luvulla $m$. Esimerkiksi jos $m=17$, niin lukua $75$ vastaa luku $75 \bmod 17 = 7$. Useissa laskutoimituksissa jakojäännöksen voi laskea ennen laskutoimitusta, minkä ansiosta saadaan seuraavat kaavat: \[ \begin{array}{rcl} (x+y) \bmod m & = & (x \bmod m + y \bmod m) \bmod m \\ (x-y) \bmod m & = & (x \bmod m - y \bmod m) \bmod m \\ (x \cdot y) \bmod m & = & (x \bmod m \cdot y \bmod m) \bmod m \\ (x^k) \bmod m & = & (x \bmod m)^k \bmod m \\ \end{array} \] \subsubsection{Tehokas potenssilasku} Modulolaskennassa tulee usein tarvetta laskea tehokkaasti potenssilasku $x^n$. Tämä onnistuu ajassa $O(\log n)$ seuraavan rekursion avulla: \begin{equation*} x^n = \begin{cases} 1 & n = 0\\ x^{n/2} \cdot x^{n/2} & \text{$n$ on parillinen}\\ x^{n-1} \cdot x & \text{$n$ on pariton} \end{cases} \end{equation*} Oleellista on, että parillisen $n$:n tapauksessa luku $x^{n/2}$ lasketaan vain kerran. Tämän ansiosta potenssilaskun aikavaativuus on $O(\log n)$, koska $n$:n koko puolittuu aina silloin, kun $n$ on parillinen. Seuraava funktio laskee luvun $x^n \bmod m$: \begin{lstlisting} int pot(int x, int n, int m) { if (n == 0) return 1%m; int u = pot(x,n/2,m); u = (u*u)%m; if (n%2 == 1) u = (u*x)%m; return u; } \end{lstlisting} \subsubsection{Fermat'n pieni lause ja Eulerin lause} \index{Fermat'n pieni lause} \index{Eulerin lause@Eulerin lause} \key{Fermat'n pienen lauseen} mukaan \[x^{m-1} \bmod m = 1,\] kun $m$ on alkuluku ja $x$ ja $m$ ovat suhteelliset alkuluvut. Tällöin myös \[x^k \bmod m = x^{k \bmod (m-1)} \bmod m.\] Yleisemmin \key{Eulerin lauseen} mukaan \[x^{\varphi(m)} \bmod m = 1,\] kun $x$ ja $m$ ovat suhteelliset alkuluvut. Fermat'n pieni lause seuraa Eulerin lauseesta, koska jos $m$ on alkuluku, niin $\varphi(m)=m-1$. \subsubsection{Modulon käänteisluku} \index{modulon kxxnteisluku@modulon käänteisluku} Luvun $x$ käänteisluku modulo $m$ tarkoittaa sellaista lukua $x^{-1}$, että \[ x x^{-1} \bmod m = 1. \] Esimerkiksi jos $x=6$ ja $m=17$, niin $x^{-1}=3$, koska $6\cdot3 \bmod 17=1$. Modulon käänteisluku mahdollistaa jakolaskun laskemisen modulossa, koska jakolasku luvulla $x$ vastaa kertolaskua luvulla $x^{-1}$. Esimerkiksi jos haluamme laskea jakolaskun $36/6 \bmod 17$, voimme muuttaa sen muotoon $2 \cdot 3 \bmod 17$, koska $36 \bmod 17 = 2$ ja $6^{-1} \bmod 17 = 3$. Modulon käänteislukua ei kuitenkaan ole aina olemassa. Esimerkiksi jos $x=2$ ja $m=4$, yhtälölle \[ x x^{-1} \bmod m = 1. \] ei ole ratkaisua, koska kaikki luvun 2 moninkerrat ovat parillisia eikä jakojäännös 4:llä voi koskaan olla 1. Osoittautuu, että $x^{-1} \bmod m$ on olemassa tarkalleen silloin, kun $x$ ja $m$ ovat suhteelliset alkuluvut. Jos modulon käänteisluku on olemassa, sen saa laskettua kaavalla \[ x^{-1} = x^{\varphi(m)-1}. \] Erityisesti jos $m$ on alkuluku, kaavasta tulee \[ x^{-1} = x^{m-2}. \] Esimerkiksi jos $x=6$ ja $m=17$, niin \[x^{-1}=6^{17-2} \bmod 17 = 3.\] Tämän kaavan ansiosta modulon käänteisluvun pystyy laskemaan nopeasti tehokkaan potenssilaskun avulla. Modulon käänteisluvun kaavan voi perustella Eulerin lauseen avulla. Ensinnäkin käänteisluvulle täytyy päteä \[ x x^{-1} \bmod m = 1. \] Toisaalta Eulerin lauseen mukaan \[ x^{\varphi(m)} \bmod m = xx^{\varphi(m)-1} \bmod m = 1, \] joten lukujen $x^{-1}$ ja $x^{\varphi(m)-1}$ on oltava samat. \subsubsection{Modulot tietokoneessa} Tietokone käsittelee etumerkittömiä kokonaislukuja modulo $2^k$, missä $k$ on luvun bittien määrä. Usein näkyvä seuraus tästä on luvun arvon pyörähtäminen ympäri, jos luku kasvaa liian suureksi. Esimerkiksi C++:ssa \texttt{unsigned int} -tyyppinen arvo lasketaan modulo $2^{32}$. Seuraava koodi määrittelee muuttujan tyyppiä \texttt{unsigned int}, joka saa arvon $123456789$. Sitten muuttujan arvo kerrotaan itsellään, jolloin tuloksena on luku $123456789^2 \bmod 2^{32} = 2537071545$. \begin{lstlisting} unsigned int x = 123456789; cout << x*x << "\n"; // 2537071545 \end{lstlisting} \section{Yhtälönratkaisu} \index{Diofantoksen yhtxlz@Diofantoksen yhtälö} \key{Diofantoksen yhtälö} on muotoa \[ ax + by = c, \] missä $a$, $b$ ja $c$ ovat vakioita ja tehtävänä on ratkaista muuttujat $x$ ja $y$. Jokaisen yhtälössä esiintyvän luvun tulee olla kokonaisluku. Esimerkiksi jos yhtälö on $5x+2y=11$, yksi ratkaisu on valita $x=3$ ja $y=-2$. \index{Eukleideen algoritmi@Eukleideen algoritmi} Diofantoksen yhtälön voi ratkaista tehokkaasti Eukleideen algoritmin avulla, koska Eukleideen algoritmia laajentamalla pystyy löytämään luvun $\textrm{syt}(a,b)$ lisäksi luvut $x$ ja $y$, jotka toteuttavat yhtälön \[ ax + by = \textrm{syt}(a,b). \] Diofantoksen yhtälön ratkaisu on olemassa, jos $c$ on jaollinen $\textrm{syt}(a,b)$:llä, ja muussa tapauksessa yhtälöllä ei ole ratkaisua. \index{laajennettu Eukleideen algoritmi@laajennettu Eukleideen algoritmi} \subsubsection*{Laajennettu Eukleideen algoritmi} Etsitään esimerkkinä luvut $x$ ja $y$, jotka toteuttavat yhtälön \[ 39x + 15y = 12. \] Yhtälöllä on ratkaisu, koska $\textrm{syt}(39,15)=3$ ja $3 \mid 12$. Kun Eukleideen algoritmi laskee lukujen 39 ja 15 suurimman yhteisen tekijän, syntyy ketju \[ \textrm{syt}(39,15) = \textrm{syt}(15,9) = \textrm{syt}(9,6) = \textrm{syt}(6,3) = \textrm{syt}(3,0) = 3. \] Algoritmin aikana muodostuvat jakoyhtälöt ovat: \[ \begin{array}{lcl} 39 - 2 \cdot 15 & = & 9 \\ 15 - 1 \cdot 9 & = & 6 \\ 9 - 1 \cdot 6 & = & 3 \\ \end{array} \] Näiden yhtälöiden avulla saadaan \[ 39 \cdot 2 + 15 \cdot (-5) = 3 \] ja kertomalla yhtälö 4:lla tuloksena on \[ 39 \cdot 8 + 15 \cdot (-20) = 12, \] joten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on $x=8$ ja $y=-20$. Diofantoksen yhtälön ratkaisu ei ole yksikäsitteinen, vaan yhdestä ratkaisusta on mahdollista muodostaa äärettömästi muita ratkaisuja. Kun yhtälön ratkaisu on $(x,y)$, niin myös \[(x+\frac{kb}{\textrm{syt}(a,b)},y-\frac{ka}{\textrm{syt}(a,b)})\] on ratkaisu, missä $k$ on mikä tahansa kokonaisluku. \subsubsection{Kiinalainen jäännöslause} \index{kiinalainen jxxnnzslause@kiinalainen jäännöslause} \key{Kiinalainen jäännöslause} ratkaisee yhtälöryhmän muotoa \[ \begin{array}{lcl} x & = & a_1 \bmod m_1 \\ x & = & a_2 \bmod m_2 \\ \cdots \\ x & = & a_n \bmod m_n \\ \end{array} \] missä kaikki parit luvuista $m_1,m_2,\ldots,m_n$ ovat suhteellisia alkulukuja. Olkoon $x^{-1}_m$ luvun $x$ käänteisluku modulo $m$ ja \[ X_k = \frac{m_1 m_2 \cdots m_n}{m_k}.\] Näitä merkintöjä käyttäen yhtälöryhmän ratkaisu on \[x = a_1 X_1 {X_1}^{-1}_{m_1} + a_2 X_2 {X_2}^{-1}_{m_2} + \cdots + a_n X_n {X_n}^{-1}_{m_n}.\] Tässä ratkaisussa jokaiselle luvulle $k=1,2,\ldots,n$ pätee, että \[a_k X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = a_k,\] sillä \[X_k {X_k}^{-1}_{m_k} \bmod m_k = 1.\] Koska kaikki muut summan osat ovat jaollisia luvulla $m_k$, ne eivät vaikuta jakojäännökseen ja koko summan jakojäännös $m_k$:lla on $a_k$. Esimerkiksi yhtälöryhmän \[ \begin{array}{lcl} x & = & 3 \bmod 5 \\ x & = & 4 \bmod 7 \\ x & = & 2 \bmod 3 \\ \end{array} \] ratkaisu on \[ 3 \cdot 21 \cdot 1 + 4 \cdot 15 \cdot 1 + 2 \cdot 35 \cdot 2 = 263.\] Kun yksi ratkaisu $x$ on löytynyt, sen avulla voi muodostaa äärettömästi erilaisia ratkaisuja, koska kaikki luvut muotoa \[x+m_1 m_2 \cdots m_n\] ovat ratkaisuja. \section{Muita tuloksia} \subsubsection{Lagrangen lause} \index{Lagrangen lause@Lagrangen lause} \key{Lagrangen lauseen} mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää neljän neliöluvun summana eli muodossa $a^2+b^2+c^2+d^2$. Esimerkiksi luku 123 voidaan esittää muodossa $8^2+5^2+5^2+3^2$. \subsubsection{Zeckendorfin lause} \index{Zeckendorfin lause@Zeckendorfin lause} \index{Fibonaccin luku@Fibonaccin luku} \key{Zeckendorfin lauseen} mukaan jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle on olemassa yksikäsitteinen esitys Fibonaccin lukujen summana niin, että mitkään kaksi lukua eivät ole samat eivätkä peräkkäiset Fibonaccin luvut. Esimerkiksi luku 74 voidaan esittää muodossa $55+13+5+1$. \subsubsection{Pythagoraan kolmikot} \index{Pythagoraan kolmikko@Pythagoraan kolmikko} \index{Eukleideen kaava@Eukleideen kaava} \key{Pythagoraan kolmikko} on lukukolmikko $(a,b,c)$, joka toteuttaa Pythagoraan lauseen $a^2+b^2=c^2$ eli $a$, $b$ ja $c$ voivat olla suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet. Esimerkiksi $(3,4,5)$ on Pythagoraan kolmikko. Jos $(a,b,c)$ on Pythagoraan kolmikko, niin myös kaikki kolmikot muotoa $(ka,kb,kc)$ ovat Pythagoraan kolmikoita, missä $k>1$. Pythagoraan kolmikko on \key{primitiivinen}, jos $a$, $b$ ja $c$ ovat suhteellisia alkulukuja, ja primitiivisistä kolmikoista voi muodostaa kaikki muut kolmikot kertoimen $k$ avulla. \key{Eukleideen kaavan} mukaan jokainen primitiivinen Pythagoraan kolmikko on muotoa \[(n^2-m^2,2nm,n^2+m^2),\] missä $0