859 lines
18 KiB
TeX
859 lines
18 KiB
TeX
\chapter{Matrices}
|
|
|
|
\index{matriisi@matriisi}
|
|
|
|
\key{Matriisi} on kaksiulotteista taulukkoa
|
|
vastaava matemaattinen käsite,
|
|
jolle on määritelty laskutoimituksia.
|
|
Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
A =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
6 & 13 & 7 & 4 \\
|
|
7 & 0 & 8 & 2 \\
|
|
9 & 5 & 4 & 18 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
on matriisi, jossa on 3 riviä ja 4 saraketta
|
|
eli se on kokoa $3 \times 4$.
|
|
Viittaamme matriisin alkioihin
|
|
merkinnällä $[i,j]$,
|
|
jossa $i$ on rivi ja $j$ on sarake.
|
|
Esimerkiksi yllä olevassa matriisissa
|
|
$A[2,3]=8$ ja $A[3,1]=9$.
|
|
|
|
\index{vektori@vektori}
|
|
|
|
Matriisin erikoistapaus on \key{vektori},
|
|
joka on kokoa $n \times 1$ oleva yksiulotteinen matriisi.
|
|
Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
V =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
4 \\
|
|
7 \\
|
|
5 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
on vektori, jossa on 3 alkiota.
|
|
|
|
\index{transpoosi@transpoosi}
|
|
|
|
Matriisin $A$ \key{transpoosi} $A^T$ syntyy,
|
|
kun matriisin rivit ja sarakkeet vaihdetaan
|
|
keskenään eli $A^T[i,j]=A[j,i]$:
|
|
\[
|
|
A^T =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
6 & 7 & 9 \\
|
|
13 & 0 & 5 \\
|
|
7 & 8 & 4 \\
|
|
4 & 2 & 18 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
|
|
\index{nelizmatriisi@neliömatriisi}
|
|
|
|
Matriisi on \key{neliömatriisi}, jos sen
|
|
korkeus ja leveys ovat samat.
|
|
Esimerkiksi seuraava matriisi on neliömatriisi:
|
|
|
|
\[
|
|
S =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
3 & 12 & 4 \\
|
|
5 & 9 & 15 \\
|
|
0 & 2 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
|
|
\section{Laskutoimitukset}
|
|
|
|
Matriisien $A$ ja $B$ summa $A+B$ on määritelty,
|
|
jos matriisit ovat yhtä suuret.
|
|
Tuloksena oleva matriisi on
|
|
samaa kokoa kuin
|
|
matriisit $A$ ja $B$ ja sen jokainen
|
|
alkio on vastaavissa kohdissa
|
|
olevien alkioiden summa.
|
|
|
|
Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
6 & 1 & 4 \\
|
|
3 & 9 & 2 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
+
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
4 & 9 & 3 \\
|
|
8 & 1 & 3 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
6+4 & 1+9 & 4+3 \\
|
|
3+8 & 9+1 & 2+3 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
10 & 10 & 7 \\
|
|
11 & 10 & 5 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
|
|
Matriisin $A$ kertominen luvulla $x$ tarkoittaa,
|
|
että jokainen matriisin alkio kerrotaan luvulla $x$.
|
|
|
|
Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
2 \cdot \begin{bmatrix}
|
|
6 & 1 & 4 \\
|
|
3 & 9 & 2 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 \cdot 6 & 2\cdot1 & 2\cdot4 \\
|
|
2\cdot3 & 2\cdot9 & 2\cdot2 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
12 & 2 & 8 \\
|
|
6 & 18 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
|
|
\subsubsection{Matriisitulo}
|
|
|
|
\index{matriisitulo@matriisitulo}
|
|
|
|
Matriisien $A$ ja $B$ tulo $AB$ on määritelty,
|
|
jos matriisi $A$ on kokoa $a \times n$
|
|
ja matriisi $B$ on kokoa $n \times b$
|
|
eli matriisin $A$ leveys on sama kuin matriisin
|
|
$B$ korkeus.
|
|
Tuloksena oleva matriisi
|
|
on kokoa $a \times b$
|
|
ja sen alkiot lasketaan kaavalla
|
|
\[
|
|
AB[i,j] = \sum_{k=1}^n A[i,k] \cdot B[k,j].
|
|
\]
|
|
|
|
Kaavan tulkintana on, että kukin $AB$:n alkio
|
|
saadaan summana, joka muodostuu $A$:n ja
|
|
$B$:n alkioparien tuloista seuraavan
|
|
kuvan mukaisesti:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
|
|
\draw (0,0) grid (4,3);
|
|
\draw (5,0) grid (10,3);
|
|
\draw (5,4) grid (10,8);
|
|
|
|
\node at (2,-1) {$A$};
|
|
\node at (7.5,-1) {$AB$};
|
|
\node at (11,6) {$B$};
|
|
|
|
\draw[thick,->,red,line width=2pt] (0,1.5) -- (4,1.5);
|
|
\draw[thick,->,red,line width=2pt] (6.5,8) -- (6.5,4);
|
|
\draw[thick,red,line width=2pt] (6.5,1.5) circle (0.4);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Esimerkiksi
|
|
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 4 \\
|
|
3 & 9 \\
|
|
8 & 6 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 6 \\
|
|
2 & 9 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 & 1 \cdot 6 + 4 \cdot 9 \\
|
|
3 \cdot 1 + 9 \cdot 2 & 3 \cdot 6 + 9 \cdot 9 \\
|
|
8 \cdot 1 + 6 \cdot 2 & 8 \cdot 6 + 6 \cdot 9 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
9 & 42 \\
|
|
21 & 99 \\
|
|
20 & 102 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
|
|
Matriisitulo ei ole vaihdannainen,
|
|
eli ei ole voimassa $A \cdot B = B \cdot A$.
|
|
Kuitenkin matriisitulo
|
|
on liitännäinen, eli on voimassa $A \cdot (B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C$.
|
|
|
|
\index{ykkzsmatriisi@ykkösmatriisi}
|
|
|
|
\key{Ykkösmatriisi} on neliömatriisi,
|
|
jonka lävistäjän jokainen alkio on 1
|
|
ja jokainen muu alkio on 0.
|
|
Esimerkiksi $3 \times 3$ -yksikkömatriisi on
|
|
seuraavanlainen:
|
|
\[
|
|
I = \begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
|
|
\begin{samepage}
|
|
Ykkösmatriisilla kertominen säilyttää matriisin
|
|
ennallaan. Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 4 \\
|
|
3 & 9 \\
|
|
8 & 6 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 4 \\
|
|
3 & 9 \\
|
|
8 & 6 \\
|
|
\end{bmatrix} \hspace{10px} \textrm{ja} \hspace{10px}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 4 \\
|
|
3 & 9 \\
|
|
8 & 6 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 4 \\
|
|
3 & 9 \\
|
|
8 & 6 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
\end{samepage}
|
|
|
|
Kahden $n \times n$ kokoisen matriisin tulon
|
|
laskeminen vie aikaa $O(n^3)$
|
|
käyttäen suoraviivaista algoritmia.
|
|
Myös nopeampia algoritmeja on olemassa:
|
|
tällä hetkellä nopein tunnettu algoritmi
|
|
vie aikaa $O(n^{2{,}37})$.
|
|
Tällaiset algoritmit eivät kuitenkaan
|
|
ole tarpeen kisakoodauksessa.
|
|
|
|
\subsubsection{Matriisipotenssi}
|
|
|
|
\index{matriisipotenssi@matriisipotenssi}
|
|
|
|
Matriisin $A$ potenssi $A^k$ on
|
|
määritelty, jos $A$ on neliömatriisi.
|
|
Määritelmä nojautuu kertolaskuun:
|
|
\[ A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot A \cdots A}_{\textrm{$k$ kertaa}} \]
|
|
Esimerkiksi
|
|
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}^3 =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix} \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix} \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix} =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
48 & 165 \\
|
|
33 & 114 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
Lisäksi $A^0$ tuottaa ykkösmatriisin. Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}^0 =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
|
|
Matriisin $A^k$ voi laskea tehokkaasti ajassa
|
|
$O(n^3 \log k)$ soveltamalla luvun 21.2
|
|
tehokasta potenssilaskua. Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}^8 =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}^4 \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 5 \\
|
|
1 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}^4.
|
|
\]
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Determinantti}
|
|
|
|
\index{determinantti@determinantti}
|
|
|
|
Matriisin $A$ \key{determinantti} $\det(A)$
|
|
on määritelty, jos $A$ on neliömatriisi.
|
|
Jos $A$ on kokoa $1 \times 1$,
|
|
niin $\det(A)=A[1,1]$.
|
|
Suuremmalle matriisille determinaatti lasketaan rekursiivisesti
|
|
kaavalla \index{kofaktori@kofaktori}
|
|
\[\det(A)=\sum_{j=1}^n A[1,j] C[1,j],\]
|
|
missä $C[i,j]$ on matriisin $A$ \key{kofaktori}
|
|
kohdassa $[i,j]$.
|
|
Kofaktori lasketaan puolestaan kaavalla
|
|
\[C[i,j] = (-1)^{i+j} \det(M[i,j]),\]
|
|
missä $M[i,j]$ on matriisi $A$, josta on poistettu
|
|
rivi $i$ ja sarake $j$.
|
|
Kofaktorissa olevan kertoimen $(-1)^{i+j}$ ansiosta
|
|
joka toinen determinantti
|
|
lisätään summaan positiivisena
|
|
ja joka toinen negatiivisena.
|
|
|
|
\begin{samepage}
|
|
Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
\det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
3 & 4 \\
|
|
1 & 6 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
) = 3 \cdot 6 - 4 \cdot 1 = 14
|
|
\]
|
|
\end{samepage}
|
|
|
|
ja
|
|
|
|
\[
|
|
\det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 4 & 3 \\
|
|
5 & 1 & 6 \\
|
|
7 & 2 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
) =
|
|
2 \cdot
|
|
\det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 6 \\
|
|
2 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
)
|
|
-4 \cdot
|
|
\det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
5 & 6 \\
|
|
7 & 4 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
)
|
|
+3 \cdot
|
|
\det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
5 & 1 \\
|
|
7 & 2 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
) = 81.
|
|
\]
|
|
|
|
\index{kxxnteismatriisi@käänteismatriisi}
|
|
|
|
Determinantti kertoo, onko matriisille
|
|
$A$ olemassa \key{käänteismatriisia}
|
|
$A^{-1}$, jolle pätee $A \cdot A^{-1} = I$,
|
|
missä $I$ on ykkösmatriisi.
|
|
Osoittautuu, että $A^{-1}$ on olemassa
|
|
tarkalleen silloin, kun $\det(A) \neq 0$,
|
|
ja sen voi laskea kaavalla
|
|
|
|
\[A^{-1}[i,j] = \frac{C[j,i]}{det(A)}.\]
|
|
|
|
Esimerkiksi
|
|
|
|
\[
|
|
\underbrace{
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
2 & 4 & 3\\
|
|
5 & 1 & 6\\
|
|
7 & 2 & 4\\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
}_{A}
|
|
\cdot
|
|
\underbrace{
|
|
\frac{1}{81}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
-8 & -10 & 21 \\
|
|
22 & -13 & 3 \\
|
|
3 & 24 & -18 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
}_{A^{-1}}
|
|
=
|
|
\underbrace{
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
}_{I}.
|
|
\]
|
|
|
|
\section{Lineaariset rekursioyhtälöt}
|
|
|
|
\index{rekursioyhtxlz@rekursioyhtälö}
|
|
\index{lineaarinen rekursioyhtxlz@lineaarinen rekursioyhtälö}
|
|
|
|
\key{Lineaarinen rekursioyhtälö}
|
|
voidaan esittää funktiona $f(n)$,
|
|
jolle on annettu alkuarvot
|
|
$f(0),f(1),\ldots,f(k-1)$
|
|
ja jonka suuremmat arvot
|
|
parametrista $k$ lähtien lasketaan
|
|
rekursiivisesti kaavalla
|
|
\[f(n) = c_1 f(n-1) + c_2 f(n-2) + \ldots + c_k f (n-k),\]
|
|
missä $c_1,c_2,\ldots,c_k$ ovat vakiokertoimia.
|
|
|
|
Funktion arvon $f(n)$ voi laskea dynaamisella
|
|
ohjelmoinnilla ajassa $O(kn)$
|
|
laskemalla kaikki arvot $f(0),f(1),\ldots,f(n)$ järjestyksessä.
|
|
Tätä ratkaisua voi kuitenkin tehostaa merkittävästi
|
|
matriisien avulla, kun $k$ on pieni.
|
|
Seuraavaksi näemme, miten arvon $f(n)$
|
|
voi laskea ajassa $O(k^3 \log n)$.
|
|
|
|
\subsubsection{Fibonaccin luvut}
|
|
|
|
\index{Fibonaccin luku@Fibonaccin luku}
|
|
|
|
Yksinkertainen esimerkki lineaarisesta rekursioyhtälöstä
|
|
on Fibonaccin luvut määrittelevä funktio:
|
|
\[
|
|
\begin{array}{lcl}
|
|
f(0) & = & 0 \\
|
|
f(1) & = & 1 \\
|
|
f(n) & = & f(n-1)+f(n-2) \\
|
|
\end{array}
|
|
\]
|
|
Tässä tapauksessa $k=2$ ja $c_1=c_2=1$.
|
|
|
|
\begin{samepage}
|
|
Ideana on esittää Fibonaccin lukujen laskukaava
|
|
$2 \times 2$ -kokoisena neliömatriisina
|
|
$X$, jolle pätee
|
|
\[ X \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(i) \\
|
|
f(i+1) \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(i+1) \\
|
|
f(i+2) \\
|
|
\end{bmatrix},
|
|
\]
|
|
eli $X$:lle annetaan
|
|
''syötteenä'' arvot $f(i)$ ja $f(i+1)$,
|
|
ja $X$ muodostaa niistä
|
|
arvot $f(i+1)$ ja $f(i+2)$.
|
|
Osoittautuu, että tällainen matriisi on
|
|
|
|
\[ X =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 & 1 \\
|
|
1 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
\end{samepage}
|
|
\noindent
|
|
Esimerkiksi
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 & 1 \\
|
|
1 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(5) \\
|
|
f(6) \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 & 1 \\
|
|
1 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
5 \\
|
|
8 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
8 \\
|
|
13 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(6) \\
|
|
f(7) \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
Tämän ansiosta arvon $f(n)$ sisältävän matriisin saa laskettua
|
|
kaavalla
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(n) \\
|
|
f(n+1) \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
X^n \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(0) \\
|
|
f(1) \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 & 1 \\
|
|
1 & 1 \\
|
|
\end{bmatrix}^n
|
|
\cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 \\
|
|
1 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
Potenssilasku $X^n$ on mahdollista laskea ajassa
|
|
$O(k^3 \log n)$,
|
|
joten myös funktion arvon $f(n)$
|
|
saa laskettua ajassa $O(k^3 \log n)$.
|
|
|
|
\subsubsection{Yleinen tapaus}
|
|
|
|
Tarkastellaan sitten yleistä tapausta,
|
|
missä $f(n)$ on mikä tahansa lineaarinen
|
|
rekursioyhtälö. Nyt tavoitteena on etsiä
|
|
matriisi $X$, jolle pätee
|
|
|
|
\[ X \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(i) \\
|
|
f(i+1) \\
|
|
\vdots \\
|
|
f(i+k-1) \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(i+1) \\
|
|
f(i+2) \\
|
|
\vdots \\
|
|
f(i+k) \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
Tällainen matriisi on
|
|
\[
|
|
X =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
|
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
|
|
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
|
|
c_k & c_{k-1} & c_{k-2} & c_{k-3} & \cdots & c_1 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
Matriisin $k-1$ ensimmäisen rivin jokainen alkio on 0,
|
|
paitsi yksi alkio on 1.
|
|
Nämä rivit kopioivat
|
|
arvon $f(i+1)$ arvon $f(i)$ tilalle,
|
|
arvon $f(i+2)$ arvon $f(i+1)$ tilalle jne.
|
|
Viimeinen rivi sisältää rekursiokaavan kertoimet,
|
|
joiden avulla muodostuu uusi arvo $f(i+k)$.
|
|
|
|
\begin{samepage}
|
|
Nyt arvon $f(n)$ pystyy laskemaan ajassa $O(k^3 \log n)$
|
|
kaavalla
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(n) \\
|
|
f(n+1) \\
|
|
\vdots \\
|
|
f(n+k-1) \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
X^n \cdot
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
f(0) \\
|
|
f(1) \\
|
|
\vdots \\
|
|
f(k-1) \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
\end{samepage}
|
|
|
|
\section{Verkot ja matriisit}
|
|
|
|
\subsubsection{Polkujen määrä}
|
|
|
|
Matriisipotenssilla
|
|
on mielenkiintoinen vaikutus
|
|
verkon vierusmatriisin sisältöön.
|
|
Kun $V$ on painottoman verkon vierusmatriisi,
|
|
niin $V^n$ kertoo,
|
|
montako $n$ kaaren pituista polkua
|
|
eri solmuista on toisiinsa.
|
|
|
|
Esimerkiksi verkon
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
|
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
|
\node[draw, circle] (2) at (1,1) {$4$};
|
|
\node[draw, circle] (3) at (3,3) {$2$};
|
|
\node[draw, circle] (4) at (5,3) {$3$};
|
|
\node[draw, circle] (5) at (3,1) {$5$};
|
|
\node[draw, circle] (6) at (5,1) {$6$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- (2);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (3);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (1);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (3);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (5);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (6);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (4);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (5);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
vierusmatriisi on
|
|
\[
|
|
V= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
|
|
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
|
|
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
Nyt esimerkiksi matriisi
|
|
\[
|
|
V^4= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
|
|
2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 \\
|
|
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
kertoo, montako 4 kaaren pituista polkua
|
|
solmuista on toisiinsa.
|
|
Esimerkiksi $V^4[2,5]=2$,
|
|
koska solmusta 2 solmuun 5 on olemassa
|
|
4 kaaren pituiset polut
|
|
$2 \rightarrow 1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$
|
|
ja
|
|
$2 \rightarrow 6 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$.
|
|
|
|
\subsubsection{Lyhimmät polut}
|
|
|
|
Samantapaisella idealla voi laskea painotetussa verkossa
|
|
kullekin solmuparille,
|
|
kuinka pitkä on lyhin $n$ kaaren pituinen polku solmujen välillä.
|
|
Tämä vaatii matriisitulon määritelmän muuttamista
|
|
niin, että siinä ei lasketa polkujen yhteismäärää
|
|
vaan minimoidaan polun pituutta.
|
|
|
|
\begin{samepage}
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä seuraavaa verkkoa:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
|
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
|
\node[draw, circle] (2) at (1,1) {$4$};
|
|
\node[draw, circle] (3) at (3,3) {$2$};
|
|
\node[draw, circle] (4) at (5,3) {$3$};
|
|
\node[draw, circle] (5) at (3,1) {$5$};
|
|
\node[draw, circle] (6) at (5,1) {$6$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (1) -- node[font=\small,label=left:4] {} (2);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- node[font=\small,label=left:1] {} (3);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- node[font=\small,label=north:2] {} (1);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- node[font=\small,label=north:4] {} (3);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- node[font=\small,label=left:1] {} (5);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- node[font=\small,label=left:2] {} (6);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- node[font=\small,label=right:3] {} (4);
|
|
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- node[font=\small,label=below:2] {} (5);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{samepage}
|
|
|
|
Muodostetaan verkosta vierusmatriisi, jossa arvo
|
|
$\infty$ tarkoittaa, että kaarta ei ole,
|
|
ja muut arvot ovat kaarten pituuksia.
|
|
Matriisista tulee
|
|
\[
|
|
V= \begin{bmatrix}
|
|
\infty & \infty & \infty & 4 & \infty & \infty \\
|
|
2 & \infty & \infty & \infty & 1 & 2 \\
|
|
\infty & 4 & \infty & \infty & \infty & \infty \\
|
|
\infty & 1 & \infty & \infty & \infty & \infty \\
|
|
\infty & \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \\
|
|
\infty & \infty & 3 & \infty & 2 & \infty \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
|
|
Nyt voimme laskea matriisitulon kaavan
|
|
\[
|
|
AB[i,j] = \sum_{k=1}^n A[i,k] \cdot B[k,j]
|
|
\]
|
|
sijasta kaavalla
|
|
\[
|
|
AB[i,j] = \min_{k=1}^n A[i,k] + B[k,j],
|
|
\]
|
|
eli summa muuttuu minimiksi ja tulo summaksi.
|
|
Tämän seurauksena matriisipotenssi
|
|
selvittää lyhimmät polkujen pituudet solmujen
|
|
välillä. Esimerkiksi
|
|
|
|
\[
|
|
V^4= \begin{bmatrix}
|
|
\infty & \infty & 10 & 11 & 9 & \infty \\
|
|
9 & \infty & \infty & \infty & 8 & 9 \\
|
|
\infty & 11 & \infty & \infty & \infty & \infty \\
|
|
\infty & 8 & \infty & \infty & \infty & \infty \\
|
|
\infty & \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \\
|
|
\infty & \infty & 12 & 13 & 11 & \infty \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
eli esimerkiksi lyhin 4 kaaren pituinen polku
|
|
solmusta 2 solmuun 5 on pituudeltaan 8.
|
|
Tämä polku on $2 \rightarrow 1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$.
|
|
|
|
\subsubsection{Kirchhoffin lause}
|
|
|
|
\index{Kirchhoffin lause@Kirchhoffin lause}
|
|
\index{virittxvx puu@virittävä puu}
|
|
|
|
\key{Kirchhoffin lause} laskee
|
|
verkon virittävän puiden määrän
|
|
verkosta muodostetun matriisin determinantin avulla.
|
|
Esimerkiksi verkolla
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
|
\node[draw, circle] (1) at (1,3) {$1$};
|
|
\node[draw, circle] (2) at (3,3) {$2$};
|
|
\node[draw, circle] (3) at (1,1) {$3$};
|
|
\node[draw, circle] (4) at (3,1) {$4$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,-] (1) -- (2);
|
|
\path[draw,thick,-] (1) -- (3);
|
|
\path[draw,thick,-] (3) -- (4);
|
|
\path[draw,thick,-] (1) -- (4);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
on kolme virittävää puuta:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
|
\node[draw, circle] (1a) at (1,3) {$1$};
|
|
\node[draw, circle] (2a) at (3,3) {$2$};
|
|
\node[draw, circle] (3a) at (1,1) {$3$};
|
|
\node[draw, circle] (4a) at (3,1) {$4$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,-] (1a) -- (2a);
|
|
%\path[draw,thick,-] (1a) -- (3a);
|
|
\path[draw,thick,-] (3a) -- (4a);
|
|
\path[draw,thick,-] (1a) -- (4a);
|
|
|
|
\node[draw, circle] (1b) at (1+4,3) {$1$};
|
|
\node[draw, circle] (2b) at (3+4,3) {$2$};
|
|
\node[draw, circle] (3b) at (1+4,1) {$3$};
|
|
\node[draw, circle] (4b) at (3+4,1) {$4$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,-] (1b) -- (2b);
|
|
\path[draw,thick,-] (1b) -- (3b);
|
|
%\path[draw,thick,-] (3b) -- (4b);
|
|
\path[draw,thick,-] (1b) -- (4b);
|
|
|
|
\node[draw, circle] (1c) at (1+8,3) {$1$};
|
|
\node[draw, circle] (2c) at (3+8,3) {$2$};
|
|
\node[draw, circle] (3c) at (1+8,1) {$3$};
|
|
\node[draw, circle] (4c) at (3+8,1) {$4$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,-] (1c) -- (2c);
|
|
\path[draw,thick,-] (1c) -- (3c);
|
|
\path[draw,thick,-] (3c) -- (4c);
|
|
%\path[draw,thick,-] (1c) -- (4c);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\index{Laplacen matriisi@Laplacen matriisi}
|
|
Muodostetaan verkosta \key{Laplacen matriisi} $L$,
|
|
jossa $L[i,i]$ on solmun $i$ aste ja
|
|
$L[i,j]=-1$, jos solmujen $i$ ja $j$ välillä on kaari,
|
|
ja muuten $L[i,j]=0$.
|
|
Tässä tapauksessa matriisista tulee
|
|
|
|
\[
|
|
L= \begin{bmatrix}
|
|
3 & -1 & -1 & -1 \\
|
|
-1 & 1 & 0 & 0 \\
|
|
-1 & 0 & 2 & -1 \\
|
|
-1 & 0 & -1 & 2 \\
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\]
|
|
|
|
Nyt virittävien puiden määrä on determinantti
|
|
matriisista, joka saadaan poistamasta matriisista $L$
|
|
jokin rivi ja jokin sarake.
|
|
Esimerkiksi jos poistamme ylimmän rivin ja
|
|
vasemman sarakkeen, tuloksena on
|
|
|
|
\[ \det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 2 & -1 \\
|
|
0 & -1 & 2 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
) =3.\]
|
|
Determinantista tulee aina sama riippumatta siitä,
|
|
mikä rivi ja sarake matriisista $L$ poistetaan.
|
|
|
|
Huomaa, että Kirchhoffin lauseen erikoistapauksena on
|
|
luvun 22.5 Cayleyn kaava, koska
|
|
täydellisessä $n$ solmun verkossa
|
|
|
|
\[ \det(
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
n-1 & -1 & \cdots & -1 \\
|
|
-1 & n-1 & \cdots & -1 \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
-1 & -1 & \cdots & n-1 \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
) =n^{n-2}.\]
|
|
|
|
|
|
|