756 lines
22 KiB
TeX
756 lines
22 KiB
TeX
\chapter{Complete search}
|
|
|
|
\key{Täydellinen haku}
|
|
on yleispätevä tapa ratkaista
|
|
lähes mikä tahansa ohjelmointitehtävä.
|
|
Ideana on käydä läpi raa'alla voimalla kaikki
|
|
mahdolliset tehtävän ratkaisut ja tehtävästä riippuen
|
|
valita paras ratkaisu
|
|
tai laskea ratkaisuiden yhteismäärä.
|
|
|
|
Täydellinen haku on hyvä menetelmä, jos kaikki
|
|
ratkaisut ehtii käydä läpi,
|
|
koska haku on yleensä suoraviivainen toteuttaa
|
|
ja se antaa varmasti oikean vastauksen.
|
|
Jos täydellinen haku on liian hidas,
|
|
seuraavien lukujen ahneet algoritmit tai
|
|
dynaaminen ohjelmointi voivat soveltua
|
|
tehtävään.
|
|
|
|
\section{Osajoukkojen läpikäynti}
|
|
|
|
\index{osajoukko@osajoukko}
|
|
|
|
Aloitamme tapauksesta, jossa tehtävän
|
|
mahdollisia ratkaisuja ovat
|
|
$n$-alkioisen joukon osajoukot.
|
|
Tällöin täydellisen haun tulee
|
|
käydä läpi kaikki joukon osa\-joukot,
|
|
joita on yhteensä $2^n$ kappaletta.
|
|
Käymme läpi kaksi menetelmää
|
|
tällaisen haun toteuttamiseen.
|
|
|
|
\subsubsection{Menetelmä 1}
|
|
|
|
Kätevä tapa käydä läpi
|
|
kaikki joukon osajoukot on
|
|
käyttää rekursiota.
|
|
Seuraava funktio \texttt{haku} muodostaa
|
|
joukon $\{1,2,\ldots,n\}$ osajoukot.
|
|
Funktio pitää yllä vektoria \texttt{v},
|
|
johon se kokoaa osajoukossa olevat luvut.
|
|
Osajoukkojen muodostaminen alkaa
|
|
tekemällä funktiokutsu \texttt{haku(1)}.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
void haku(int k) {
|
|
if (k == n+1) {
|
|
// käsittele osajoukko v
|
|
} else {
|
|
haku(k+1);
|
|
v.push_back(k);
|
|
haku(k+1);
|
|
v.pop_back();
|
|
}
|
|
}
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Funktion parametri $k$ on luku,
|
|
joka on ehdolla lisättäväksi osajoukkoon seuraavaksi.
|
|
Joka kutsulla funktio haarautuu kahteen tapaukseen:
|
|
joko luku $k$ lisätään tai ei lisätä osajoukkoon.
|
|
Aina kun $k=n+1$, kaikki luvut on käyty läpi
|
|
ja yksi osajoukko on muodostettu.
|
|
|
|
Esimerkiksi kun $n=3$, funktiokutsut
|
|
muodostavat seuraavan kuvan mukaisen puun.
|
|
Joka kutsussa
|
|
vasen haara jättää luvun pois osajoukosta
|
|
ja oikea haara lisää sen osajoukkoon.
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.45]
|
|
\begin{scope}
|
|
\small
|
|
\node at (0,0) {$\texttt{haku}(1)$};
|
|
|
|
\node at (-8,-4) {$\texttt{haku}(2)$};
|
|
\node at (8,-4) {$\texttt{haku}(2)$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,->] (0,0-0.5) -- (-8,-4+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (0,0-0.5) -- (8,-4+0.5);
|
|
|
|
\node at (-12,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
|
\node at (-4,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
|
\node at (4,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
|
\node at (12,-8) {$\texttt{haku}(3)$};
|
|
|
|
\path[draw,thick,->] (-8,-4-0.5) -- (-12,-8+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (-8,-4-0.5) -- (-4,-8+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (8,-4-0.5) -- (4,-8+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (8,-4-0.5) -- (12,-8+0.5);
|
|
|
|
\node at (-14,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (-10,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (-6,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (-2,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (2,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (6,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (10,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
\node at (14,-12) {$\texttt{haku}(4)$};
|
|
|
|
\node at (-14,-13.5) {$\emptyset$};
|
|
\node at (-10,-13.5) {$\{3\}$};
|
|
\node at (-6,-13.5) {$\{2\}$};
|
|
\node at (-2,-13.5) {$\{2,3\}$};
|
|
\node at (2,-13.5) {$\{1\}$};
|
|
\node at (6,-13.5) {$\{1,3\}$};
|
|
\node at (10,-13.5) {$\{1,2\}$};
|
|
\node at (14,-13.5) {$\{1,2,3\}$};
|
|
|
|
|
|
\path[draw,thick,->] (-12,-8-0.5) -- (-14,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (-12,-8-0.5) -- (-10,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (-4,-8-0.5) -- (-6,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (-4,-8-0.5) -- (-2,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (4,-8-0.5) -- (2,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (4,-8-0.5) -- (6,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (12,-8-0.5) -- (10,-12+0.5);
|
|
\path[draw,thick,->] (12,-8-0.5) -- (14,-12+0.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsubsection{Menetelmä 2}
|
|
|
|
Toinen tapa käydä osajoukot läpi on hyödyntää kokonaislukujen
|
|
bittiesitystä. Jokainen $n$ alkion osajoukko
|
|
voidaan esittää $n$ bitin jonona,
|
|
joka taas vastaa lukua väliltä $0 \ldots 2^n-1$.
|
|
Bittiesityksen ykkösbitit ilmaisevat,
|
|
mitkä joukon alkiot on valittu osajoukkoon.
|
|
|
|
Tavallinen käytäntö on tulkita kokonaisluvun
|
|
bittiesitys osajoukkona niin,
|
|
että alkio $k$ kuuluu osajoukkoon,
|
|
jos lopusta lukien $k$. bitti on 1.
|
|
Esimerkiksi luvun 25 bittiesitys on 11001,
|
|
mikä vastaa osajoukkoa $\{1,4,5\}$.
|
|
|
|
Seuraava koodi käy läpi $n$ alkion joukon
|
|
osajoukkojen bittiesitykset:
|
|
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
|
|
// käsittele osajoukko b
|
|
}
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Seuraava koodi muodostaa jokaisen osajoukon
|
|
kohdalla vektorin \texttt{v},
|
|
joka sisältää osajoukossa olevat luvut.
|
|
Ne saadaan selville tutkimalla, mitkä bitit ovat
|
|
ykkösiä osajoukon bittiesityksessä.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
for (int b = 0; b < (1<<n); b++) {
|
|
vector<int> v;
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
if (b&(1<<i)) v.push_back(i+1);
|
|
}
|
|
}
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\section{Permutaatioiden läpikäynti}
|
|
|
|
\index{permutaatio@permutaatio}
|
|
|
|
Toinen usein esiintyvä tilanne on,
|
|
että tehtävän ratkaisut ovat $n$-alkioisen
|
|
joukon permutaatioita,
|
|
jolloin täydellisen haun tulee
|
|
käydä läpi $n!$ mahdollista permutaatiota.
|
|
Myös tässä tapauksessa on kaksi luontevaa
|
|
menetelmää täydellisen haun toteuttamiseen.
|
|
|
|
\subsubsection{Menetelmä 1}
|
|
|
|
Osajoukkojen tavoin permutaatioita voi muodostaa
|
|
rekursiivisesti.
|
|
Seuraava funktio \texttt{haku} käy läpi
|
|
joukon $\{1,2,\ldots,n\}$ permutaatiot.
|
|
Funktio muodostaa kunkin permutaation
|
|
vuorollaan vektoriin \texttt{v}.
|
|
Permutaatioiden muodostus alkaa kutsumalla
|
|
funktiota ilman parametreja.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
void haku() {
|
|
if (v.size() == n) {
|
|
// käsittele permutaatio v
|
|
} else {
|
|
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
|
if (p[i]) continue;
|
|
p[i] = 1;
|
|
v.push_back(i);
|
|
haku();
|
|
p[i] = 0;
|
|
v.pop_back();
|
|
}
|
|
}
|
|
}
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Funktion jokainen kutsu lisää uuden
|
|
luvun permutaatioon vektoriin \texttt{v}.
|
|
Taulukko \texttt{p} kertoo, mitkä luvut on jo
|
|
valittu permutaatioon.
|
|
Jos $\texttt{p}[k]=0$, luku $k$ ei ole mukana,
|
|
ja jos $\texttt{p}[k]=1$, luku $k$ on mukana.
|
|
Jos vektorin \texttt{v} koko on sama kuin
|
|
joukon koko $n$, permutaatio on tullut valmiiksi.
|
|
|
|
\subsubsection{Menetelmä 2}
|
|
|
|
\index{next\_permutation@\texttt{next\_permutation}}
|
|
|
|
Toinen ratkaisu on aloittaa permutaatiosta
|
|
$\{1,2,\ldots,n\}$ ja muodostaa joka askeleella
|
|
järjestyksessä seuraava permutaatio.
|
|
C++:n standardikirjastossa on funktio
|
|
\texttt{next\_permutation}, joka tekee tämän muunnoksen.
|
|
Seuraava koodi käy läpi joukon $\{1,2,\ldots,n\}$
|
|
permutaatiot funktion avulla:
|
|
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
vector<int> v;
|
|
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
|
v.push_back(i);
|
|
}
|
|
do {
|
|
// käsittele permutaatio v
|
|
} while (next_permutation(v.begin(),v.end()));
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\section{Peruuttava haku}
|
|
|
|
\index{peruuttava haku@peruuttava haku}
|
|
|
|
\key{Peruuttava haku}
|
|
aloittaa ratkaisun etsimisen tyhjästä
|
|
ja laajentaa ratkaisua askel kerrallaan.
|
|
Joka askeleella haku haarautuu kaikkiin
|
|
mahdollisiin suuntiin, joihin ratkaisua voi laajentaa.
|
|
Haaran tutkimisen jälkeen haku peruuttaa takaisin
|
|
ja jatkaa muihin mahdollisiin suuntiin.
|
|
|
|
\index{kuningatarongelma}
|
|
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä \key{kuningatarongelmaa},
|
|
jossa laskettavana on,
|
|
monellako tavalla $n \times n$ -shakkilaudalle
|
|
voidaan asettaa $n$ kuningatarta niin,
|
|
että mitkään kaksi kuningatarta eivät uhkaa toisiaan.
|
|
Esimerkiksi kun $n=4$, mahdolliset ratkaisut ovat seuraavat:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.65]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (4, 4);
|
|
\node at (1.5,3.5) {$K$};
|
|
\node at (3.5,2.5) {$K$};
|
|
\node at (0.5,1.5) {$K$};
|
|
\node at (2.5,0.5) {$K$};
|
|
|
|
\draw (6, 0) grid (10, 4);
|
|
\node at (6+2.5,3.5) {$K$};
|
|
\node at (6+0.5,2.5) {$K$};
|
|
\node at (6+3.5,1.5) {$K$};
|
|
\node at (6+1.5,0.5) {$K$};
|
|
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Tehtävän voi ratkaista peruuttavalla haulla
|
|
muodostamalla ratkaisua rivi kerrallaan.
|
|
Jokaisella rivillä täytyy valita yksi ruuduista,
|
|
johon sijoitetaan kuningatar niin,
|
|
ettei se uhkaa mitään aiemmin lisättyä kuningatarta.
|
|
Ratkaisu on valmis, kun viimeisellekin
|
|
riville on lisätty kuningatar.
|
|
|
|
Esimerkiksi kun $n=4$, osa peruuttavan haun muodostamasta
|
|
puusta näyttää seuraavalta:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (4, 4);
|
|
|
|
\draw (-9, -6) grid (-5, -2);
|
|
\draw (-3, -6) grid (1, -2);
|
|
\draw (3, -6) grid (7, -2);
|
|
\draw (9, -6) grid (13, -2);
|
|
|
|
\node at (-9+0.5,-3+0.5) {$K$};
|
|
\node at (-3+1+0.5,-3+0.5) {$K$};
|
|
\node at (3+2+0.5,-3+0.5) {$K$};
|
|
\node at (9+3+0.5,-3+0.5) {$K$};
|
|
|
|
\draw (2,0) -- (-7,-2);
|
|
\draw (2,0) -- (-1,-2);
|
|
\draw (2,0) -- (5,-2);
|
|
\draw (2,0) -- (11,-2);
|
|
|
|
\draw (-11, -12) grid (-7, -8);
|
|
\draw (-6, -12) grid (-2, -8);
|
|
\draw (-1, -12) grid (3, -8);
|
|
\draw (4, -12) grid (8, -8);
|
|
\draw[white] (11, -12) grid (15, -8);
|
|
\node at (-11+1+0.5,-9+0.5) {$K$};
|
|
\node at (-6+1+0.5,-9+0.5) {$K$};
|
|
\node at (-1+1+0.5,-9+0.5) {$K$};
|
|
\node at (4+1+0.5,-9+0.5) {$K$};
|
|
\node at (-11+0+0.5,-10+0.5) {$K$};
|
|
\node at (-6+1+0.5,-10+0.5) {$K$};
|
|
\node at (-1+2+0.5,-10+0.5) {$K$};
|
|
\node at (4+3+0.5,-10+0.5) {$K$};
|
|
|
|
\draw (-1,-6) -- (-9,-8);
|
|
\draw (-1,-6) -- (-4,-8);
|
|
\draw (-1,-6) -- (1,-8);
|
|
\draw (-1,-6) -- (6,-8);
|
|
|
|
\node at (-9,-13) {\ding{55}};
|
|
\node at (-4,-13) {\ding{55}};
|
|
\node at (1,-13) {\ding{55}};
|
|
\node at (6,-13) {\ding{51}};
|
|
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Kuvan alimmalla tasolla kolme ensimmäistä osaratkaisua
|
|
eivät kelpaa, koska niissä kuningattaret uhkaavat
|
|
toisiaan.
|
|
Sen sijaan neljäs osaratkaisu kelpaa,
|
|
ja sitä on mahdollista laajentaa loppuun asti
|
|
kokonaiseksi ratkaisuksi
|
|
asettamalla vielä kaksi kuningatarta laudalle.
|
|
|
|
\begin{samepage}
|
|
Seuraava koodi toteuttaa peruuttavan haun:
|
|
|
|
\begin{lstlisting}
|
|
void haku(int y) {
|
|
if (y == n) {
|
|
c++;
|
|
return;
|
|
}
|
|
for (int x = 0; x < n; x++) {
|
|
if (r1[x] || r2[x+y] || r3[x-y+n-1]) continue;
|
|
r1[x] = r2[x+y] = r3[x-y+n-1] = 1;
|
|
haku(y+1);
|
|
r1[x] = r2[x+y] = r3[x-y+n-1] = 0;
|
|
}
|
|
}
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{samepage}
|
|
Haku alkaa kutsumalla funktiota \texttt{haku(0)}.
|
|
Laudan koko on muuttujassa $n$,
|
|
ja koodi laskee ratkaisuiden määrän
|
|
muuttujaan $c$.
|
|
|
|
Koodi olettaa, että laudan vaaka- ja pystyrivit
|
|
on numeroitu 0:sta alkaen.
|
|
Funktio asettaa kuningattaren vaakariville $y$,
|
|
kun $0 \le y < n$.
|
|
Jos taas $y=n$, yksi ratkaisu on valmis
|
|
ja funktio kasvattaa muuttujaa $c$.
|
|
|
|
Taulukko \texttt{r1} pitää kirjaa,
|
|
millä laudan pystyriveillä on jo kuningatar.
|
|
Vastaavasti taulukot \texttt{r2} ja \texttt{r3}
|
|
pitävät kirjaa vinoriveistä.
|
|
Tällaisille riveille ei voi laittaa enää toista
|
|
kuningatarta.
|
|
Esimerkiksi $4 \times 4$ -laudan tapauksessa
|
|
rivit on numeroitu seuraavasti:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.65]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0-6, 0) grid (4-6, 4);
|
|
\node at (-6+0.5,3.5) {$0$};
|
|
\node at (-6+1.5,3.5) {$1$};
|
|
\node at (-6+2.5,3.5) {$2$};
|
|
\node at (-6+3.5,3.5) {$3$};
|
|
\node at (-6+0.5,2.5) {$0$};
|
|
\node at (-6+1.5,2.5) {$1$};
|
|
\node at (-6+2.5,2.5) {$2$};
|
|
\node at (-6+3.5,2.5) {$3$};
|
|
\node at (-6+0.5,1.5) {$0$};
|
|
\node at (-6+1.5,1.5) {$1$};
|
|
\node at (-6+2.5,1.5) {$2$};
|
|
\node at (-6+3.5,1.5) {$3$};
|
|
\node at (-6+0.5,0.5) {$0$};
|
|
\node at (-6+1.5,0.5) {$1$};
|
|
\node at (-6+2.5,0.5) {$2$};
|
|
\node at (-6+3.5,0.5) {$3$};
|
|
|
|
\draw (0, 0) grid (4, 4);
|
|
\node at (0.5,3.5) {$0$};
|
|
\node at (1.5,3.5) {$1$};
|
|
\node at (2.5,3.5) {$2$};
|
|
\node at (3.5,3.5) {$3$};
|
|
\node at (0.5,2.5) {$1$};
|
|
\node at (1.5,2.5) {$2$};
|
|
\node at (2.5,2.5) {$3$};
|
|
\node at (3.5,2.5) {$4$};
|
|
\node at (0.5,1.5) {$2$};
|
|
\node at (1.5,1.5) {$3$};
|
|
\node at (2.5,1.5) {$4$};
|
|
\node at (3.5,1.5) {$5$};
|
|
\node at (0.5,0.5) {$3$};
|
|
\node at (1.5,0.5) {$4$};
|
|
\node at (2.5,0.5) {$5$};
|
|
\node at (3.5,0.5) {$6$};
|
|
|
|
\draw (6, 0) grid (10, 4);
|
|
\node at (6.5,3.5) {$3$};
|
|
\node at (7.5,3.5) {$4$};
|
|
\node at (8.5,3.5) {$5$};
|
|
\node at (9.5,3.5) {$6$};
|
|
\node at (6.5,2.5) {$2$};
|
|
\node at (7.5,2.5) {$3$};
|
|
\node at (8.5,2.5) {$4$};
|
|
\node at (9.5,2.5) {$5$};
|
|
\node at (6.5,1.5) {$1$};
|
|
\node at (7.5,1.5) {$2$};
|
|
\node at (8.5,1.5) {$3$};
|
|
\node at (9.5,1.5) {$4$};
|
|
\node at (6.5,0.5) {$0$};
|
|
\node at (7.5,0.5) {$1$};
|
|
\node at (8.5,0.5) {$2$};
|
|
\node at (9.5,0.5) {$3$};
|
|
|
|
\node at (-4,-1) {\texttt{r1}};
|
|
\node at (2,-1) {\texttt{r2}};
|
|
\node at (8,-1) {\texttt{r3}};
|
|
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Koodin avulla selviää esimerkiksi,
|
|
että tapauksessa $n=8$ on 92 tapaa sijoittaa 8
|
|
kuningatarta $8 \times 8$ -laudalle.
|
|
Kun $n$ kasvaa, koodi hidastuu nopeasti,
|
|
koska ratkaisujen määrä kasvaa räjähdysmäisesti.
|
|
Tapauksen $n=16$ laskeminen vie jo noin minuutin
|
|
nykyaikaisella tietokoneella (14772512 ratkaisua).
|
|
|
|
\section{Haun optimointi}
|
|
|
|
Peruuttavaa hakua on usein mahdollista tehostaa
|
|
erilaisten optimointien avulla.
|
|
Tavoitteena on lisätä hakuun ''älykkyyttä''
|
|
niin, että haku pystyy havaitsemaan
|
|
mahdollisimman aikaisin,
|
|
jos muodosteilla oleva ratkaisu ei voi
|
|
johtaa kokonaiseen ratkaisuun.
|
|
Tällaiset optimoinnit karsivat haaroja
|
|
hakupuusta, millä voi olla suuri vaikutus
|
|
peruuttavan haun tehokkuuteen.
|
|
|
|
Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää,
|
|
jossa laskettavana on reittien määrä
|
|
$n \times n$ -ruudukon
|
|
vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan,
|
|
kun reitin aikana tulee käydä tarkalleen kerran
|
|
jokaisessa ruudussa.
|
|
Esimerkiksi $7 \times 7$ -ruudukossa on
|
|
111712 mahdollista reittiä vasemmasta yläkulmasta
|
|
oikeaan alakulmaan, joista yksi on seuraava:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (7, 7);
|
|
\draw[thick,->] (0.5,6.5) -- (0.5,4.5) -- (2.5,4.5) --
|
|
(2.5,3.5) -- (0.5,3.5) -- (0.5,0.5) --
|
|
(3.5,0.5) -- (3.5,1.5) -- (1.5,1.5) --
|
|
(1.5,2.5) -- (4.5,2.5) -- (4.5,0.5) --
|
|
(5.5,0.5) -- (5.5,3.5) -- (3.5,3.5) --
|
|
(3.5,5.5) -- (1.5,5.5) -- (1.5,6.5) --
|
|
(4.5,6.5) -- (4.5,4.5) -- (5.5,4.5) --
|
|
(5.5,6.5) -- (6.5,6.5) -- (6.5,0.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Keskitymme seuraavaksi nimenomaan tapaukseen $7 \times 7$,
|
|
koska se on laskennallisesti sopivan haastava.
|
|
Lähdemme liikkeelle suoraviivaisesta peruuttavaa hakua
|
|
käyttävästä algoritmista
|
|
ja teemme siihen pikkuhiljaa optimointeja,
|
|
jotka nopeuttavat hakua eri tavoin.
|
|
Mittaamme jokaisen optimoinnin jälkeen
|
|
algoritmin suoritusajan sekä rekursiokutsujen yhteismäärän,
|
|
jotta näemme selvästi, mikä vaikutus kullakin
|
|
optimoinnilla on haun tehokkuuteen.
|
|
|
|
\subsubsection{Perusalgoritmi}
|
|
|
|
Algoritmin ensimmäisessä versiossa ei ole mitään optimointeja,
|
|
vaan peruuttava haku käy läpi kaikki mahdolliset tavat
|
|
muodostaa reitti ruudukon vasemmasta yläkulmasta
|
|
oikeaan alakulmaan.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
suoritusaika: 483 sekuntia
|
|
\item
|
|
rekursiokutsuja: 76 miljardia
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Optimointi 1}
|
|
|
|
Reitin ensimmäinen askel on joko alaspäin
|
|
tai oikealle. Tästä valinnasta seuraavat tilanteet
|
|
ovat symmetrisiä ruudukon lävistäjän suhteen.
|
|
Esimerkiksi seuraavat ratkaisut ovat
|
|
symmetrisiä keskenään:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{ccc}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (7, 7);
|
|
\draw[thick,->] (0.5,6.5) -- (0.5,4.5) -- (2.5,4.5) --
|
|
(2.5,3.5) -- (0.5,3.5) -- (0.5,0.5) --
|
|
(3.5,0.5) -- (3.5,1.5) -- (1.5,1.5) --
|
|
(1.5,2.5) -- (4.5,2.5) -- (4.5,0.5) --
|
|
(5.5,0.5) -- (5.5,3.5) -- (3.5,3.5) --
|
|
(3.5,5.5) -- (1.5,5.5) -- (1.5,6.5) --
|
|
(4.5,6.5) -- (4.5,4.5) -- (5.5,4.5) --
|
|
(5.5,6.5) -- (6.5,6.5) -- (6.5,0.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
& \hspace{20px}
|
|
&
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}[yscale=1,xscale=-1,rotate=-90]
|
|
\draw (0, 0) grid (7, 7);
|
|
\draw[thick,->] (0.5,6.5) -- (0.5,4.5) -- (2.5,4.5) --
|
|
(2.5,3.5) -- (0.5,3.5) -- (0.5,0.5) --
|
|
(3.5,0.5) -- (3.5,1.5) -- (1.5,1.5) --
|
|
(1.5,2.5) -- (4.5,2.5) -- (4.5,0.5) --
|
|
(5.5,0.5) -- (5.5,3.5) -- (3.5,3.5) --
|
|
(3.5,5.5) -- (1.5,5.5) -- (1.5,6.5) --
|
|
(4.5,6.5) -- (4.5,4.5) -- (5.5,4.5) --
|
|
(5.5,6.5) -- (6.5,6.5) -- (6.5,0.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Tämän ansiosta voimme tehdä päätöksen,
|
|
että reitin ensimmäinen askel on alaspäin,
|
|
ja kertoa lopuksi reittien määrän 2:lla.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
suoritusaika: 244 sekuntia
|
|
\item
|
|
rekursiokutsuja: 38 miljardia
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Optimointi 2}
|
|
|
|
Jos reitti menee oikean alakulman ruutuun ennen kuin
|
|
se on käynyt kaikissa muissa ruuduissa,
|
|
siitä ei voi mitenkään enää saada kelvollista ratkaisua.
|
|
Näin on esimerkiksi seuraavassa tilanteessa:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (7, 7);
|
|
\draw[thick,->] (0.5,6.5) -- (0.5,4.5) -- (2.5,4.5) --
|
|
(2.5,3.5) -- (0.5,3.5) -- (0.5,0.5) --
|
|
(3.5,0.5) -- (3.5,1.5) -- (1.5,1.5) --
|
|
(1.5,2.5) -- (4.5,2.5) -- (4.5,0.5) --
|
|
(6.5,0.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Niinpä voimme keskeyttää hakuhaaran heti,
|
|
jos tulemme oikean alakulman ruutuun liian aikaisin.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
suoritusaika: 119 sekuntia
|
|
\item
|
|
rekursiokutsuja: 20 miljardia
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Optimointi 3}
|
|
|
|
Jos reitti osuu seinään niin, että kummallakin puolella
|
|
on ruutu, jossa reitti ei ole vielä käynyt,
|
|
ruudukko jakautuu kahteen osaan.
|
|
Esimerkiksi seuraavassa tilanteessa
|
|
sekä vasemmalla että
|
|
oikealla puolella on tyhjä ruutu:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (7, 7);
|
|
\draw[thick,->] (0.5,6.5) -- (0.5,4.5) -- (2.5,4.5) --
|
|
(2.5,3.5) -- (0.5,3.5) -- (0.5,0.5) --
|
|
(3.5,0.5) -- (3.5,1.5) -- (1.5,1.5) --
|
|
(1.5,2.5) -- (4.5,2.5) -- (4.5,0.5) --
|
|
(5.5,0.5) -- (5.5,6.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Nyt ei ole enää mahdollista käydä kaikissa ruuduissa,
|
|
joten voimme keskeyttää hakuhaaran.
|
|
Tämä optimointi on hyvin hyödyllinen:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
suoritusaika: 1{,}8 sekuntia
|
|
\item
|
|
rekursiokutsuja: 221 miljoonaa
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Optimointi 4}
|
|
|
|
Äskeisen optimoinnin ideaa voi yleistää:
|
|
ruudukko jakaantuu kahteen osaan,
|
|
jos nykyisen ruudun ylä- ja alapuolella on
|
|
tyhjä ruutu sekä vasemmalla ja oikealla
|
|
puolella on seinä tai aiemmin käyty ruutu
|
|
(tai päinvastoin).
|
|
|
|
Esimerkiksi seuraavassa tilanteessa
|
|
nykyisen ruudun ylä- ja alapuolella on
|
|
tyhjä ruutu eikä reitti voi enää edetä
|
|
molempiin ruutuihin:
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw (0, 0) grid (7, 7);
|
|
\draw[thick,->] (0.5,6.5) -- (0.5,4.5) -- (2.5,4.5) --
|
|
(2.5,3.5) -- (0.5,3.5) -- (0.5,0.5) --
|
|
(3.5,0.5) -- (3.5,1.5) -- (1.5,1.5) --
|
|
(1.5,2.5) -- (4.5,2.5) -- (4.5,0.5) --
|
|
(5.5,0.5) -- (5.5,4.5) -- (3.5,4.5);
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
Haku tehostuu entisestään, kun keskeytämme
|
|
hakuhaaran kaikissa tällaisissa tapauksissa:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
suoritusaika: 0{,}6 sekuntia
|
|
\item
|
|
rekursiokutsuja: 69 miljoonaa
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
~\\
|
|
Nyt on hyvä hetki lopettaa optimointi ja muistella,
|
|
mistä lähdimme liikkeelle.
|
|
Alkuperäinen algoritmi vei aikaa 483 sekuntia,
|
|
ja nyt optimointien jälkeen algoritmi vie aikaa
|
|
vain 0{,}6 sekuntia.
|
|
Optimointien ansiosta algoritmi nopeutui
|
|
siis lähes 1000-kertaisesti.
|
|
|
|
Tämä on yleinen ilmiö peruuttavassa haussa,
|
|
koska hakupuu on yleensä valtava ja
|
|
yksinkertainenkin optimointi voi karsia suuren
|
|
määrän haaroja hakupuusta.
|
|
Erityisen hyödyllisiä ovat optimoinnit,
|
|
jotka kohdistuvat hakupuun yläosaan,
|
|
koska ne karsivat eniten haaroja.
|
|
|
|
\section{Puolivälihaku}
|
|
|
|
\index{puolivxlihaku@puolivälihaku}
|
|
|
|
\key{Puolivälihaku} (''meet in the middle'') on tekniikka,
|
|
jossa hakutehtävä jaetaan kahteen yhtä suureen osaan.
|
|
Kumpaankin osaan tehdään erillinen haku,
|
|
ja lopuksi hakujen tulokset yhdistetään.
|
|
|
|
Puolivälihaun käyttäminen edellyttää,
|
|
että erillisten hakujen tulokset pystyy
|
|
yhdistämään tehokkaasti.
|
|
Tällöin puolivälihaku on tehokkaampi
|
|
kuin yksi haku, joka käy läpi koko hakualueen.
|
|
Tyypillisesti puolivälihaku tehostaa algoritmia
|
|
niin, että aikavaativuuden kertoimesta $2^n$
|
|
tulee kerroin $2^{n/2}$.
|
|
|
|
Tarkastellaan ongelmaa, jossa annettuna
|
|
on $n$ lukua sisältävä lista sekä kokonaisluku $x$.
|
|
Tehtävänä on selvittää, voiko listalta valita
|
|
joukon lukuja niin, että niiden summa on $x$.
|
|
Esimerkiksi jos lista on $[2,4,5,9]$ ja $x=15$,
|
|
voimme valita listalta luvut $[2,4,9]$,
|
|
jolloin $2+4+9=15$.
|
|
Jos taas lista säilyy ennallaan ja $x=10$,
|
|
mikään valinta ei täytä vaatimusta.
|
|
|
|
Tavanomainen ratkaisu tehtävään on käydä kaikki
|
|
listan alkioiden osajoukot läpi ja tarkastaa,
|
|
onko jonkin osajoukon summa $x$.
|
|
Tällainen ratkaisu kuluttaa aikaa $O(2^n)$,
|
|
koska erilaisia osajoukkoja on $2^n$.
|
|
Seuraavaksi näemme,
|
|
miten puolivälihaun avulla on mahdollista luoda
|
|
tehokkaampi $O(2^{n/2})$-aikainen ratkaisu.
|
|
Huomaa, että aikavaativuuksissa $O(2^n)$ ja
|
|
$O(2^{n/2})$ on merkittävä ero, koska
|
|
$2^{n/2}$ tarkoittaa samaa kuin $\sqrt{2^n}$.
|
|
|
|
Ideana on jakaa syötteenä oleva lista
|
|
kahteen listaan $A$ ja $B$,
|
|
joista kumpikin sisältää noin puolet luvuista.
|
|
Ensimmäinen haku muodostaa kaikki osajoukot
|
|
listan $A$ luvuista ja laittaa muistiin niiden summat
|
|
listaan $S_A$.
|
|
Toinen haku muodostaa vastaavasti listan
|
|
$B$ perusteella listan $S_B$.
|
|
Tämän jälkeen riittää tarkastaa,
|
|
onko mahdollista valita yksi luku listasta $S_A$
|
|
ja toinen luku listasta $S_B$ niin,
|
|
että lukujen summa on $x$.
|
|
Tämä on mahdollista tarkalleen silloin,
|
|
kun alkuperäisen listan luvuista saa summan $x$.
|
|
|
|
Tarkastellaan esimerkkiä,
|
|
jossa lista on $[2,4,5,9]$
|
|
ja $x=15$.
|
|
Puolivälihaku jakaa luvut kahteen
|
|
listaan niin, että $A=[2,4]$
|
|
ja $B=[5,9]$.
|
|
Näistä saadaan edelleen summalistat
|
|
$S_A=[0,2,4,6]$ ja $S_B=[0,5,9,14]$.
|
|
Summa $x=15$ on mahdollista muodostaa,
|
|
koska voidaan valita $S_A$:sta luku $6$
|
|
ja $S_B$:stä luku $9$.
|
|
Tämä valinta vastaa ratkaisua $[2,4,9]$.
|
|
|
|
Ratkaisun aikavaativuus on $O(2^{n/2})$,
|
|
koska kummassakin listassa $A$ ja $B$
|
|
on $n/2$ lukua ja niiden osajoukkojen
|
|
summien laskeminen listoihin $S_A$ ja $S_B$
|
|
vie aikaa $O(2^{n/2})$.
|
|
Tämän jälkeen on mahdollista tarkastaa
|
|
ajassa $O(2^{n/2})$, voiko summaa $x$ muodostaa
|
|
listojen $S_A$ ja $S_B$ luvuista. |