bibin
/
cphb
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

Chapter 6 ready

This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen 2017-01-02 00:34:14 +02:00
parent c0b6c97340
commit 66f167a6eb
1 changed files with 176 additions and 169 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

345
luku06.tex
View File

@ -264,22 +264,20 @@ possibilities to select for the next events,
compared to the strategy that we select the compared to the strategy that we select the
event that ends as soon as possible. event that ends as soon as possible.
\section{Tehtävät ja deadlinet} \section{Tasks and deadlines}
Annettuna on $n$ tehtävää, We are given $n$ tasks with duration and deadline.
joista jokaisella on kesto ja deadline. Our task is to choose an order to perform the tasks.
Tehtäväsi on valita järjestys, For each task, we get $d-x$ points
jossa suoritat tehtävät. where $d$ is the deadline of the task
Saat kustakin tehtävästä $d-x$ pistettä, and $x$ is the moment when we finished the task.
missä $d$ on tehtävän deadline ja $x$ What is the largest possible total score
on tehtävän valmistumishetki. we can obtain?
Mikä on suurin mahdollinen
yhteispistemäärä, jonka voit saada tehtävistä?
Esimerkiksi jos tehtävät ovat For example, if the tasks are
\begin{center} \begin{center}
\begin{tabular}{lll} \begin{tabular}{lll}
tehtävä & kesto & deadline \\ task & duration & deadline \\
\hline \hline
$A$ & 4 & 2 \\ $A$ & 4 & 2 \\
$B$ & 3 & 5 \\ $B$ & 3 & 5 \\
@ -287,8 +285,8 @@ $C$ & 2 & 7 \\
$D$ & 4 & 5 \\ $D$ & 4 & 5 \\
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
niin optimaalinen ratkaisu on suorittaa then the optimal solution is to perform
tehtävät seuraavasti: the tasks as follows:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.4] \begin{tikzpicture}[scale=.4]
\begin{scope} \begin{scope}
@ -314,22 +312,21 @@ tehtävät seuraavasti:
\end{scope} \end{scope}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
Tässä ratkaisussa $C$ tuottaa 5 pistettä, In this solution, $C$ yields 5 points,
$B$ tuottaa 0 pistettä, $A$ tuottaa $-7$ pistettä $B$ yields 0 points, $A$ yields $-7$ points
ja $D$ tuottaa $-8$ pistettä, and $D$ yields $-8$ points,
joten yhteispistemäärä on $-10$. so the total score is $-10$.
Yllättävää kyllä, tehtävän optimaalinen ratkaisu Surprisingly, the optimal solution for the problem
ei riipu lainkaan deadlineista, doesn't depend on the dedalines at all,
vaan toimiva ahne strategia on but a correct greedy strategy is to simply
yksinkertaisesti perform the tasks \emph{sorted by their durations}
suorittaa tehtävät \emph{järjestyksessä keston mukaan} in increasing order.
lyhimmästä pisimpään. The reason for this is that if we ever perform
Syynä tähän on, että jos missä tahansa vaiheessa two successive tasks such that the first task
suoritetaan peräkkäin kaksi tehtävää, takes longer than the second task,
joista ensimmäinen kestää toista kauemmin, we can obtain a better solution if we swap the tasks.
tehtävien järjestyksen vaihtaminen parantaa ratkaisua. For example, if the successive tasks are
Esimerkiksi jos peräkkäin ovat tehtävät
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.4] \begin{tikzpicture}[scale=.4]
\begin{scope} \begin{scope}
@ -348,7 +345,7 @@ Esimerkiksi jos peräkkäin ovat tehtävät
\end{scope} \end{scope}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
ja $a>b$, niin järjestyksen muuttaminen muotoon and $a>b$, the swapped order of the tasks
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.4] \begin{tikzpicture}[scale=.4]
\begin{scope} \begin{scope}
@ -367,97 +364,102 @@ ja $a>b$, niin järjestyksen muuttaminen muotoon
\end{scope} \end{scope}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
antaa $X$:lle $b$ pistettä vähemmän ja $Y$:lle $a$ pistettä enemmän, gives $b$ points less to $X$ and $a$ points more to $Y$,
joten kokonaismuutos pistemäärään on $a-b > 0$. so the total score increases by $a-b > 0$.
Optimiratkaisussa In an optimal solution,
kaikille peräkkäin suoritettaville tehtäville for each two successive tasks,
tulee päteä, että lyhyempi tulee ennen pidempää, it must hold that the shorter task comes
mistä seuraa, että tehtävät tulee suorittaa before the longer task.
järjestyksessä keston mukaan. Thus, the tasks must be performed
sorted by their durations.
\section{Keskiluvut} \section{Minimizing sums}
Tarkastelemme seuraavaksi ongelmaa, jossa We will next consider a problem where
annettuna on $n$ lukua $a_1,a_2,\ldots,a_n$ we are given $n$ numbers $a_1,a_2,\ldots,a_n$
ja tehtävänä on etsiä luku $x$ niin, että summa and our task is to find a value $x$
such that the sum
\[|a_1-x|^c+|a_2-x|^c+\cdots+|a_n-x|^c\] \[|a_1-x|^c+|a_2-x|^c+\cdots+|a_n-x|^c\]
on mahdollisimman pieni. becomes as small as possible.
Keskitymme tapauksiin, joissa $c=1$ tai $c=2$. We will focus on the cases $c=1$ and $c=2$.
\subsubsection{Tapaus $c=1$} \subsubsection{Case $c=1$}
Tässä tapauksessa minimoitavana on summa In this case, we should minimize the sum
\[|a_1-x|+|a_2-x|+\cdots+|a_n-x|.\] \[|a_1-x|+|a_2-x|+\cdots+|a_n-x|.\]
Esimerkiksi jos luvut ovat $[1,2,9,2,6]$, For example, if the numbers are $[1,2,9,2,6]$,
niin paras ratkaisu on valita $x=2$, the best solution is to select $x=2$
jolloin summaksi tulee which produces the sum
\[ \[
|1-2|+|2-2|+|9-2|+|2-2|+|6-2|=12. |1-2|+|2-2|+|9-2|+|2-2|+|6-2|=12.
\] \]
Yleisessä tapauksessa paras valinta $x$:n arvoksi In the general case, the best choice for $x$
on lukujen \textit{mediaani} is the \textit{median} of the numbers,
eli keskimmäinen luku järjestyksessä. i.e., the middle number after sorting.
Esimerkiksi luvut $[1,2,9,2,6]$ For example, the list $[1,2,9,2,6]$
ovat järjestyksessä $[1,2,2,6,9]$, becomes $[1,2,2,6,9]$ after sorting,
joten mediaani on 2. so the median is 2.
Mediaanin valinta on paras ratkaisu, The median is the optimal choice,
koska jos $x$ on mediaania pienempi, because if $x$ is smaller than the median,
$x$:n suurentaminen pienentää summaa, the sum becomes smaller by increasing $x$,
ja vastaavasti jos $x$ on mediaania suurempi, and if $x$ is larger then the median,
$x$:n pienentäminen pienentää summaa. the sum becomes smaller by decreasing $x$
Niinpä $x$ kannattaa siirtää mahdollisimman Thus, we should move $x$ as near the median
lähelle mediaania eli optimiratkaisu on as possible, so the optimal solution that $x$
valita $x$ mediaaniksi. is the median.
Jos $n$ on parillinen ja mediaaneja on kaksi, If $n$ is even and there are two medians,
kumpikin mediaani sekä kaikki niiden välillä both medians and all values between them
olevat luvut tuottavat optimaalisen ratkaisun. are optimal solutions.
\subsubsection{Tapaus $c=2$} \subsubsection{Case $c=2$}
Tässä tapauksessa minimoitavana on summa In this case, we should minimize the sum
\[(a_1-x)^2+(a_2-x)^2+\cdots+(a_n-x)^2.\] \[(a_1-x)^2+(a_2-x)^2+\cdots+(a_n-x)^2.\]
Esimerkiksi jos luvut ovat $[1,2,9,2,6]$, For example, if the numbers are $[1,2,9,2,6]$,
niin paras ratkaisu on $x=4$, the best solution is to select $x=4$
jolloin summaksi tulee which produces the sum
\[ \[
(1-4)^2+(2-4)^2+(9-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2=46. (1-4)^2+(2-4)^2+(9-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2=46.
\] \]
Yleisessä tapauksessa paras valinta $x$:n arvoksi on lukujen In the general case, the best choice for $x$
\textit{keskiarvo}. is the \emph{average} of the numbers.
Esimerkissä lukujen keskiarvo on $(1+2+9+2+6)/5=4$. In the example the average is $(1+2+9+2+6)/5=4$.
Tämän tuloksen voi johtaa järjestämällä summan This result can be derived by presenting
uudestaan muotoon the sum as follows:
\[ \[
nx^2 - 2x(a_1+a_2+\cdots+a_n) + (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2). nx^2 - 2x(a_1+a_2+\cdots+a_n) + (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2).
\] \]
Viimeinen osa ei riipu $x$:stä, joten sen voi jättää huomiotta. The last part doesn't depend on $x$,
Jäljelle jäävistä osista muodostuu funktio so we can ignore it.
$nx^2-2xs$, kun $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$. The remaining parts form a function
Tämä on ylöspäin aukeava paraabeli, $nx^2-2xs$ where $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$.
jonka nollakohdat ovat $x=0$ ja $x=2s/n$ This is a parabola opening upwards
ja pienin arvo on näiden keskikohta with roots $x=0$ and $x=2s/n$,
$x=s/n$ eli taulukon lukujen keskiarvo. and the minimum value is the average
of the roots $x=s/n$, i.e.,
the average of the numbers $a_1,a_2,\ldots,a_n$.
\section{Tiedonpakkaus} \section{Data compression}
\index{tiedonpakkaus} \index{data compression}
\index{binxxrikoodi@binäärikoodi} \index{binary code}
\index{koodisana@koodisana} \index{codeword}
Annettuna on merkkijono ja tehtävänä on We are given a string, and our task is to
\emph{pakata} se niin, \emph{compress} it so that it requires less space.
että tilaa kuluu vähemmän. We will do this using a \key{binary code}
Käytämme tähän \key{binäärikoodia}, that determines for each character
joka määrittää kullekin merkille a \key{codeword} that consists of bits.
biteistä muodostuvan \key{koodisanan}. After this, we can compress the string
Tällöin merkkijonon voi pakata by replacing each character by the
korvaamalla jokaisen merkin vastaavalla koodisanalla. corresponding codeword.
Esimerkiksi seuraava binäärikoodi määrittää For example, the following binary code
koodisanat merkeille \texttt{A}–\texttt{D}: determines codewords for characters
\texttt{A}–\texttt{D}:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tabular}{rr} \begin{tabular}{rr}
merkki & koodisana \\ character & codeword \\
\hline \hline
\texttt{A} & 00 \\ \texttt{A} & 00 \\
\texttt{B} & 01 \\ \texttt{B} & 01 \\
@ -465,23 +467,25 @@ merkki & koodisana \\
\texttt{D} & 11 \\ \texttt{D} & 11 \\
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
Tämä koodi on \key{vakiopituinen} This is a \key{constant-length} code
eli jokainen koodisana on yhtä pitkä. which means that the length of each
Esimerkiksi merkkijono codeword is the same.
\texttt{AABACDACA} on pakattuna For example, the compressed form of the string
\texttt{AABACDACA} is
\[000001001011001000,\] \[000001001011001000,\]
eli se vie tilaa 18 bittiä. so 18 bits are needed.
Pakkausta on kuitenkin mahdollista parantaa However, we can compress the string better
ottamalla käyttöön \key{muuttuvan pituinen} koodi, by using a \key{variable-length} code
jossa koodisanojen pituus voi vaihdella. where codewords may have different lengths.
Tällöin voimme antaa usein esiintyville merkeille Then we can give short codewords for
lyhyen koodisanan ja harvoin esiintyville characters that appear often,
merkeille pitkän koodisanan. and long codewords for characters
Osoittautuu, että yllä olevalle merkkijonolle that appear rarely.
\key{optimaalinen} koodi on seuraava: It turns out that the \key{optimal} code
for the aforementioned string is as follows:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tabular}{rr} \begin{tabular}{rr}
merkki & koodisana \\ character & codeword \\
\hline \hline
\texttt{A} & 0 \\ \texttt{A} & 0 \\
\texttt{B} & 110 \\ \texttt{B} & 110 \\
@ -489,27 +493,26 @@ merkki & koodisana \\
\texttt{D} & 111 \\ \texttt{D} & 111 \\
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
Optimaalinen koodi tuottaa The optimal code produces a compressed string
mahdollisimman lyhyen pakatun merkkijonon. that is as short as possible.
Tässä tapauksessa optimaalinen koodi In this case, the compressed form using
pakkaa merkkijonon muotoon the optimal code is
\[001100101110100,\] \[001100101110100,\]
ja tilaa kuluu vain 15 bittiä. so only 15 bits are needed.
Paremman koodin ansiosta onnistuimme siis säästämään Thus, thanks to a better code it was possible to
3 bittiä tilaa pakkauksessa. save 3 bits in the compressed string.
Huomaa, että koodin tulee olla aina sellainen, Note that it is required that no codeword
että mikään koodisana ei ole toisen koodisanan is a prefix of another codeword.
alkuosa. For example, it is not allowed that a code
Esimerkiksi ei ole sallittua, että koodissa would contain both codewords 10
olisi molemmat koodisanat 10 ja 1011. and 1011.
Tämä rajoitus johtuu siitä, The reason for this is that we also want
että haluamme myös pystyä palauttamaan to be able to generate the original string
alkuperäisen merkkijonon pakkauksen jälkeen. from the compressed string.
Jos koodisana voisi olla toisen alkuosa, If a codeword could be a prefix of another codeword,
tämä ei välttämättä olisi mahdollista. this would not always be possible.
Esimerkiksi seuraava koodi For example, the following code is \emph{not} valid:
\emph{ei} ole kelvollinen:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tabular}{rr} \begin{tabular}{rr}
merkki & koodisana \\ merkki & koodisana \\
@ -520,40 +523,41 @@ merkki & koodisana \\
\texttt{D} & 111 \\ \texttt{D} & 111 \\
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
Tätä koodia käyttäen ei olisi mahdollista tietää, Using this code, it would not be possible to know
tarkoittaako pakattu merkkijono 1011 if the compressed string 1011 means
merkkijonoa \texttt{AB} vai merkkijonoa \texttt{C}. the string \texttt{AB} or the string \texttt{C}.
\index{Huffmanin koodaus} \index{Huffman coding}
\subsubsection{Huffmanin koodaus} \subsubsection{Huffman coding}
\key{Huffmanin koodaus} on ahne algoritmi, \key{Huffman coding} is a greedy algorithm
joka muodostaa optimaalisen koodin that constructs an optimal code for
merkkijonon pakkaamista varten. compressing a string.
Se muodostaa merkkien esiintymiskertojen The algorithm builds a binary tree
perustella binääripuun, josta voi lukea based on the frequencies of the characters
kunkin merkin koodisanan in the string,
liikkumalla huipulta merkkiä vastaavaan solmuun. and a codeword for each characters can be read
Liikkuminen vasemmalle vastaa by following a path from the root to
bittiä 0 ja liikkuminen oikealle the corresponding node.
vastaa bittiä 1. A move to the left correspons to bit 0,
and a move to the right corresponds to bit 1.
Aluksi jokaista merkkijonon merkkiä vastaa solmu, Initially, each character of the string is
jonka painona on merkin esiintymiskertojen määrä merkkijonossa. represented by a node whose weight is the
Sitten joka vaiheessa puusta valitaan number of times the character appears in the string.
kaksi painoltaan pienintä solmua Then at each step two nodes with minimum weights
ja ne yhdistetään luomalla niiden are selected and they are combined by creating
yläpuolelle uusi solmu, a new node whose weight is the sum of the weights
jonka paino on solmujen yhteispaino. of the original nodes.
Näin jatketaan, kunnes kaikki solmut The process continues until all nodes have been
on yhdistetty ja koodi on valmis. combined and the code is ready.
Tarkastellaan nyt, miten Huffmanin koodaus Next we will see how Huffman coding creates
muodostaa optimaalisen koodin merkkijonolle the optimal code for the string
\texttt{AABACDACA}. \texttt{AABACDACA}.
Alkutilanteessa on neljä solmua, Initially, there are four nodes that correspond
jotka vastaavat merkkijonossa olevia merkkejä: to the characters in the string:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9] \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
@ -570,13 +574,16 @@ jotka vastaavat merkkijonossa olevia merkkejä:
%\path[draw,thick,-] (4) -- (5); %\path[draw,thick,-] (4) -- (5);
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
Merkkiä \texttt{A} vastaavan solmun paino on The node that represents character \texttt{A}
5, koska merkki \texttt{A} esiintyy 5 kertaa merkkijonossa. has weight 5 because character \texttt{A}
Muiden solmujen painot on laskettu vastaavalla tavalla. appears 5 times in the string.
The other weights have been calculated
in the same way.
Ensimmäinen askel on yhdistää merkkejä \texttt{B} ja \texttt{D} The first step is to combine the nodes that
vastaavat solmut, joiden kummankin paino on 1. correspond to characters \texttt{B} and \texttt{D},
Tuloksena on: both with weight 1.
The result is:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9] \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (0,0) {$5$}; \node[draw, circle] (1) at (0,0) {$5$};
@ -597,7 +604,7 @@ Tuloksena on:
\path[draw,thick,-] (4) -- (5); \path[draw,thick,-] (4) -- (5);
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
Tämän jälkeen yhdistetään solmut, joiden paino on 2: After this, the nodes with weight 2 are combined:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9] \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (1,0) {$5$}; \node[draw, circle] (1) at (1,0) {$5$};
@ -623,7 +630,7 @@ Tämän jälkeen yhdistetään solmut, joiden paino on 2:
\path[draw,thick,-] (5) -- (6); \path[draw,thick,-] (5) -- (6);
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
Lopuksi yhdistetään kaksi viimeistä solmua: Finally, the two remaining nodes are combined:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9] \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\node[draw, circle] (1) at (2,2) {$5$}; \node[draw, circle] (1) at (2,2) {$5$};
@ -655,11 +662,11 @@ Lopuksi yhdistetään kaksi viimeistä solmua:
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
Nyt kaikki solmut ovat puussa, joten koodi on valmis. Now all nodes are in the tree, so the code is ready.
Puusta voidaan lukea seuraavat koodisanat: The following codewords can be read from the tree:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tabular}{rr} \begin{tabular}{rr}
merkki & koodisana \\ character & codeword \\
\hline \hline
\texttt{A} & 0 \\ \texttt{A} & 0 \\
\texttt{B} & 110 \\ \texttt{B} & 110 \\