bibin
/
cphb
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

Edit distance

This commit is contained in:
Antti H S Laaksonen 2017-01-03 00:46:18 +02:00
parent 62ef5d9f93
commit 69458aab08
1 changed files with 74 additions and 72 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

146
luku07.tex
View File

@ -710,85 +710,88 @@ The efficiency of solution 1 depends on the weights
of the objects, while the efficiency of solution 2 of the objects, while the efficiency of solution 2
depends on the values of the objects. depends on the values of the objects.
\section{Editointietäisyys} \section{Edit distance}
\index{editointietxisyys@editointietäisyys} \index{edit distance}
\index{Levenšteinin etäisyys} \index{Levenshtein distance}
\key{Editointietäisyys} eli The \key{edit distance},
\key{Levenšteinin etäisyys} also known as the \key{Levenshtein distance},
kuvaa, kuinka kaukana kaksi merkkijonoa ovat toisistaan. indicates how similar two strings are.
Se on pienin määrä editointioperaatioita, It is the minimum number of editing operations
joilla ensimmäisen merkkijonon saa muutettua toiseksi. needed for transforming the first string
Sallitut operaatiot ovat: into the second string.
The allowed editing operations are as follows:
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item merkin lisäys (esim. \texttt{ABC} $\rightarrow$ \texttt{ABCA}) \item insert a character (e.g. \texttt{ABC} $\rightarrow$ \texttt{ABCA})
\item merkin poisto (esim. \texttt{ABC} $\rightarrow$ \texttt{AC}) \item remove a character (e.g. \texttt{ABC} $\rightarrow$ \texttt{AC})
\item merkin muutos (esim. \texttt{ABC} $\rightarrow$ \texttt{ADC}) \item change a character (e.g. \texttt{ABC} $\rightarrow$ \texttt{ADC})
\end{itemize} \end{itemize}
Esimerkiksi merkkijonojen \texttt{TALO} ja \texttt{PALLO} For example, the edit distance between
editointietäisyys on 2, koska voimme tehdä ensin \texttt{LOVE} and \texttt{MOVIE} is 2
operaation \texttt{TALO} $\rightarrow$ \texttt{TALLO} because we can first perform operation
(merkin lisäys) ja sen jälkeen operaation \texttt{LOVE} $\rightarrow$ \texttt{MOVE}
\texttt{TALLO} $\rightarrow$ \texttt{PALLO} (change) and then operation
(merkin muutos). \texttt{MOVE} $\rightarrow$ \texttt{MOVIE}
Tämä on pienin mahdollinen määrä operaatioita, koska (insertion).
selvästikään yksi operaatio ei riitä. This is the smallest possible number of operations
because it is clear that one operation is not enough.
Oletetaan, että annettuna on merkkijonot Suppose we are given strings
\texttt{x} (pituus $n$ merkkiä) ja \texttt{x} of $n$ characters and
\texttt{y} (pituus $m$ merkkiä), \texttt{y} of $m$ characters,
ja haluamme laskea niiden editointietäisyyden. and we want to calculate the edit distance
Tämä onnistuu tehokkaasti dynaamisella between them.
ohjelmoinnilla ajassa $O(nm)$. This can be efficiently done using
Merkitään funktiolla $f(a,b)$ dynamic programming in $O(nm)$ time.
editointietäisyyttä \texttt{x}:n $a$ Let $f(a,b)$ denote the edit distance
ensimmäisen merkin sekä between the first $a$ characters of \texttt{x}
\texttt{y}:n $b$:n ensimmäisen merkin välillä. and the first $b$ characters of \texttt{y}.
Tätä funktiota käyttäen Using this function, the edit distance between
merkkijonojen \texttt{x} and \texttt{y} is $f(n,m)$,
\texttt{x} ja \texttt{y} editointietäisyys and the function also determines
on $f(n,m)$, ja funktio kertoo myös tarvittavat the editing operations needed.
editointioperaatiot.
Funktion pohjatapaukset ovat The base cases for the function are
\[ \[
\begin{array}{lcl} \begin{array}{lcl}
f(0,b) & = & b \\ f(0,b) & = & b \\
f(a,0) & = & a \\ f(a,0) & = & a \\
\end{array} \end{array}
\] \]
ja yleisessä tapauksessa pätee kaava and in the general case the formula is
\[ f(a,b) = \min(f(a,b-1)+1,f(a-1,b)+1,f(a-1,b-1)+c),\] \[ f(a,b) = \min(f(a,b-1)+1,f(a-1,b)+1,f(a-1,b-1)+c),\]
missä $c=0$, jos \texttt{x}:n merkki $a$ where $c=0$ if the $a$th character of \texttt{x}
ja \texttt{y}:n merkki $b$ ovat samat, equals the $b$th character of \texttt{y},
ja muussa tapauksessa $c=1$. and otherwise $c=1$.
Kaava käy läpi mahdollisuudet lyhentää merkkijonoja: The formula covers all ways to shorten the strings:
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $f(a,b-1)$ tarkoittaa, että $x$:ään lisätään merkki \item $f(a,b-1)$ means that a character is inserted to \texttt{x}
\item $f(a-1,b)$ tarkoittaa, että $x$:stä poistetaan merkki \item $f(a-1,b)$ means that a chacater is removed from \texttt{x}
\item $f(a-1,b-1)$ tarkoittaa, että $x$:ssä ja $y$:ssä on \item $f(a-1,b-1)$ means that \texttt{x} and \texttt{y} contain
sama merkki ($c=0$) tai $x$:n merkki muutetaan $y$:n merkiksi ($c=1$) the same character ($c=0$),
or a character in \texttt{x} is transformed into
a character in \texttt{y} ($c=1$)
\end{itemize} \end{itemize}
Seuraava taulukko sisältää funktion $f$ arvot The following table shows the values of $f$
esimerkin tapauksessa: in the example case:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.65] \begin{tikzpicture}[scale=.65]
\begin{scope} \begin{scope}
%\fill [color=lightgray] (5, -3) rectangle (6, -4); %\fill [color=lightgray] (5, -3) rectangle (6, -4);
\draw (1, -1) grid (7, -6); \draw (1, -1) grid (7, -6);
\node at (0.5,-2.5) {\texttt{T}}; \node at (0.5,-2.5) {\texttt{L}};
\node at (0.5,-3.5) {\texttt{A}}; \node at (0.5,-3.5) {\texttt{O}};
\node at (0.5,-4.5) {\texttt{L}}; \node at (0.5,-4.5) {\texttt{V}};
\node at (0.5,-5.5) {\texttt{O}}; \node at (0.5,-5.5) {\texttt{E}};
\node at (2.5,-0.5) {\texttt{P}}; \node at (2.5,-0.5) {\texttt{M}};
\node at (3.5,-0.5) {\texttt{A}}; \node at (3.5,-0.5) {\texttt{O}};
\node at (4.5,-0.5) {\texttt{L}}; \node at (4.5,-0.5) {\texttt{V}};
\node at (5.5,-0.5) {\texttt{L}}; \node at (5.5,-0.5) {\texttt{I}};
\node at (6.5,-0.5) {\texttt{O}}; \node at (6.5,-0.5) {\texttt{E}};
\node at (1.5,-1.5) {$0$}; \node at (1.5,-1.5) {$0$};
\node at (1.5,-2.5) {$1$}; \node at (1.5,-2.5) {$1$};
@ -824,29 +827,28 @@ esimerkin tapauksessa:
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
Taulukon oikean alanurkan ruutu The lower-right corner of the table
kertoo, että merkkijonojen \texttt{TALO} indicates that the edit distance between
ja \texttt{PALLO} editointietäisyys on 2. \texttt{LOVE} and \texttt{MOVIE} is 2.
Taulukosta pystyy myös The table also shows how to construct
lukemaan, miten pienimmän editointietäisyyden the shortest sequence of editing operations.
voi saavuttaa. In this case the path is as follows:
Tässä tapauksessa polku on seuraava:
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.65] \begin{tikzpicture}[scale=.65]
\begin{scope} \begin{scope}
\draw (1, -1) grid (7, -6); \draw (1, -1) grid (7, -6);
\node at (0.5,-2.5) {\texttt{T}}; \node at (0.5,-2.5) {\texttt{L}};
\node at (0.5,-3.5) {\texttt{A}}; \node at (0.5,-3.5) {\texttt{O}};
\node at (0.5,-4.5) {\texttt{L}}; \node at (0.5,-4.5) {\texttt{V}};
\node at (0.5,-5.5) {\texttt{O}}; \node at (0.5,-5.5) {\texttt{E}};
\node at (2.5,-0.5) {\texttt{P}}; \node at (2.5,-0.5) {\texttt{M}};
\node at (3.5,-0.5) {\texttt{A}}; \node at (3.5,-0.5) {\texttt{O}};
\node at (4.5,-0.5) {\texttt{L}}; \node at (4.5,-0.5) {\texttt{V}};
\node at (5.5,-0.5) {\texttt{L}}; \node at (5.5,-0.5) {\texttt{I}};
\node at (6.5,-0.5) {\texttt{O}}; \node at (6.5,-0.5) {\texttt{E}};
\node at (1.5,-1.5) {$0$}; \node at (1.5,-1.5) {$0$};
\node at (1.5,-2.5) {$1$}; \node at (1.5,-2.5) {$1$};