787 lines
23 KiB
TeX
787 lines
23 KiB
TeX
\chapter{Game theory}
|
||
|
||
Tässä luvussa keskitymme kahden pelaajan peleihin,
|
||
joissa molemmat pelaajat tekevät
|
||
samanlaisia siirtoja eikä pelissä ole satunnaisuutta.
|
||
Tavoitteemme on etsiä strategia, jota käyttäen
|
||
pelaaja pystyy voittamaan pelin toisen pelaajan
|
||
toimista riippumatta, jos tämä on mahdollista.
|
||
|
||
Osoittautuu, että kaikki tällaiset pelit ovat
|
||
pohjimmiltaan samanlaisia ja niiden analyysi on
|
||
mahdollista \key{nim-teorian} avulla.
|
||
Perehdymme aluksi yksinkertaisiin tikkupeleihin,
|
||
joissa pelaajat poistavat tikkuja kasoista,
|
||
ja yleistämme sitten näiden pelien teorian kaikkiin peleihin.
|
||
|
||
\section{Pelin tilat}
|
||
|
||
Tarkastellaan peliä, jossa kasassa on $n$ tikkua.
|
||
Pelaajat $A$ ja $B$ siirtävät vuorotellen ja
|
||
pelaaja $A$ aloittaa.
|
||
Jokaisella siirrolla pelaajan tulee poistaa
|
||
1, 2 tai 3 tikkua kasasta.
|
||
Pelin voittaa se pelaaja, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||
|
||
Esimerkiksi jos $n=10$, peli saattaa edetä seuraavasti:
|
||
\begin{enumerate}[noitemsep]
|
||
\item Pelaaja $A$ poistaa 2 tikkua (jäljellä 8 tikkua).
|
||
\item Pelaaja $B$ poistaa 3 tikkua (jäljellä 5 tikkua).
|
||
\item Pelaaja $A$ poistaa 1 tikun (jäljellä 4 tikkua).
|
||
\item Pelaaja $B$ poistaa 2 tikkua (jäljellä 2 tikkua).
|
||
\item Pelaaja $A$ poistaa 2 tikkua ja voittaa.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Tämä peli muodostuu tiloista $0,1,2,\ldots,n$,
|
||
missä tilan numero vastaa sitä, montako tikkua
|
||
kasassa on jäljellä.
|
||
Tietyssä tilassa olevan pelaajan valittavana on,
|
||
montako tikkua hän poistaa kasasta.
|
||
|
||
\subsubsection{Voittotila ja häviötila}
|
||
|
||
\index{voittotila@voittotila}
|
||
\index{hxviztila@häviötila}
|
||
|
||
\key{Voittotila} on tila, jossa oleva pelaaja voittaa
|
||
pelin varmasti, jos hän pelaa optimaalisesti.
|
||
Vastaavasti \key{häviötila} on tila,
|
||
jossa oleva pelaaja häviää varmasti, jos vastustaja
|
||
pelaa optimaalisesti.
|
||
Osoittautuu, että pelin tilat on mahdollista luokitella
|
||
niin, että jokainen tila on joko voittotila tai häviötila.
|
||
|
||
Yllä olevassa pelissä tila 0 on selkeästi häviötila,
|
||
koska siinä oleva pelaaja häviää pelin suoraan.
|
||
Tilat 1, 2 ja 3 taas ovat voittotiloja,
|
||
koska niissä oleva pelaaja voi poistaa
|
||
1, 2 tai 3 tikkua ja voittaa pelin.
|
||
Vastaavasti tila 4 on häviötila, koska mikä tahansa
|
||
siirto johtaa toisen pelaajan voittoon.
|
||
|
||
Yleisemmin voidaan havaita, että jos tilasta on
|
||
jokin häviötilaan johtava siirto, niin tila on voittotila,
|
||
ja muussa tapauksessa tila on häviötila.
|
||
Tämän ansiosta voidaan luokitella kaikki pelin tilat
|
||
alkaen varmoista häviötiloista, joista ei ole siirtoja
|
||
mihinkään muihin tiloihin.
|
||
|
||
Seuraavassa on pelin tilojen $0 \ldots 15$ luokittelu
|
||
($V$ tarkoittaa voittotilaa ja $H$ tarkoittaa häviötilaa):
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
\draw (0,0) grid (16,1);
|
||
|
||
\node at (0.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (1.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (2.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (3.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (4.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (5.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (6.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (7.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (8.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (9.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (10.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (11.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (12.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (13.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (14.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (15.5,0.5) {$V$};
|
||
|
||
\footnotesize
|
||
\node at (0.5,1.4) {$0$};
|
||
\node at (1.5,1.4) {$1$};
|
||
\node at (2.5,1.4) {$2$};
|
||
\node at (3.5,1.4) {$3$};
|
||
\node at (4.5,1.4) {$4$};
|
||
\node at (5.5,1.4) {$5$};
|
||
\node at (6.5,1.4) {$6$};
|
||
\node at (7.5,1.4) {$7$};
|
||
\node at (8.5,1.4) {$8$};
|
||
\node at (9.5,1.4) {$9$};
|
||
\node at (10.5,1.4) {$10$};
|
||
\node at (11.5,1.4) {$11$};
|
||
\node at (12.5,1.4) {$12$};
|
||
\node at (13.5,1.4) {$13$};
|
||
\node at (14.5,1.4) {$14$};
|
||
\node at (15.5,1.4) {$15$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Tämän pelin analyysi on yksinkertainen:
|
||
tila $k$ on häviötila, jos $k$ on jaollinen 4:llä,
|
||
ja muuten tila $k$ on voittotila.
|
||
Optimaalinen tapa pelata peliä on
|
||
valita aina sellainen siirto, että vastustajalle
|
||
jää 4:llä jaollinen määrä tikkuja,
|
||
kunnes lopulta tikut loppuvat ja vastustaja on hävinnyt.
|
||
|
||
Tämä pelitapa edellyttää luonnollisesti sitä,
|
||
että tikkujen määrä omalla siirrolla \emph{ei} ole
|
||
4:llä jaollinen. Jos näin kuitenkin on, mitään ei ole
|
||
tehtävissä vaan vastustaja voittaa
|
||
pelin varmasti, jos hän pelaa optimaalisesti.
|
||
|
||
\subsubsection{Tilaverkko}
|
||
|
||
Tarkastellaan sitten toisenlaista tikkupeliä,
|
||
jossa tilassa $k$ saa poistaa minkä tahansa
|
||
määrän tikkuja $x$, kunhan $k$ on jaollinen $x$:llä
|
||
ja $x$ on pienempi kuin $k$.
|
||
Esimerkiksi tilassa 8 on sallittua poistaa
|
||
1, 2 tai 4 tikkua, mutta tilassa 7
|
||
ainoa mahdollinen siirto on poistaa 1 tikku.
|
||
|
||
Seuraava kuva esittää pelin tilat $1 \ldots 9$ \key{tilaverkkona}, jossa solmut ovat pelin tiloja
|
||
ja kaaret kuvaavat mahdollisia siirtoja tilojen välillä:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {$1$};
|
||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {$2$};
|
||
\node[draw, circle] (3) at (3.5,-1) {$3$};
|
||
\node[draw, circle] (4) at (1.5,-2) {$4$};
|
||
\node[draw, circle] (5) at (3,-2.75) {$5$};
|
||
\node[draw, circle] (6) at (2.5,-4.5) {$6$};
|
||
\node[draw, circle] (7) at (0.5,-3.25) {$7$};
|
||
\node[draw, circle] (8) at (-1,-4) {$8$};
|
||
\node[draw, circle] (9) at (1,-5.5) {$9$};
|
||
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (1);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) edge [bend right=20] (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) edge [bend left=20] (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) edge [bend left=20] (3);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) edge [bend right=20] (4);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) edge [bend left=20] (5);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) edge [bend left=20] (4);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) edge [bend right=40] (3);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (7) edge [bend right=20] (6);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (8) edge [bend right=20] (7);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (8) edge [bend right=20] (6);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (8) edge [bend left=20] (4);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (9) edge [bend left=20] (8);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (9) edge [bend right=20] (6);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Tämä peli päättyy aina tilaan 1, joka on häviötila,
|
||
koska siinä ei voi tehdä mitään siirtoja.
|
||
Pelin tilojen $1 \ldots 9$ luokittelu on seuraava:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||
\draw (1,0) grid (10,1);
|
||
|
||
\node at (1.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (2.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (3.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (4.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (5.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (6.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (7.5,0.5) {$H$};
|
||
\node at (8.5,0.5) {$V$};
|
||
\node at (9.5,0.5) {$H$};
|
||
|
||
\footnotesize
|
||
\node at (1.5,1.4) {$1$};
|
||
\node at (2.5,1.4) {$2$};
|
||
\node at (3.5,1.4) {$3$};
|
||
\node at (4.5,1.4) {$4$};
|
||
\node at (5.5,1.4) {$5$};
|
||
\node at (6.5,1.4) {$6$};
|
||
\node at (7.5,1.4) {$7$};
|
||
\node at (8.5,1.4) {$8$};
|
||
\node at (9.5,1.4) {$9$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Yllättävää kyllä, tässä pelissä kaikki
|
||
parilliset tilat ovat voittotiloja ja
|
||
kaikki parittomat tilat ovat häviötiloja.
|
||
|
||
\section{Nim-peli}
|
||
|
||
\index{nim-peli}
|
||
|
||
\key{Nim-peli} on yksinkertainen peli,
|
||
joka on tärkeässä asemassa peliteoriassa,
|
||
koska monia pelejä voi pelata samalla
|
||
strategialla kuin nim-peliä.
|
||
Tutustumme aluksi nim-peliin ja yleistämme
|
||
strategian sitten muihin peleihin.
|
||
|
||
Nim-pelissä on $n$ kasaa tikkuja,
|
||
joista kussakin on tietty määrä tikkuja.
|
||
Pelaajat poistavat kasoista tikkuja vuorotellen.
|
||
Joka vuorolla pelaaja valitsee yhden kasan,
|
||
jossa on vielä tikkuja,
|
||
ja poistaa siitä minkä tahansa määrän tikkuja.
|
||
Pelin voittaa se, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||
|
||
Nim-pelin tila on muotoa $[x_1,x_2,\ldots,x_n]$,
|
||
jossa $x_k$ on tikkujen määrä kasassa $k$.
|
||
Esimerkiksi $[10,12,5]$ tarkoittaa peliä,
|
||
jossa on kolme kasaa ja tikkujen määrät ovat 10, 12 ja 5.
|
||
Tila $[0,0,\ldots,0]$ on häviötila,
|
||
koska siitä ei voi poistaa mitään tikkua,
|
||
ja peli päättyy aina tähän tilaan.
|
||
|
||
\subsubsection{Analyysi}
|
||
\index{nim-summa}
|
||
Osoittautuu, että nim-pelin tilan luonteen
|
||
kertoo \key{nim-summa} $x_1 \oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n$,
|
||
missä $\oplus$ tarkoittaa xor-operaatiota.
|
||
Jos nim-summa on 0, tila on häviötila,
|
||
ja muussa tapauksessa tila on voittotila.
|
||
Esimerkiksi tilan $[10,12,5]$ nim-summa on
|
||
$10 \oplus 12 \oplus 5 = 3$, joten tila on voittotila.
|
||
|
||
Mutta miten nim-summa liittyy nim-peliin?
|
||
Tämä selviää tutkimalla, miten nim-summa muuttuu,
|
||
kun nim-pelin tila muuttuu.
|
||
|
||
~\\
|
||
\noindent
|
||
\textit{Häviötilat:}
|
||
Pelin päätöstila $[0,0,\ldots,0]$ on häviötila,
|
||
ja sen nim-summa on 0, kuten kuuluukin.
|
||
Muissa häviötiloissa mikä tahansa siirto johtaa
|
||
voittotilaan, koska yksi luvuista $x_k$ muuttuu
|
||
ja samalla pelin nim-summa muuttuu
|
||
eli siirron jälkeen nim-summasta tulee jokin muu kuin 0.
|
||
|
||
~\\
|
||
\noindent
|
||
\textit{Voittotilat:}
|
||
Voittotilasta pääsee häviötilaan muuttamalla
|
||
jonkin kasan $k$ tikkujen määräksi $x_k \oplus s$,
|
||
missä $s$ on pelin nim-summa.
|
||
Vaatimuksena on, että $x_k \oplus s < x_k$,
|
||
koska kasasta voi vain poistaa tikkuja.
|
||
Sopiva kasa $x_k$ on sellainen,
|
||
jossa on ykkösbitti samassa kohdassa kuin
|
||
$s$:n vasemmanpuoleisin ykkösbitti.
|
||
|
||
~\\
|
||
\noindent
|
||
Tarkastellaan esimerkkinä tilaa $[10,2,5]$.
|
||
Tämä tila on voittotila,
|
||
koska sen nim-summa on 3.
|
||
Täytyy siis olla olemassa siirto,
|
||
jolla tilasta pääsee häviötilaan.
|
||
Selvitetään se seuraavaksi.
|
||
|
||
\begin{samepage}
|
||
Pelin nim-summa muodostuu seuraavasti:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{r|r}
|
||
10 & \texttt{1010} \\
|
||
12 & \texttt{1100} \\
|
||
5 & \texttt{0101} \\
|
||
\hline
|
||
3 & \texttt{0011} \\
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
\end{samepage}
|
||
|
||
Tässä tapauksessa
|
||
10 tikun kasa on ainoa,
|
||
jonka bittiesityksessä on ykkösbitti
|
||
samassa kohdassa kuin
|
||
nim-summan vasemmanpuoleisin ykkösbitti:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{r|r}
|
||
10 & \texttt{10\textcircled{1}0} \\
|
||
12 & \texttt{1100} \\
|
||
5 & \texttt{0101} \\
|
||
\hline
|
||
3 & \texttt{00\textcircled{1}1} \\
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Kasan uudeksi sisällöksi täytyy saada
|
||
$10 \oplus 3 = 9$ tikkua,
|
||
mikä onnistuu poistamalla 1 tikku
|
||
10 tikun kasasta.
|
||
Tämän seurauksena tilaksi tulee $[9,12,5]$,
|
||
joka on häviötila, kuten pitääkin:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{r|r}
|
||
9 & \texttt{1001} \\
|
||
12 & \texttt{1100} \\
|
||
5 & \texttt{0101} \\
|
||
\hline
|
||
0 & \texttt{0000} \\
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\subsubsection{Misääripeli}
|
||
|
||
\index{misxxripeli@misääripeli}
|
||
|
||
\key{Misääripelissä} nim-pelin tavoite on käänteinen,
|
||
eli pelin häviää se, joka poistaa viimeisen tikun.
|
||
Osoittautuu, että misääripeliä pystyy pelaamaan lähes samalla
|
||
strategialla kuin tavallista nim-peliä.
|
||
|
||
Ideana on pelata misääripeliä aluksi kuin tavallista
|
||
nim-peliä, mutta muuttaa strategiaa pelin
|
||
lopussa. Käänne tapahtuu silloin, kun seuraavan
|
||
siirron seurauksena kaikissa pelin kasoissa olisi 0 tai 1 tikkua.
|
||
|
||
Tavallisessa nim-pelissä tulisi nyt tehdä siirto,
|
||
jonka jälkeen 1-tikkuisia kasoja on parillinen määrä.
|
||
Misääripelissä tulee kuitenkin tehdä siirto,
|
||
jonka jälkeen 1-tikkuisia kasoja on pariton määrä.
|
||
|
||
Tämä strategia toimii, koska käännekohta tulee aina
|
||
vastaan jossakin vaiheessa peliä,
|
||
ja kyseinen tila on voittotila,
|
||
koska siinä on tarkalleen yksi kasa,
|
||
jossa on yli 1 tikkua,
|
||
joten nim-summa ei ole 0.
|
||
|
||
\section{Sprague–Grundyn lause}
|
||
|
||
\index{Sprague–Grundyn lause}
|
||
|
||
\key{Sprague–Grundyn lause} yleistää nim-pelin strategian
|
||
kaikkiin peleihin, jotka täyttävät
|
||
seuraavat vaatimukset:
|
||
|
||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||
\item Pelissä on kaksi pelaajaa, jotka tekevät vuorotellen siirtoja.
|
||
\item Peli muodostuu tiloista ja mahdolliset siirrot tilasta
|
||
eivät riipu siitä, kumpi pelaaja on vuorossa.
|
||
\item Peli päättyy, kun toinen pelaaja ei voi tehdä siirtoa.
|
||
\item Peli päättyy varmasti ennemmin tai myöhemmin.
|
||
\item Pelaajien saatavilla on kaikki tieto tiloista
|
||
ja siirroista, eikä pelissä ole satunnaisuutta.
|
||
\end{itemize}
|
||
Ideana on laskea kullekin pelin tilalle Grundy-luku,
|
||
joka vastaa tikkujen määrää nim-pelin kasassa.
|
||
Kun kaikkien tilojen Grundy-luvut ovat tiedossa,
|
||
peliä voi pelata aivan kuin se olisi nim-peli.
|
||
|
||
\subsubsection{Grundy-luku}
|
||
|
||
\index{Grundy-luku}
|
||
\index{mex-funktio}
|
||
|
||
Pelin tilan \key{Grundy-luku} määritellään rekursiivisesti
|
||
kaavalla
|
||
\[\textrm{mex}(\{g_1,g_2,\ldots,g_n\}),\]
|
||
jossa $g_1,g_2,\ldots,g_n$ ovat niiden tilojen
|
||
Grundy-luvut, joihin tilasta pääsee yhdellä siirrolla,
|
||
ja funktio mex antaa pienimmän ei-negatiivisen
|
||
luvun, jota ei esiinny joukossa.
|
||
Esimerkiksi $\textrm{mex}(\{0,1,3\})=2$.
|
||
Jos tilasta ei voi tehdä mitään siirtoa,
|
||
sen Grundy-luku on 0, koska $\textrm{mex}(\emptyset)=0$.
|
||
|
||
Esimerkiksi tilaverkossa
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {\phantom{0}};
|
||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {\phantom{0}};
|
||
\node[draw, circle] (3) at (4,0) {\phantom{0}};
|
||
\node[draw, circle] (4) at (1,-2) {\phantom{0}};
|
||
\node[draw, circle] (5) at (3,-2) {\phantom{0}};
|
||
\node[draw, circle] (6) at (5,-2) {\phantom{0}};
|
||
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (1);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (4);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (5);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (2);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
Grundy-luvut ovat seuraavat:
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
|
||
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {0};
|
||
\node[draw, circle] (2) at (2,0) {1};
|
||
\node[draw, circle] (3) at (4,0) {0};
|
||
\node[draw, circle] (4) at (1,-2) {2};
|
||
\node[draw, circle] (5) at (3,-2) {0};
|
||
\node[draw, circle] (6) at (5,-2) {2};
|
||
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (2) -- (1);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (3) -- (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (4);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (5);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (1);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (4) -- (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (5) -- (2);
|
||
\path[draw,thick,->,>=latex] (6) -- (2);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
Jos tila on häviötila, sen Grundy-luku on 0.
|
||
Jos taas tila on voittotila, sen Grundy-luku
|
||
on jokin positiivinen luku.
|
||
|
||
Grundy-luvun hyötynä on,
|
||
että se vastaa tikkujen määrää nim-kasassa.
|
||
Jos Grundy-luku on 0, niin tilasta pääsee vain tiloihin,
|
||
joiden Grundy-luku ei ole 0.
|
||
Jos taas Grundy-luku on $x>0$, niin tilasta pääsee tiloihin,
|
||
joiden Grundy-luvut kattavat välin $0,1,\ldots,x-1$.
|
||
|
||
~\\
|
||
\noindent
|
||
Tarkastellaan esimerkkinä peliä,
|
||
jossa pelaajat siirtävät vuorotellen
|
||
pelihahmoa sokkelossa.
|
||
Jokainen sokkelon ruutu on lattiaa tai seinää.
|
||
Kullakin siirrolla hahmon tulee liikkua jokin
|
||
määrä askeleita vasemmalle tai jokin
|
||
määrä askeleita ylöspäin.
|
||
Pelin voittaja on se, joka tekee viimeisen siirron.
|
||
|
||
\begin{samepage}
|
||
Esimerkiksi seuraavassa on pelin mahdollinen aloitustilanne,
|
||
jossa @ on pelihahmo ja * merkitsee ruutua, johon hahmo voi siirtyä.
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.65]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||
\node at (3.5,0.5) {*};
|
||
\node at (2.5,0.5) {*};
|
||
\node at (1.5,0.5) {*};
|
||
\node at (0.5,0.5) {*};
|
||
\node at (4.5,1.5) {*};
|
||
\node at (4.5,2.5) {*};
|
||
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
\end{samepage}
|
||
|
||
Sokkelopelin tiloja ovat kaikki sokkelon
|
||
lattiaruudut. Tässä tapauksessa
|
||
tilojen Grundy-luvut ovat seuraavat:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.65]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||
\node at (2.5,4.5) {};
|
||
\node at (3.5,4.5) {0};
|
||
\node at (4.5,4.5) {1};
|
||
|
||
\node at (0.5,3.5) {};
|
||
\node at (1.5,3.5) {0};
|
||
\node at (2.5,3.5) {1};
|
||
\node at (3.5,3.5) {2};
|
||
\node at (4.5,3.5) {};
|
||
|
||
\node at (0.5,2.5) {0};
|
||
\node at (1.5,2.5) {2};
|
||
\node at (2.5,2.5) {};
|
||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||
\node at (4.5,2.5) {0};
|
||
|
||
\node at (0.5,1.5) {};
|
||
\node at (1.5,1.5) {3};
|
||
\node at (2.5,1.5) {0};
|
||
\node at (3.5,1.5) {4};
|
||
\node at (4.5,1.5) {1};
|
||
|
||
\node at (0.5,0.5) {0};
|
||
\node at (1.5,0.5) {4};
|
||
\node at (2.5,0.5) {1};
|
||
\node at (3.5,0.5) {3};
|
||
\node at (4.5,0.5) {2};
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Tämän seurauksena sokkelopelin
|
||
tila käyttäytyy
|
||
samalla tavalla kuin nim-pelin kasa.
|
||
Esimerkiksi oikean alakulman ruudun
|
||
Grundy-luku on 2,
|
||
joten kyseessä on voittotila.
|
||
Voittoon johtava siirto on joko liikkua neljä
|
||
askelta vasemmalle tai kaksi askelta ylöspäin.
|
||
|
||
Huomaa, että toisin kuin alkuperäisessä nim-pelissä,
|
||
tilasta saattaa päästä toiseen tilaan,
|
||
jonka Grundy-luku on suurempi.
|
||
Vastustaja voi kuitenkin aina peruuttaa
|
||
tällaisen siirron niin,
|
||
että Grundy-luku palautuu samaksi.
|
||
|
||
\subsubsection{Alipelit}
|
||
|
||
Oletetaan seuraavaksi, että peli muodostuu
|
||
alipeleistä ja jokaisella vuorolla
|
||
pelaaja valitsee jonkin alipeleistä ja
|
||
tekee siirron siinä.
|
||
Peli päättyy, kun missään alipelissä ei
|
||
pysty tekemään siirtoa.
|
||
|
||
Nyt pelin tilan Grundy-luku on alipelien
|
||
Grundy-lukujen nim-summa.
|
||
Peliä pystyy pelaamaan nim-pelin
|
||
tapaan selvittämällä kaikkien alipelien Grundy-luvut
|
||
ja laskemalla niiden nim-summa.
|
||
|
||
~\\
|
||
\noindent
|
||
Tarkastellaan esimerkkinä kolmen sokkelon peliä.
|
||
Tässä pelissä pelaaja valitsee joka siirrolla
|
||
yhden sokkeloista ja siirtää siinä olevaa hahmoa.
|
||
Pelin aloitustilanne voi olla seuraavanlainen:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{ccc}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (2, 3);
|
||
\fill [color=black] (2, 3) rectangle (3, 4);
|
||
\fill [color=black] (4, 4) rectangle (5, 5);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (4, 4);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (4.5,0.5) {@};
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Sokkeloiden ruutujen Grundy-luvut ovat:
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{ccc}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (0, 1) rectangle (1, 2);
|
||
\fill [color=black] (0, 3) rectangle (1, 4);
|
||
\fill [color=black] (2, 2) rectangle (3, 3);
|
||
\fill [color=black] (2, 4) rectangle (3, 5);
|
||
\fill [color=black] (4, 3) rectangle (5, 4);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||
\node at (2.5,4.5) {};
|
||
\node at (3.5,4.5) {0};
|
||
\node at (4.5,4.5) {1};
|
||
|
||
\node at (0.5,3.5) {};
|
||
\node at (1.5,3.5) {0};
|
||
\node at (2.5,3.5) {1};
|
||
\node at (3.5,3.5) {2};
|
||
\node at (4.5,3.5) {};
|
||
|
||
\node at (0.5,2.5) {0};
|
||
\node at (1.5,2.5) {2};
|
||
\node at (2.5,2.5) {};
|
||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||
\node at (4.5,2.5) {0};
|
||
|
||
\node at (0.5,1.5) {};
|
||
\node at (1.5,1.5) {3};
|
||
\node at (2.5,1.5) {0};
|
||
\node at (3.5,1.5) {4};
|
||
\node at (4.5,1.5) {1};
|
||
|
||
\node at (0.5,0.5) {0};
|
||
\node at (1.5,0.5) {4};
|
||
\node at (2.5,0.5) {1};
|
||
\node at (3.5,0.5) {3};
|
||
\node at (4.5,0.5) {2};
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (2, 3);
|
||
\fill [color=black] (2, 3) rectangle (3, 4);
|
||
\fill [color=black] (4, 4) rectangle (5, 5);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||
\node at (2.5,4.5) {2};
|
||
\node at (3.5,4.5) {3};
|
||
\node at (4.5,4.5) {};
|
||
|
||
\node at (0.5,3.5) {1};
|
||
\node at (1.5,3.5) {0};
|
||
\node at (2.5,3.5) {};
|
||
\node at (3.5,3.5) {0};
|
||
\node at (4.5,3.5) {1};
|
||
|
||
\node at (0.5,2.5) {2};
|
||
\node at (1.5,2.5) {};
|
||
\node at (2.5,2.5) {0};
|
||
\node at (3.5,2.5) {1};
|
||
\node at (4.5,2.5) {2};
|
||
|
||
\node at (0.5,1.5) {3};
|
||
\node at (1.5,1.5) {};
|
||
\node at (2.5,1.5) {1};
|
||
\node at (3.5,1.5) {2};
|
||
\node at (4.5,1.5) {0};
|
||
|
||
\node at (0.5,0.5) {4};
|
||
\node at (1.5,0.5) {0};
|
||
\node at (2.5,0.5) {2};
|
||
\node at (3.5,0.5) {5};
|
||
\node at (4.5,0.5) {3};
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
&
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.55]
|
||
\begin{scope}
|
||
\fill [color=black] (1, 1) rectangle (4, 4);
|
||
|
||
\draw (0, 0) grid (5, 5);
|
||
|
||
\node at (0.5,4.5) {0};
|
||
\node at (1.5,4.5) {1};
|
||
\node at (2.5,4.5) {2};
|
||
\node at (3.5,4.5) {3};
|
||
\node at (4.5,4.5) {4};
|
||
|
||
\node at (0.5,3.5) {1};
|
||
\node at (1.5,3.5) {};
|
||
\node at (2.5,3.5) {};
|
||
\node at (3.5,3.5) {};
|
||
\node at (4.5,3.5) {0};
|
||
|
||
\node at (0.5,2.5) {2};
|
||
\node at (1.5,2.5) {};
|
||
\node at (2.5,2.5) {};
|
||
\node at (3.5,2.5) {};
|
||
\node at (4.5,2.5) {1};
|
||
|
||
\node at (0.5,1.5) {3};
|
||
\node at (1.5,1.5) {};
|
||
\node at (2.5,1.5) {};
|
||
\node at (3.5,1.5) {};
|
||
\node at (4.5,1.5) {2};
|
||
|
||
\node at (0.5,0.5) {4};
|
||
\node at (1.5,0.5) {0};
|
||
\node at (2.5,0.5) {1};
|
||
\node at (3.5,0.5) {2};
|
||
\node at (4.5,0.5) {3};
|
||
\end{scope}
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
Aloitustilanteessa Grundy-lukujen nim-summa on
|
||
$2 \oplus 3 \oplus 3 = 2$, joten
|
||
aloittaja pystyy voittamaan pelin.
|
||
Voittoon johtava siirto on liikkua vasemmassa sokkelossa
|
||
2 askelta ylöspäin, jolloin nim-summaksi
|
||
tulee $0 \oplus 3 \oplus 3 = 0$.
|
||
|
||
\subsubsection{Jakautuminen}
|
||
|
||
Joskus siirto pelissä jakaa pelin alipeleihin,
|
||
jotka ovat toisistaan riippumattomia.
|
||
Tällöin pelin Grundy-luku on
|
||
|
||
\[\textrm{mex}(\{g_1, g_2, \ldots, g_n \}),\]
|
||
missä $n$ on siirtojen määrä ja
|
||
\[g_k = a_{k,1} \oplus a_{k,2} \oplus \ldots \oplus a_{k,m},\]
|
||
missä siirron $k$ tuottamien alipelien
|
||
Grundy-luvut ovat $a_{k,1},a_{k,2},\ldots,a_{k,m}$.
|
||
|
||
\index{Grundyn peli@Grundyn peli}
|
||
|
||
Esimerkki tällaisesta pelistä on \key{Grundyn peli}.
|
||
Pelin alkutilanteessa on yksittäinen kasa, jossa on $n$ tikkua.
|
||
Joka vuorolla pelaaja valitsee jonkin kasan
|
||
ja jakaa sen kahdeksi epätyhjäksi kasaksi
|
||
niin, että kasoissa on eri määrä tikkuja.
|
||
Pelin voittaja on se, joka tekee viimeisen jaon.
|
||
|
||
Merkitään $f(n)$ Grundy-lukua kasalle,
|
||
jossa on $n$ tikkua.
|
||
Grundy-luku muodostuu käymällä läpi tavat
|
||
jakaa kasa kahdeksi kasaksi.
|
||
Esimerkiksi tapauksessa $n=8$ mahdolliset jakotavat
|
||
ovat $1+7$, $2+6$ ja $3+5$, joten
|
||
\[f(8)=\textrm{mex}(\{f(1) \oplus f(7), f(2) \oplus f(6), f(3) \oplus f(5)\}).\]
|
||
|
||
Tässä pelissä luvun $f(n)$ laskeminen vaatii lukujen
|
||
$f(1),\ldots,f(n-1)$ laskemista.
|
||
Pohjatapauksina $f(1)=f(2)=0$, koska 1 ja 2 tikun
|
||
kasaa ei ole mahdollista jakaa mitenkään.
|
||
Ensimmäiset Grundy-luvut ovat:
|
||
\[
|
||
\begin{array}{lcl}
|
||
f(1) & = & 0 \\
|
||
f(2) & = & 0 \\
|
||
f(3) & = & 1 \\
|
||
f(4) & = & 0 \\
|
||
f(5) & = & 2 \\
|
||
f(6) & = & 1 \\
|
||
f(7) & = & 0 \\
|
||
f(8) & = & 2 \\
|
||
\end{array}
|
||
\]
|
||
Tapauksen $n=8$ Grundy-luku on 2, joten peli on mahdollista
|
||
voittaa.
|
||
Voittosiirto on muodostaa kasat $1+7$,
|
||
koska $f(1) \oplus f(7) = 0$.
|
||
|